探明學情，激發學生的自主學習能力

心理學家奧蘇貝爾提出：學習者已經知道了些什么是影響學習最重要的因素，教師應據此設計并實施教學[1.探明學習者已有的知識結構與認知水平的過程，就是學情分析.通常情況下，教師可以運用個別訪談、摸底調研、過程展示等方法，全面了解學生的知識儲備、思維特點以及數學實踐經驗等情況，從而預判學生在教學過程中可能遇到的困惑與障礙，為落實“自主學習\"的教學理念奠定基礎.

創設情境，自主提問

愛因斯坦提出：教學中，學生自主提出一個問題比解決一個問題更重要．良好的問題情境能吸引學生的注意力，使學生置身于特定環境中激活思維，對問題展開深入思考.基于學情與教情創設良好的問題情境，一方面能營造積極的教學氛圍，激發學生的探究興趣；另一方面，教師通過恰當引導，可啟發學生思維，促使學生主動發現并提出問題.

【教學片段一】

師：現在我們一起回顧一下兩角和與差的正弦、余弦公式.借助這組公式能解決什么問題呢？大家可以大膽表述，暢所欲言.

生1：該公式可用來求一些非特殊角的三角函數值，如cos15°， cos75^° sin15^° sin75^° sin105^° ，….

生2：根據 sin75^° 與 cos75^° ，可獲得 tan75^° 的值，理由為

師：非常好！這里我有個疑惑，在準備求正切函數的值時，一定要將其轉化為正弦、余弦來解決嗎？有沒有屬于正切自己的公式呢？這就是本節課我們將要重點研究的話題.

教學評析本教學片段旨在引導學生關注“兩角和與差的正切公式”，讓學生充分認識研究該公式的必要性與重要性.教師通過帶領學生回顧兩角和與差的正弦、余弦公式，啟發學生思維，并引導學生明確具體的待解決問題，確保學生表達內容“言之有物”．同時，課堂倡導“大膽表達，暢所欲言\"的理念，為學生營造了寬松、民主、自由、平等的教學氛圍．隨著教學主題的逐步揭示，學生能夠圍繞核心問題展開有針對性的互動與交流，從而為后續公式的推導奠定堅實基礎.

適當點撥，自主推導公式

弗賴登塔爾認為：若將數學概念、公式、定理、法則等作為一個“成品\"來實施教學，那么學生唯一能做的就是練習與應用，這并不是真正意義上的數學教學[2]如果數學教學僅停留在復述、復制、鸚鵡學舌的層面，那么學生無法真正理解所學內容，在實際應用時也會出現各種問題．而引導學生探尋知識的來龍去脈，親身經歷知識的“再創造”過程，能夠幫助他們深刻領悟知識內涵，從而在應用知識時更加得心應手.

【教學片段二】

師：現在請大家嘗試自主推導兩角和與差的正切公式，盡可能應用最恰當的形式分別表達 tan（α+β） 與 tan（α- β_， .教師板書：

（學生以小組為單位開展合作交流活動，教師在教室內加強巡視，適時給予點撥指導．）

師：我發現好幾個小組給出的步驟是這樣的： tan（α+ ，大家說說是否可以用它來推導兩角和與差的正切公式？

（學生繼續討論，隨后展示他們得出的結論．）

將該式的分子與分母同除以cosacosβ，可得sinacosB+cosαsinB ，因此 同理推導出

教師板書學生推導的結論后，提出疑問：為什么在得到弦之比后，還要把問題轉化為正切呢？請談談這樣轉化的理由.

生4：兩角和與差的正弦、余弦公式都是用正弦和余弦表示的，而我們要求的是正切值.為了保持前后函數類型一致，用正切來表達顯然更合理.

生5：這樣轉化后，形式會更加簡潔.

師：兩位同學說得都很有道理.把這兩個理由結合起來就更完整了—既要保持前后函數類型的一致性，又要保證表達形式最簡.這正是數學公式應有的特點.

教學評析教師若直接提出“可否根據 tan30^°. 與 tan45^° ，直接獲得tan15的值？”這雖然能為學生的思維搭建“腳手架”，但問題指向過于明確，不利于充分激發學生的思維潛能．若想真正提升學生的思維能力，教師需提出思維含量更高的問題，引導學生深入分析.

