編碼-解碼方案下具有網(wǎng)絡(luò)不確定的離散多智能體系統(tǒng)的均方一致性

Abstract：To improve the utilization of communication bandwidth，this paper designs a novel encoding-decoding control scheme，with which the mean-square average consensus of a class of discrete multi-agent systems with network uncertainty is studied.The designed scheme introduces a new auxiliary variabl，but it also poses a challenge while estimating its maximum quantization level. On the other hand，network uncertainties that can simulate network attacks and other phenomena are considered，making the considered model more general. Based on the parameter algebraic Riccati equation of parameter algebra and Lyapunov stability theory，sufficient conditions to achieve mean-square average consensus are derived. Meanwhile，an estimation of the maximum quantization level is also provided. Finally，the validity of this paper is verified by the numerical simulation.

Key words： encoding-decoding control scheme; discrete-time systems； multi-agent systems; uncertainties；mean-square average consensus

0 引言

多智能體系統(tǒng)的一致性是指系統(tǒng)中所有智能體通過交互通信最終達(dá)到相同的狀態(tài)值1.近二十年來，隨著網(wǎng)絡(luò)通信技術(shù)的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)一致性的相關(guān)理論受到了廣泛的關(guān)注，而且相關(guān)應(yīng)用如無人機(jī)編隊(duì)[2]、電網(wǎng)配備[3]、傳感器網(wǎng)絡(luò)[4]等層出不窮.

智能體間的信息交互情景一般可以采用圖論描述，借助相關(guān)圖論性質(zhì)可得到一致性的相關(guān)條件[5-7].例如，文獻(xiàn)[5]研究了具有噪聲的離散時間隨機(jī)多智能體系統(tǒng)的一致性控制問題；文獻(xiàn)6基于圖論得出了多智能體系統(tǒng)分布式自適應(yīng)動態(tài)一致性協(xié)議；文獻(xiàn)7考慮一類不確定非線性多智能體系統(tǒng)在拒絕服務(wù)攻擊下的彈性分布式協(xié)同控制問題.

在工程應(yīng)用中，智能體間的信息交換必須在由各種通信鏈路組成的通信網(wǎng)絡(luò)上執(zhí)行的，這使得通信網(wǎng)絡(luò)容易出現(xiàn)通信干擾、信號傳輸錯誤等問題.另一方面，由于網(wǎng)絡(luò)攻擊等因素的影響，智能體的通信過程容易受到隱私竊取和信號失真等問題[8，9].這些影響都可能導(dǎo)致系統(tǒng)的一致性難以實(shí)現(xiàn).因此，考慮網(wǎng)絡(luò)通信系統(tǒng)抗干擾性或者容錯性對系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性至關(guān)重要[10].此外，由于網(wǎng)絡(luò)不確定可以用來描述隨機(jī)量化器[11]、隨機(jī)獨(dú)立和同分布的數(shù)據(jù)包丟失[12]和隨機(jī)相對狀態(tài)有關(guān)的測量噪聲[13]，故針對網(wǎng)絡(luò)不確定相關(guān)問題的探討已成為當(dāng)前的研究焦點(diǎn)[14-16].例如，文獻(xiàn)[14]在網(wǎng)絡(luò)不確定干擾滿足白噪聲的假設(shè)下得到了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的一些充分條件；文獻(xiàn)[15]介紹了網(wǎng)絡(luò)通信約束下的控制；文獻(xiàn)[16]介紹了應(yīng)對時延、時變傳輸間隔等干擾的方法.

此外，由于硬件設(shè)備存儲容量是有限的，故通信信道的有效利用十分重要.目前，編碼-解碼的方法能夠較好地解決上述問題[10，17，18]．例如，文獻(xiàn)[10通過編碼-解碼方法研究了多智能體系統(tǒng)在傳感器故障下實(shí)現(xiàn)一致性的方法；文獻(xiàn)[17在編碼-解碼方案下分析了一類離散多智能體系統(tǒng)的領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性，但相應(yīng)的量化數(shù)值難以估計(jì)；文獻(xiàn)[18]研究了在比特率約束下基于編碼-解碼方法的狀態(tài)估計(jì).

