在聯(lián)系和遷移中學(xué)習(xí)乘法口訣

在中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史中，乘法口訣的應(yīng)用有著悠久的歷史，楚簡(jiǎn)中的“九九術(shù)\"作為世界上最早的乘法口訣表實(shí)物，證明了中國(guó)人在2300多年前就已發(fā)明并使用乘法口訣，乘法口訣是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要成就之一。

北師大版教材在二年級(jí)上冊(cè)將乘法口訣分為兩部分編排，先安排一個(gè)單元學(xué)習(xí)\"2～5的乘法口訣”，再安排一個(gè)單元學(xué)習(xí)\"6＼～9的乘法口訣”。在第五版教材修訂時(shí)，對(duì)部分乘法口訣進(jìn)行了整合學(xué)習(xí)，如將“7的乘法口訣”與“8和9的乘法口訣”由原來(lái)的兩節(jié)課整合為一節(jié)課（如圖1），結(jié)合中國(guó)古典名著《西游記》中的內(nèi)容創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)乘法口訣與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系。教師借助“問(wèn)題串\"引導(dǎo)學(xué)生編制7，8，9的乘法口訣，發(fā)現(xiàn)這些乘法口訣之間的內(nèi)在聯(lián)系。同時(shí)，提供用手指記憶9的乘法口訣的小技巧，進(jìn)一步突出通過(guò)聯(lián)系與遷移發(fā)現(xiàn)乘法口訣之間的規(guī)律，有助于學(xué)生數(shù)感與運(yùn)算能力的發(fā)展。

在教學(xué)實(shí)踐中，筆者基于教材的“情境 + 問(wèn)題串\"設(shè)計(jì)，通過(guò)“編制口訣 $$ 拆解口訣 $$ 具身表達(dá)”三個(gè)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、概括等思維能力，優(yōu)化靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的策略。

一、情境導(dǎo)人，激發(fā)興趣

教師通過(guò)創(chuàng)設(shè)趣味性極強(qiáng)的《西游記》故事情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)7，8，9的乘法口訣的好奇心和求知欲，自然而然地引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

【教學(xué)片段1】

師：在《西游記》里有許多有趣的故事，這些故事中蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)知識(shí)，讓我們一起來(lái)讀一讀、找一找。

生：這里有乘法口訣八九七十二，七七四十九，九九八十一。

生：我舉個(gè)例子，比如這里提到孫悟空有七十二般變化，用乘法口訣來(lái)說(shuō)就是“八九七十二般變化”，這讓我們覺(jué)得很有趣。

師：看來(lái)你們也有一雙和孫悟空一樣的火眼金睛！今天讓我們隨著《西游記》一起探索“7，8，9的乘法口訣”。

此類情境設(shè)計(jì)使學(xué)生在兩個(gè)方面受益：一方面，將喜聞樂(lè)見(jiàn)的《西游記》故事和乘法口訣建立起情感上的聯(lián)結(jié)，激發(fā)探索的興趣;另一方面，對(duì)尚未學(xué)習(xí)的7，8，9的乘法口訣的韻律有了初步的感知。

二、自主遷移，編制口訣

教師借助編制7，8，9的乘法口訣活動(dòng)進(jìn)行整合和重組，引導(dǎo)學(xué)生在編制口訣的過(guò)程中理解乘法口訣的意義，并發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，從而在掌握乘法口訣規(guī)律的基礎(chǔ)上加深記憶。鑒于學(xué)生在學(xué)習(xí)1～6的乘法口訣時(shí)已經(jīng)掌握了其結(jié)構(gòu)，并積累了一定的編制經(jīng)驗(yàn)，因此在本節(jié)課中，教師鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立編制乘法口訣，并展示多樣的編制方法，同時(shí)討論乘法口訣之間的聯(lián)系，以實(shí)現(xiàn)教學(xué)的整體性和一致性。

【教學(xué)片段2】

師：想一想，算一算，嘗試編出7，8，9的乘法口訣。編完后向大家介紹你是怎么編出7，8，9的乘法口訣的，有什么好方法。

生：我是通過(guò)加法來(lái)編乘法口訣的（如圖3），7的乘法口訣是后面的一句比前面的一句增加一個(gè)7，8的乘法口訣是每句增加一個(gè)8，9的乘法口訣是每句增加一個(gè)9。因此，只要知道了前面的口訣，后面口訣的結(jié)果用加法就能推算出來(lái)。

生：我是先列乘法算式（如圖4），這些算式中大部分可以通過(guò)已學(xué)的口訣計(jì)算得出，只有七七、七八、七九、八八、八九、九九這幾句口訣沒(méi)學(xué)過(guò)。但也可以根據(jù)7個(gè)7比6個(gè)7多1個(gè)7，把新的口訣編出來(lái)。

師：比較這兩名同學(xué)編口訣的方法，他們的方法有什么相同之處？

生：他們實(shí)際上都是利用“幾個(gè)幾”來(lái)編乘法口訣的，乘法其實(shí)就是加法的重復(fù)，比如 7×2=14 就是7+7=14.

