一道高三橢圓試題的解法與推廣

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A

解答圓錐曲線中角度最值考題的核心思路，在于巧妙利用三角函數的單調性，通過建立合理的關系式，反求角的取值范圍.基于這一關鍵認識，我們將從代數運算、幾何性質、向量工具等多個視角深入探究考題的解法，并進一步歸納總結，將結論推廣到一般情形，挖掘問題本質規律.

1考題呈現

題目 已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F₂ ，橢圓的長軸長為 ，短軸長為 ^2，P 為直線 x=2b 上的任意一點，則 ∠F₁PF₂ 的最大值為（ ）：

2 試題解答

分析1 根據題意求出 ?a，b，c 的值，設直線 x 文章編號：1008-0333（2025）16-0064-04=26 與 x 軸的交點 M ，并設 ∣PM∣=t ，利用直角三角形的邊角關系將 ∠PF₁M 和 ∠PF₂M 的正切值分別表示為 χ_t 的式子，然后利用三角形外角定理，把∠F₁PF₂ 表示為兩個角的差角，再運用差角的正切公式把 tan∠F₁PF₂ 表示為 χ_t 的關系，結合基本不等式并利用正切函數的單調性求解.

解法1 根據題意可知 所以 設直線 x=2 與 x 軸的交點為 M ，設 ∣PM∣=t（t ），則有 所以 tan∠F₁PF₂=tan（∠PF₂M-∠PF₁M）

當且僅當 時取等號.因為 所以 tan∠F₁PF₂ 單調遞增.所以∠F，PF≤可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析2設出點 P 的坐標，用其分別表示 PF₁ 與 PF₂ 的斜率，利用到角的正切公式，并用點 P 的坐標表示 tan∠F₁PF₂ ，再結合基本不等式求出正切值的取值范圍，最后利用正切函數的單調性求解角度的最值.

解法2 由解法1可得橢圓 F₁（δ-1，0），F₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.

如圖1，設 P（2，y₀） ，不妨設 y₀gt;0 ，則

結合橢圓的對稱性可知當且僅當 時取等號.因為 所以 tan∠F₁PF₂ 單調遞增.所以 可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析3設出點 P 的坐標，然后構造向量，再利用向量夾角公式將 cos∠F₁PF₂ 用點 P 的坐標表示出來，通過合理變形后換元、配湊并運用基本不等式求出余弦值的取值范圍，最后利用余弦函數的單調性求解角度的最值.

解法3 由解法1可得橢圓 F₁（ε-1，0），F₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.設 P（2，y₀） ，則 （204號

令 ，則

當且僅當 6+t=-6+3t ，即 t=6 ，結合橢圓的對稱性可知當且僅當 時取等號.因為 （20所以 cos∠F₁PF₂ 單調遞減.所以∠F，PF≤可得 ∠F₁PF₂ 的最大值為 故選D.

分析4設出點 P 的坐標，然后構造向量，利用向量夾角公式將 cos∠F₁PF₂ 用點 P 的坐標表示出來，通過合理變形后換元、配湊并運用二次函數知識求出余弦值的取值范圍，最后利用余弦函數的單調性求解角度的最值.

當且僅當 即 t=6 ，結合橢圓的對稱性可知當且僅當 時取等號.下同解法3.

分析5 本題是求解最大角問題，這里挖掘試題中隱含的米勒定理模型，運用米勒定理及平面幾何知識求解，則思路簡潔，使考題獲得快速求解[1].

米勒定理 已知 ^A，B 是 ∠MON 的邊ON上的兩定點， C 是邊 oM 上的一動點，則當且僅當△ABC的外接圓與邊OM相切于點 C 時， ∠ACB 最大.

解法5 由解法1可得橢圓 F₁（ε-1，0），F₂（1，0） ，點 P 為直線 x=2 上一點.

如圖2，設直線 x=2 與 x 軸的交點 M ，由米勒定理可知，當點 P 為過 F₁，F₂ 的圓與直線 x=2 相切時的切點時， ∠F₁PF₂ 最大，此時根據圓的切割線定理可知 ∣MP∣²=∣MF₁∣?∣MF₂∣

因為 ∣MF₁∣=2-（α-1α）=3 ，

∣MF₂∣=2-1=1

所以 ∣MP∣²=3×1=3

即 ：

所以在 RtΔF₁MP 中，

所以 1

在 RtΔF₂MP 中，

所以

所以 由此 ∠F₁PF₂ 的最大值為

故選D.

3推廣探究

把上述考題的結論推廣到一般橢圓情形，可有：

結論1已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F₂，P 為直線 x=m（mgt;） a ）上的任意一點，則tan ∠F₁PF₂ 的最大值為

證明過程可按上述考題解法5的思路，利用米勒定理來證明.

證明設 如圖2，設直線 x=m（mgt;a） 與 x 軸的交點 M ，由米勒定理可知，當點 P 為過 F₁，F₂ 的圓與直線 x=m 相切時的切點時， ∠F₁PF₂ 最大，此時根據圓的切割線定理可知 ∣MP∣²=∣MF₁∣?∣MF₂∣

因為 ∣MF₁∣=m-（μ-c）=m+c ，

∣MF₂∣=m-c，

所以 ∣MP∣²=（m+c）（m-c）=m²-c². （2號

即

在 RtΔF₁MP 中，

在 RtΔF₂MP 中，

所以 tan∠F₁PF₂=tan（∠F₁PM-∠F₂PM）

根據橢圓的對稱性，同樣有：

結論2已知橢圓 的左、右焦點分別為 F₁，F₂，P 為直線 x=m（mlt;-a） 上的任意一點，則tan ∠F₁PF₂ 的最大值為

結論2的證明可仿照結論1的證明進行，這里從略.

4 結束語

做題貴在少而精.許多經典數學試題蘊含豐富的數學思想、方法與規律，值得深入研究與發掘.因此，在日常解題教學中，教師要引導學生從多個視角分析思考、展開聯想，讓學生的數學思維保持靈動通過這樣的訓練，學生能夠感悟解題本質，嘗試不同路徑解決問題.長此以往，不僅能培養學生靈活的思維品質，激發其探索精神與創新意識，還能切實提升數學學科能力與素養[2].

參考文獻：

[1］劉恒.以米勒定理為背景的數學試題解析[J].中學生理科應試，2024（08）：19-20.

[2]朱彬，胡曉靜.對一道橢圓聯考題的解法與延伸[J].中學數學研究，2023（07）：56-58.

[責任編輯：李慧嬌]