為保證多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性，系統(tǒng)的通信網(wǎng)絡(luò)速率必須滿足約束條件[19-21]，智能體間的通訊不可避免地受到信道通信比特率的約束，即不能無限制地提高數(shù)據(jù)的量化位數(shù).在此約束下，為實(shí)現(xiàn)較高的控制精度，對于解碼器與控制器設(shè)計(jì)具有

較高地要求.

基于上述討論，本文考慮一類受到網(wǎng)絡(luò)不確定影響的離散智能體系統(tǒng)的均方一致性問題，主要創(chuàng)新點(diǎn)如下：

（1）設(shè)計(jì)了一個新穎的可調(diào)節(jié)量化間隔的編碼-解碼方案，并探討了量化參數(shù)對于信道通信速率需求以及控制精度的影響.（2）考慮了有向拓?fù)湎碌木W(wǎng)絡(luò)不確定問題，在編碼-解碼方案下設(shè)計(jì)了合適的控制協(xié)議.基于參量代數(shù)黎卡提方程得到了系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)均方一致性的充分條件.

符號說明： R 與 Z⁺ 分別表示實(shí)數(shù)集與正整數(shù)集. I_n 與 O_n 分別表示 n 階單位矩陣與 n 階零矩陣，1_n 與 0_n 代表元素全為1與0的 n 維向量. Q^T 表示向量 Q 或矩陣 Q 的轉(zhuǎn)置， |Q| 表示向量 Q 的歐幾里得范數(shù)或矩陣 Q 的 F 范數(shù).對任意方陣 與λ_min（Q） 分別表示它的最大與最小特征值，且 ρ^（Q） 是它的譜半徑.此外，矩陣 Qgt;0 表示矩陣 Q 是正定的， Q₁?Q₂ 表示矩陣 Q₁ 與矩陣 Q₂ 的克羅內(nèi)克積.?X? 是不小于實(shí)數(shù) X 的最小整數(shù)，V表示為取大值運(yùn)算， 代表期望函數(shù).

1預(yù)備知識與模型構(gòu)造

1. 1 代數(shù)圖論

有向圖 G 定義為 G=（V，E，A_G） ，其中 V= （204號 表示節(jié)點(diǎn)集， E?V×V 表示邊集， A_G 為鄰接矩陣.對于邊 （v_i，v_j） ，節(jié)點(diǎn) v_i 被稱為父節(jié)點(diǎn)（即頭部）， v_j 是子節(jié)點(diǎn)（即尾部）， v_i 是 v_j 的鄰居.有向圖 G 包含有向生成樹，即存在一個稱為根的節(jié)點(diǎn)，它有一條有向路徑連接到圖 G 中的所有其它節(jié)點(diǎn)[9].鄰接矩陣 A_G=[a_ij]_N×N ，其對角元素 a_ii=0 ， a_ij 表示邊 （v_i，v_j） 的權(quán)值.對于有向圖 G 的任意節(jié)點(diǎn) v_i 與 v_j ，如果 （v_i，v_j）∈E ，則有a_ijgt;0 ，否則 a_ij=0 .有向圖 G 的度矩陣 D= diag（d₁，d₂，…，d_N） ，其中 d_i=a_i1+a_i2+…+a_iN .有向圖 G 的拉普拉斯矩陣 L=D-A_G .此外，拉普拉斯矩陣的第 i 個特征值用 λ_i（L） 表示.