從學生現有的知識儲備來看，引導其自主探究公式的表達形式，正處于學生的最近發展區．教師只需給予適當點撥，便能有效激活學生思維，實現良好的教學效果，課堂教學反饋也驗證了這一教學設計的可行性．在獨立思考與小組合作交流過程中，學生通過思維碰撞集思廣益，最終成功推導出正切公式．當討論遇阻、進度延緩時，教師及時引導，能顯著提升學習效率.

試想，若教師在學生尚未進行自主探索與合作交流時，就直接展示正切公式，學生將錯失思維訓練的良機，對公式只能機械記憶，難以深入理解其本質．而將公式推導的主動權交給學生，鼓勵他們自主探索、合作交流，能讓學生切實掌握三角函數問題中“弦化切\"的方法，這對提升邏輯推理能力具有重要意義．此外，學生通過自主推導得出結論所獲得的成就感，還會轉化為繼續探索新知的動力.

實際應用，自主編題

皮亞杰提出：兒童自主發現的知識能更好地被自身認知結構同化.從知識點關聯來看，兩角和與差的正切公式和兩角和與差的正弦、余弦公式存在關系．若運用類比思想，可將解決正弦、余弦問題的方法遷移至正切問題.高中生具備一定的類比推理能力，因此，教師可將編擬題目的任務交給學生，促使他們通過自主思考深化對公式應用的理解，同時在編題過程中感受數學學科的魅力

【教學片段三】

師：現在大家已經推導出兩角和與差的正切公式，這個公式可以用來解決什么問題呢？請大家結合自身已有的認知，編擬一些需要應用正切公式解決的問題來與同伴分享交流.

學生所編擬的題目主要有以下兩種類型：

類型1特殊角正切值類的問題.例如分別求 tan15^° tan75^° tan105^° 的值.

類型2配湊角解決問題.典型的問題有：若tand ：=3 tan（α-β）=2 ，則tanβ的值是多少？

關于類型2中所提到的這道題，學生在交流中呈現出如下兩種解法： ① 配湊角，這是學生比較熟悉的一種方法，即β=α-（α-B）；②直接展開法，即tan（α-B）=tana-tanβ2，把tanα=3代人上式，解得tanβ=1

隨著這兩種解法的應用，學生很快就自主發現“展開法\"應用在正余弦問題中確實有點煩瑣，但應用在正切相關問題中卻比較簡潔.

此時，課堂達到一個小高潮，學生的思維也極度活躍隨著幾道題的展示與解決，學生通過自主思考、交流分析等，很快就從根本上掌握了該公式的應用.

教學評析從學生對此教學環節的反饋來看，這無疑是一個成功的教學實踐．不同學習水平的學生均積極參與自主編題活動，無論所編題目難易程度如何，他們都充分體驗到了學習帶來的愉悅感．在以教師出題為主導的傳統教學背景下，學生面對自主編題展現出更高的積極性，這對提升其學習信心有著顯著的促進作用.

安排學生相互解答同伴所編題目，其目的在于幫助學生熟練掌握公式應用，實現知識的靈活運用，進而激發學習潛能．從學生的解題過程可以觀察到，他們的思維始終保持著高度活躍的狀態，這對于課堂教學而言，是極為寶貴的教學成果.

積極反思，自主探尋規律

曾子曰：“吾日三省吾身.\"反思不僅是自我提升的重要方式，更是數學思維活動的動力源泉.數學問題豐富多樣、靈活多變，尤其是綜合性較強的題目，往往存在多種解題方法.這就要求學生以靈活的思維應對每一個數學問題，通過不斷反思解題思路，總結經驗，從而提升數學素養.學生通過反思可發現解題過程是否合理，解題方法是否最優，良好的反思還能總結歸納解題方法，從真正意義上掌握解題技巧，對問題實現拓展與提升，獲得解題的一般規律[3]

【教學片段四】

師：看來大家對編題都興致盎然，現在咱們一起探討一下我編擬的這道題目.