生：他們?cè)诓恢莱朔谠E的情況下，都是通過(guò)已學(xué)的乘法口訣推算出結(jié)果的。

師：同學(xué)們能根據(jù)學(xué)過(guò)的加法、乘法知識(shí)以及已經(jīng)掌握的乘法口訣來(lái)推導(dǎo)出新的口訣，你們真善于解決問(wèn)題。我們班還有一名同學(xué)是這樣編制乘法口訣的，你們能看懂他的方法嗎？

生：他在編制8的乘法口訣時(shí)，先利用7的乘法口訣編寫(xiě)到七八五十六，再加1個(gè)8就是八八六十四，繼續(xù)加1個(gè)8就是八九七十二。編制9的乘法口訣時(shí)也采用了這樣的方法，利用8的乘法口訣得到八九七十二，再加1個(gè)9得到九九八十一。

生：我猜想他在編制7的乘法口訣時(shí)，借鑒了6的乘法口訣，一旦7的乘法口訣編制好，便可以借助它來(lái)編制8的乘法口訣，依此類推。

師：乘法口訣真的好神奇！剛才，有的同學(xué)通過(guò)加法或乘法來(lái)編制乘法口訣，還有同學(xué)通過(guò)遷移以前學(xué)的乘法口訣知識(shí)來(lái)編制新的口訣。觀察你們編好的乘法口訣，這些乘法口訣之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)先在小組內(nèi)說(shuō)一說(shuō)你的發(fā)現(xiàn)，并在全班進(jìn)行交流。

（小組交流討論4分鐘）

生：我們小組發(fā)現(xiàn)了兩條規(guī)律。第一條是這些乘法口訣中一個(gè)乘數(shù)從小到大依次是1，2，3，9，另一個(gè)乘數(shù)則分別是7，8，9。第二條是編幾的乘法口訣，下一句總是比前一句多出幾。

生：我們小組發(fā)現(xiàn)9的乘法口訣中，積的兩個(gè)數(shù)字相加的結(jié)果總是9。

師：你們能具體舉例說(shuō)一說(shuō)嗎？

生：比如一九得九，積是9，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)數(shù)字，所以不需要相加。接著是二九十八，其中十位上的1加上個(gè)位上的8等于9。三九二十七中十位上的2加上個(gè)位上的7也等于9。這個(gè)規(guī)律一直到九九八十一都符合。

師：大家能夠運(yùn)用多種方法編制出7，8，9的乘法口訣，并發(fā)現(xiàn)了乘法口訣間的諸多關(guān)系，看來(lái)你們對(duì)乘法口訣已經(jīng)相當(dāng)熟悉了。

通過(guò)編制7，8，9的乘法口訣，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)口訣之間的聯(lián)系，旨在促進(jìn)思維能力的發(fā)展。7，8，9的乘法口訣是整個(gè)乘法口訣表中的一部分。編制它們能讓學(xué)生理解乘法口訣之間的關(guān)系，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)規(guī)律的樂(lè)趣，同時(shí)也體現(xiàn)了乘法口訣不僅是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，更是思維能力提升的載體。

三、洞悟規(guī)律，拆解口訣

學(xué)生在編制7，8，9的乘法口訣時(shí)，已能自然運(yùn)用相鄰乘法口訣的關(guān)聯(lián)進(jìn)行推導(dǎo)，展現(xiàn)出聯(lián)系與遷移的能力。然而，單純依賴相鄰口訣的線性推導(dǎo)，難以觸及口訣背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師應(yīng)巧妙融入“分與合\"思想，使學(xué)生在具體情境中直觀體會(huì)乘法運(yùn)算中“部分與整體”的關(guān)系。

【教學(xué)片段3】

師：既然大家已經(jīng)編制出了7，8，9的乘法口訣，并且找到了口訣之間的關(guān)系，那下面圖6中的方法，你們能看懂嗎？請(qǐng)想一想，填一填。

生：8個(gè)8就是由5個(gè)8和3個(gè)8組成的， 40+24 =64 。

生：7個(gè)7可以看成原來(lái)有9個(gè)7，減掉了2個(gè) 7，63-14=49 。

生：這些方法的意思就是，對(duì)于某一句口訣，可以根據(jù)它前面的口訣或后面的口訣推導(dǎo)出它的結(jié)果。如根據(jù)五八四十和三八二十四可以推導(dǎo)出八八六十四。