1. 2 系統(tǒng)描述

考慮如下由 N 個智能體組成的多智能體系統(tǒng)，其中智能體 i ， （i=1，2，…，N） 的動力學(xué)方程描述如下：

x_i（k+1）=Ax_i（k）+Bu_i（k）

式（1）中： x_i∈Rⁿ 表示智能體 i 的狀態(tài)向量.A∈R^n×n 與 B∈R^n×m 均為常數(shù)矩陣，且假設(shè) （A ，

B ）是可控的. u_i∈R^m 是智能體 i 的控制協(xié)議，設(shè)計(jì)為如下形式：

式（2）中： K∈R^m×n 是待設(shè)計(jì)的控制增益矩陣. Ω_Si∈Rⁿ 與 x_ij∈Rⁿ 分別是智能體 i 通過自己的編碼器和解碼器所得到的自身編碼信息與接收到智能體 j 的解碼信息.此外 用于描述網(wǎng)絡(luò)不確定，表示為如下形式：

Θ（k）=

式（3）中：網(wǎng)絡(luò)不確定 出現(xiàn)于智能體 i 與智能體 j 的通信信道中.需要注意的是：（1）所描述的不確定只出現(xiàn)于智能體 i 與智能體 j 本身存在有向邊的情景，即對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)滿足 （v_i，v_j）∈ E：（2） 網(wǎng)絡(luò)不確定 與 無需是相同的，即網(wǎng)絡(luò)不確定干擾無需是雙向的，

1.3編碼器與解碼器的構(gòu)造

智能體 i 的編碼器設(shè)計(jì)如下：

式（4）中： 表示智能體 i 的編碼信息， 是產(chǎn)生編碼信息過程中所需的輔助變量.g（k） 是某一標(biāo)量函數(shù)，如果其序列未知，則無法對編碼信息解碼，這使得外界無法竊取智能體的狀態(tài)信息，起到保護(hù)隱私的作用[10].此外，量化函數(shù) 定義為：

式（5）中： ι∈（0，1） ， βgt;0 以及 l=0，1，2 .…，M ，其中 M 表示最大量化程度.

量化器輸出的量化程度為量化參數(shù) β 的整數(shù)倍，符合數(shù)字通信的基本條件.越大的原始數(shù)據(jù)經(jīng)過量化后需要越多位二進(jìn)制數(shù)表示，對于通信帶寬需求越大.

注1不同于文獻(xiàn)[10]中所設(shè)計(jì)的編碼器，上述編碼器可實(shí)現(xiàn)量化間隔的調(diào)整.具體地，可由量化參數(shù) c 與 β 調(diào)節(jié).另一方面， β 與量化程度直接掛鉤，調(diào)節(jié) β 能夠改變控制效果.最大量化程度 M 越小，對應(yīng)的最大量化程度 M 越大.此外，量化誤差的上界 ，這意味著隨著量化參數(shù) β 的減小，量化誤差逐漸變小.因此，更小的量化參數(shù) β ，量化得到的數(shù)值更接近于原始數(shù)值，但對信道的比特率要求也隨之變高.

假設(shè)智能體 j 是智能體 i 的鄰居，即存在 （v_i ，v_j）∈E .與智能體 i 的編碼器所對應(yīng)的智能體 j 的解碼器設(shè)計(jì)如下：

式（6）中： x_ji（k） 為智能體 j 通過解碼器所得到的解碼信息.由于 與 具有相同的表達(dá)式與初值，故恒有 ：

編碼-解碼方案下的受控系統(tǒng)由式 （1）～（6） 表示，其通信與控制方案如圖1所描述.智能體 i 首先通過傳感器將得到的狀態(tài)信息 x_i（k） 傳送到編碼器中.接著，編碼器將狀態(tài)信息編碼得到的編碼信息 s_i（k） 通過無線網(wǎng)絡(luò)發(fā)送到相應(yīng)的鄰居智能體 j ，同時將輔助變量 發(fā)送到控制器中.另一方面，智能體 i 接收到來自智能體 j 的編碼信息 ，并通過解碼器得到解碼信息 .智能體間的通訊網(wǎng)絡(luò)會受到網(wǎng)絡(luò)不確定的影響，如智能體 j 在傳輸信息給智能體 i 時受到網(wǎng)絡(luò)不確定 的影響.此后，根據(jù)輔助變量 與解碼信息 生成受到網(wǎng)絡(luò)不確定 θ_ji （k）影響的控制協(xié)議 .最后，通過控制器將控制協(xié)議 作用到系統(tǒng)當(dāng)中.