例1求證1-tan15°

生6：這題簡單，只要先獲得 tan15^° 的值，并將其代入式子即可解決.

師：這個辦法可行.不過，我們能否找到更優的解題方法呢？建議從式子結構和公式結構兩個角度展開分析與思考.

生7：若把“1\"改為tan45o，則有tan45-tan15°

師：這個想法很好，你是怎么想到這個方法的？

生7：您之前提醒我們從式子結構和公式結構兩個角度分析問題，我發現本題的分式形式和公式形式有相似之處，于是嘗試把它變形，湊成公式的樣子，這樣就能直接化簡得出結論了.

師：非常棒！觀察得很仔細，也能看出你對公式結構掌握得很扎實.從這道題目來看，與你們自主編擬的題目有什么不同？

生8：我們自主編擬的題目，大多直接運用兩角和與差的正切公式展開計算；而這道題目有所不同，需先對式子變形構造出公式，再進行求解

師：沒錯.之前我們一直是正向運用公式解題，而這道題目需要逆向運用公式.現在請大家思考，這道題目的求解方法有哪些合理性？同時結合已學知識，看看還有沒有更優的解題思路

例2 tan70^°-tan70^°tan25^°-tan25^° 的值是多少？

生9：可把 tan70^° 轉化為tan（ 25^°+45^°， ，隨后展開并代入 原式，則原式=tan25+tan45 ，經過通分與 化簡，可獲得本題的答案為1.

生10;本題還可以提取 則 tan25^°）-tan25^°=1.

大部分學生認可這兩位同學的解題思路，不過仍有少數學生處于沉思狀態

師：從剛才這兩位同學的解題過程來看，生9展現出了很高的運算素養，生10提出的改進方案則更為便捷，這兩種解法都屬于公式的正向應用.那么，基于公式的結構特征，本題是否還存在更優的解題方法呢？

生11：鑒于t 那么 .tan70^°- tan25^°=tan70^°tan25^°+1. 由此可見，本題的答案是1.

師：哦？你是怎么想到這個辦法的？

生11：根據提示，我重新審視了問題與公式，有了新的發現：題中的前后兩項是兩角差正切公式的分子部分，把分母乘過去，將分子表示出來，再代入原式，問題就輕松解決了.

師：很好，由此大家有沒有受到什么啟發？

生12：有時候，我們應突破思維定式，對公式進行變形應用.

師：不錯！公式、定理、法則等的應用不能一成不變，而應結合實際情況活學活用，變形應用就是活用的一種方式.那么，我們能否將兩角和與差的正切公式推廣到一般情形呢？

生13：根據tan（α+β）=tana+tanB 可得tand tanβ= tan （α/+β） （1-tanatanβ）;根據 ，可得tanα-tanβ=tan（α-β）（1+tanαtanβ），

生14：要注意1-tanαtanβ eq0 的情況，否則分式無意義.

師：非常好！此為兩角和與差正切公式的變形，在后續應用中會經常涉及，大家可在今天的課后作業中初步體驗一下.

教學評析逆向思維訓練旨在有效提升學生的反思能力．在本教學環節中，教師通過設置典型例題，引導學生共同探究解題思路，促使學生從思維連貫性與公式結構特點出發，逆向運用公式，逐步積累解題經驗，同時，通過一題多解及解題方法優化，學生不僅能深入理解公式的多種變形形式，還能從公式結構特征中歸納出一般性規律，進而完善自身的認知結構.

總之，學生是課堂的主體．學生“四能\"的發展，離不開教師對課堂的精心設計與雕琢.作為教師，最關鍵的是充分了解學情，為學生營造適宜的探究環境，激發學生主動探究的欲望，同時給予學生充足的自主思考與反思空間，這是提升學生數學核心素養的重要基礎.

參考文獻：

[1]奧蘇貝爾，等.教育心理學—認知觀點[M].佘星南，宋鈞，譯.北京：人民教育出版社，1994.

[2]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯．上海：上海教育出版社，1995.

[3］龐維國.論學生的自主學習[J].華東師范大學學報（教育科學版），2001（2）：78-83.