生：我也贊同這樣的說(shuō)法。我發(fā)現(xiàn)任意一句口訣可以通過(guò)兩個(gè)和它有關(guān)系的乘法口訣相加或相減來(lái)獲得。

教師通過(guò)直觀的數(shù)線圖，融人“分與合”思想，引導(dǎo)學(xué)生將8個(gè)8拆解為5個(gè)8加3個(gè)8、7個(gè)7拆解為9個(gè)7減2個(gè)7，使學(xué)生在直觀圖式中體會(huì)乘法運(yùn)算中“部分與整體\"的關(guān)系。這種結(jié)構(gòu)化視角不僅深化了對(duì)乘法口訣意義的理解，還孕伏了乘法分配律的雛形，為后續(xù)運(yùn)算律的學(xué)習(xí)及復(fù)雜運(yùn)算的意義建構(gòu)打下了基礎(chǔ)，有效突破了機(jī)械遷移的思維局限。

四、多感官協(xié)同，具身表達(dá)

現(xiàn)代腦科學(xué)的研究表明，手指動(dòng)作通過(guò)小腦與大腦的協(xié)同作用，促進(jìn)神經(jīng)元的連接和髓鞘的發(fā)育，有利于學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展。運(yùn)用手指分合的方法，通過(guò)多感官協(xié)同和具身認(rèn)知機(jī)制，學(xué)生可以直觀地體會(huì)到乘法口訣的構(gòu)成，如二九十八，彎下的手指左側(cè)1根為十位，右側(cè)8根為個(gè)位，這就將抽象的乘法口訣轉(zhuǎn)化為可操作的身體經(jīng)驗(yàn)，符合低年級(jí)學(xué)生以形象思維為主的特點(diǎn)，有助于學(xué)生在手指動(dòng)作中理解數(shù)學(xué)規(guī)律。

【教學(xué)片段4】

師：大家對(duì)7，8，9的乘法口訣已經(jīng)有了非常深刻的理解。9的乘法口訣，就是九九乘法表中最大數(shù)的乘法口訣，你們有什么話想對(duì)9的乘法口訣說(shuō)呢？

生：9的乘法口訣，你好！為什么你是最大數(shù)的乘法口訣了？為什么人們不接著編10，11的乘法口訣呢？

生：你是最大數(shù)的乘法口訣，是不是也是最難的乘法口訣呢？

師：看來(lái)，大家對(duì)9的乘法口訣有很多好奇的地方。你們知道嗎？其實(shí)還可以用我們的10根手指來(lái)記憶9的乘法口訣?？匆豢?，你能接著做下去嗎？

（教師出示圖7）

（讓學(xué)生觀察圖片中的表示方法，繼續(xù)做下去并說(shuō)明自己是怎么做的）

具身操作既為數(shù)學(xué)能力較弱的學(xué)生提供了可依賴的工具，也為數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生提供了探索規(guī)律的機(jī)會(huì)。學(xué)生在操作的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)每次彎下一根手指，十位上的數(shù)增加1，個(gè)位上的數(shù)減少1。通過(guò)具身體驗(yàn)會(huì)發(fā)現(xiàn)“9的乘法口訣結(jié)果的每個(gè)數(shù)字相加為9”。

《《西游記》中的乘法口訣》一課將傳統(tǒng)文化元素與數(shù)學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合，為學(xué)生提供了一條“情境認(rèn)知一規(guī)律發(fā)現(xiàn)一認(rèn)知發(fā)展\"的立體化學(xué)習(xí)路徑。在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生不僅能夠領(lǐng)悟到乘法口訣編制的一致性規(guī)律，而且學(xué)習(xí)了“按群計(jì)數(shù)”“分與合”“變與不變”等數(shù)學(xué)思想和解決問(wèn)題的策略。這樣的教學(xué)打破了傳統(tǒng)乘法口訣教學(xué)的碎片化困境，支持學(xué)生通過(guò)情境激活乘法口訣與生活的聯(lián)系，同時(shí)借助結(jié)構(gòu)化視角洞察乘法口訣間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，真正實(shí)現(xiàn)了從“被動(dòng)學(xué)習(xí)\"到“主動(dòng)建構(gòu)與理解創(chuàng)造\"的轉(zhuǎn)變，從“知識(shí)習(xí)得\"到“思維發(fā)展與素養(yǎng)提升”的躍遷。

（1.清華大學(xué)附屬小學(xué)2.北京市朝陽(yáng)區(qū)教育科學(xué)研究院）