1.4 所需定義、假設(shè)與引理

定義1如果多智能體系統(tǒng)的狀態(tài)值在任意 初始狀態(tài)下滿足：

j=1，2，…，N 則稱多智能體系統(tǒng)在控制協(xié)議的作用下可實(shí)現(xiàn)均方一致性.

假設(shè)1設(shè)式（1）描述的多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)錇橛邢驁D，該有向圖的拉普拉斯矩陣 L 滿足 ，其中 J=diag（λ₁（L），λ₂（L），…， λ_N（L） ）， U 為正交矩陣.

假設(shè)2設(shè)網(wǎng)絡(luò)不確定 N 是滿足 與 的白噪聲序列，且對任意 j，l=1，2，…，N 且 j≠l ， θ_ij （k）獨(dú)立于 ：

引理1[22] 對于任意正數(shù) ε ， u∈R^q ， v∈R^l ， M∈R^q×l ， G∈R^l×l 且 Ggt;0 ，總有下述不等式成立：

2u^TMv?εu^TMGM^Tu+ε^-1v^TG^-1v

引理 （204號 假定矩陣 Pgt;0 是下述離散代數(shù)黎卡提方程的唯一解：

A^TPA-A^TPBK+（γ-1）P=O_n

式（8）中： γ∈（0.5，1） ， （B^TPB+I）^-1B^TPA 是式（2）表示的控制協(xié)議中的控制增益矩陣.若滿足：

則有

2一致性分析與最大量化程度估計(jì)

2.1 誤差系統(tǒng)的構(gòu)建

分別定義如下跟蹤誤差、編碼誤差與量化 誤差：

式 （10）～（12） 中：跟蹤誤差 e_s，i（k） 表示智能體 χ_i 的狀態(tài)值與所有智能體平均狀態(tài)的差值；編碼誤差 e_e，i（k） 表示解碼信息 與實(shí)際狀態(tài)x_i（k） 的差值，根據(jù)編碼器（4）與解碼器（6）的定義，恒有 ，故 x_i（k） ；量化誤差 e_q，i（k-1） 表示編碼器（4）中的數(shù)據(jù)通過量化器（5）處理后的失真.

此外，令 [x[（k），x（k），.，xN（k）]T， JT T.根據(jù)式（5）可得，

定理1若標(biāo)量函數(shù) g（k） 單調(diào)遞減，且滿足lim_k+∞g（k）=0 ，則編碼誤差 e_q（k） 能夠收斂到零.

證明：將編碼器（4）中對于輔助變量 的定義代入式（11）中，再代入式（12）得到編碼誤差 與量化誤差 e_q（k） 的關(guān)系如下：

g（k-1）s（k）=e_q（k-1）g（k-1）

式（13）中：由于 ，又因?yàn)?lim_k+∞g（k）=0 ，可得 lim_k+∞e_q（k）=0_Nn ：

證畢.

令 ，根據(jù)式（10），可得如下

基于克羅內(nèi)克積形式的跟蹤誤差系統(tǒng)：

e_s（k+1）=（Δ?I_n）x（k+1）=（Λ?A）x（k）- （Λ（L+Θ（k））?BK）（e_e（k）+e_s（k）） （14）令 ξ（k）=（U^T?I_n）e_s（k） ，則由假設(shè)1有： （U^TΛΘ（k）U?BK）ξ（k）- （15）式（15）中： ·

2.2 一致性分析

定理2在定理1、假設(shè)1和假設(shè)2均被滿足的情況下，若 γ∈（0.5，1） ， ，其中φ₁（γ）=γ（1+e₁+e₂）+（1+e₁^-1+e₃）σ_max²λ_max（L） （20 ∣Λ∣²×（det²（A）-（1-γ）ⁿ）²/（1-γ）^2n-1，e₁ 、ε^₂?ε^₃ 均為正實(shí)數(shù)， ，則式 （1）～（6） 描述的編碼-解碼方案下的受控系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)均方一致性.

證明：構(gòu)建如下李雅普諾夫函數(shù)：

令 ，將式（15）代人到式 （16）：

根據(jù)引理1，可將式（17）中部分項(xiàng)轉(zhuǎn)換為二次型：

（U^TΘ^T（k）Λ^TΛΘ（k）U?K^TB^TPBK）ξ（k）+

（19）

e_e（k）? ε₃ξ^Γ（k）（U^ΓΘ^Γ（k）Λ^TΛΘ（k）U?K^TB^TPBK）ξ（k）+

（1+?₄）L^TΛ^TΛL

式 （18）～（21） 中： ε₁，ε₂，ε₃，?₄ 為正實(shí)數(shù).

設(shè)矩陣 Pgt;0 ，且 P 是引理2中離散代數(shù)黎卡提方程的唯一解，根據(jù)式（8）得到如下不等式：

式（23）中： （1-γ）^2n-1 ，令 ， ，（204號 e₃=1+e₂^-1+e₃^-1 ，將不等式 （18）～（23） 代人到式（17）中可得到：

V（ξ（k+1））??₃（1+?₄^-1）φ（γ）∣Λ∣²

e_e^T（k）（Θ^T（k）Θ（k）?P）×e_e（k）+

γ_?1ξ^T（k）（I_N?P）ξ（k）

因?yàn)? L? ，其中 Π=（π_ij）_N×N ， π_ii=（a_i1σ_i1²+ （204號 a_Niσ_Ni²）_πiN ， π_ij=-a_ijσ_ij²-a_jiσ_ji² ，根據(jù)式（24）可得：

式（25）中： |2， φ₂（γ）=?₃（1+?₄）φ（γ）λ_max（L^TL）+?₃（1+?₄^-1） 與 E 存在不等式關(guān)系，將式（13）代入到式（25）中，并由 k 時刻迭代到0時刻：

注2式（26）表明，系統(tǒng)誤差可由量化誤差以及初始狀態(tài)影響.根據(jù) 可知，量化參數(shù) β 減小有利于系統(tǒng)誤差收斂；另一方面，根據(jù)注1中關(guān)于最大量化程度M 的定義，減小 β 會使得 M 增大，加重通信負(fù)擔(dān).因此，在實(shí)際應(yīng)用中，滿足信道帶寬約束的前提下，選擇盡可能小的量化參數(shù) β ，能夠達(dá)到最快的系統(tǒng)誤差收斂速度.

令 以及 W（k）=w（k）/g²（k） ，接下來將分別證明 與 ：

設(shè) ，且 .那么 ，故 lim_k+∞φ₁^k-1（γ）E ·

W（k+1） 滿足下述不等式：

η²∣e_q（k）∣²

根據(jù)式（27），由 k 時刻迭代到0時刻：

式（28）用到 （204號 ，根據(jù) η²φ₁（γ）lt;1 ，得到：

式（29）中：由于 W（k）=w（k）/g²（k） ，得到 與 為同階無窮小.根據(jù) g（k） 滿足lim_k+∞g（k）=0 可知 ，則得到 lim_k+∞E ，即

因此，受控系統(tǒng) （1）～（6） 能夠?qū)崿F(xiàn)均方一致性.

證畢.

2.3最大量化程度的估計(jì)

在編碼-解碼方案下實(shí)現(xiàn)均方一致性的同時，需要確保通信過程中最大的量化程度是有界的.這是因?yàn)橹悄荏w的網(wǎng)絡(luò)信道比特率和硬件存儲容量總是有限的，過高的量化程度會加大系統(tǒng)的通信負(fù)擔(dān).因此，下述定理給出了本文編碼-解碼方案中最大量化程度上界的估計(jì).

定理3若定理1和定理2中的條件均被滿足，則式 （4）～（6） 表示的編碼-解碼方案下的最大量化程度 M 是有界的.

證明：將式（1）代入到式（4）可得：

設(shè) h_max 為度矩陣 D 中最大的元素，根據(jù)式（2），則 可表示為

因此，將式（31）帶入式（30）到可進(jìn)一步得到：

根據(jù)式（26）可得：

設(shè) ，根據(jù)式（33）可得：

另外，設(shè)實(shí)數(shù) δgt;0 ，且滿足 ∣x_i（0）∣?δ/N ，?i=1，2，…，N ，根據(jù) 與 ，結(jié)合 η²φ₁（γ）lt;1 ，與式（34）可得：

根據(jù)式（5）中關(guān)于量化器 的定義，最大量化程度滿足：

通過式（35）與式（36）可知，編碼-解碼方案（4）～（6） 的最大量化程度 M 是有界的.

證畢.

3數(shù)值仿真

考慮如式（1）所描述的由4個智能體所組成的離散多智能體系統(tǒng)，其通信拓?fù)涞睦绽咕仃嚸枋鰹椋?/p>

此外，選擇如下系統(tǒng)參數(shù)：

根據(jù)矩陣 A 、矩陣 B 與 γ ，通過引理2計(jì)算 P 與 K 的取值如下：

設(shè)置各智能體的初始狀態(tài)：

根據(jù)式（3），令隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)不確定干擾 的方差 σ_ij²=1 ，生成干擾序列.并選擇量化參數(shù) β= 0.5，標(biāo)量函數(shù) g（k）=0，9^k ：

為說明本文控制方案的優(yōu)點(diǎn)，分別將本文系統(tǒng)誤差的范數(shù) ∣e_s（k） 「、量化程度與文獻(xiàn)[10對比，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示.

由圖2、圖3可知，使用本文設(shè)計(jì)的編碼-解碼控制方案的量化程度與使用文獻(xiàn)[10」中控制方案的量化程度相當(dāng)，而本文的系統(tǒng)誤差收斂更加迅速，這驗(yàn)證了本文提出的編碼-解碼控制方案的有效性.

為探究量化參數(shù) β 取值對系統(tǒng)性能產(chǎn)生的影響，選取多組 β ，繪制系統(tǒng)誤差范數(shù)曲線圖與量化程度莖葉圖，分別如圖4、圖5所示.

根據(jù)圖4可知，減小量化參數(shù) β 能夠提高控制精度，使系統(tǒng)誤差更快收斂到零.根據(jù)圖5可知，較小的 β 會產(chǎn)生較大的量化程度，與注2中的說明相符.

上述仿真實(shí)例驗(yàn)證了本文提出的編碼-解碼控制方案能夠有效地實(shí)現(xiàn)具有網(wǎng)絡(luò)不確定的離散多智能體系統(tǒng)的均方一致性，且給出了最大量化程度的估計(jì)方法.因此，能夠根據(jù)網(wǎng)絡(luò)帶寬，選擇合適的量化參數(shù) β 以實(shí)現(xiàn)最快的系統(tǒng)誤差收斂.

4結(jié)論

本文在編碼-解碼方案的基礎(chǔ)上探討了具有網(wǎng)絡(luò)不確定的離散多智能體系統(tǒng)的均方一致性問題.利用李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法并結(jié)合不等式分析技巧推導(dǎo)出了多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)均方一致性的充分條件.此外，估量了該編碼-解碼通信中最大量化程度，確定了對各信道通信速率的最低要求.最后，通過matlab實(shí)例仿真驗(yàn)證了本文理論結(jié)果的有效性.

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【責(zé)任編輯：陳 佳】