初中數學中讓學生“打開思路”的解題方法研究

1 問題提出

當前的初中數學教學中存在解題方法單一、學生思維固化、實踐應用脫節等問題.教師在授課過程中多按照既定方式方法引導學生學習基礎知識，多以教材標準解法為準，一題多解、多題一解的引導難在課堂中進行，許多學生在面對復雜問題時，缺乏多角度思考與靈活變通的能力，導致解題效率低下；同時，學生依賴標準解法，缺乏對問題本身的挖掘，面對變式題或綜合題時難以靈活識別題型并遷移相關知識點.

以人教版九年級教材為例，“二次函數”“相似三角形”\"圓的性質”等章節涉及大量綜合性問題，但教材中的例題與習題多以標準解法為主，缺乏對發散思維的引導，學生不能“打開思路”.本文以“打開思路”為目標，結合具體教學案例，從方法指導、策略歸納、實踐應用及技術融合等方面，探索初中數學解題教學的優化路徑.

2 問題解決

2.1 立足教材內容，構建思維框架

在\"二次函數與實際問題”模塊中，教材通過“拋物線最值問題”引導學生建立函數模型，但實際教學中可以在此基礎上進一步拓展.

例1圖1是一拋物線型拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬4米，若水面下降1米，水面寬度增加多少？

解析如圖2所示，構建平面直角坐標系，將水面所在的直線設為 x 軸，同時把經過拱頂且與水面垂直的直線當作 軸.此時拱頂坐標為（0，2），水面與拋物線交點坐標為（2，0）和（一2，0）.

設拋物線解析式為 y=ax²+2 ，將（2，0）代人解析式可得： A

所以拋物線解析式為

當水面下降1米時，此時 y=-1 ，代入拋物線解析式，解得 ，此時水面寬度為 米.原來水面寬度為4米，所以水面寬度增加了 4米.

拓展1多條件變化下的水面寬度問題

例2水位多次變化：若水面先下降1米，再上升 h 米（ ，求此時水面寬度.

解析當水面下降1米時，如上述計算， y= -1 時，水面寬度為 米.當水面在下降1米的基礎上再上升 h 米時，此時 y=-1+h ，得 x= ，此時水面寬度為 米.

點評通過分析 h 的變化對水面寬度的影響，讓學生理解拋物線函數值與自變量之間的動態關系，強化對函數概念的理解.

拓展2 實際應用拓展.

例3橋梁通航問題：在該拱橋下修建通航通道，規定船只在水面以上的高度不能超過 h 米（ （0lt; hlt;2） ，求能通過的最大船寬.

解析當 y=2-h 時，解得 ，所以能通過的最大船寬為 米.

點評通過拓展活動，讓學生能夠切實感受到數學知識在實際工程里的具體運用，進而有效提升學生運用數學知識攻克實際問題的主觀能動性.

2.2多角度分析問題，突破思維定式

2.2. 1 一題多解

例4如圖3所示，在 ΔABC 中， AB=AC ，BE，CF 分別是 AC ，AB邊上的高，求證： BE=CF

解法1

利用三角形面積公式.在 ΔABC 中，以AB為底， CF 為高時， ；以 AC 為底，BE 為高時， 又因為 AB=AC ，所以 AB×CF=AC×BE ，由此可得 BE=CF ：

解法2

證明三角形全等.因為 AB=AC ，所以 ∠ABC =∠ACB .由于 BE，CF 分別是 AC，AB 邊上的高，所以 ∠BFC=∠CEB=90^°， .根據角角邊定理，可判定 ΔBFC?ΔCEB .全等三角形對應邊相等，所以BE=CF .

點評在初中數學教學過程中，引導學生掌握多樣解題方法、拓寬思路對提升其數學素養至關

重要.

2.2.2 逆向思維

例如在\"方程與不等式”教學中，教師可以設計如下問題：已知方程 x²-5x+6=0 的解為 x=2 和 x=3 ，請構造一個實際問題背景，使得該方程的解具有實際意義.

學生可以構造這樣的問題：一個矩形花園，它的長比寬多1米，面積為6平方米，求花園的長和寬.設花園的寬為 x 米，則長為 （x+1） 米，根據矩形面積公式可列出方程 x（x+1）=6 ，整理得 x²+x- 6=0 ，因式分解為 （x-2）（x+3）=0 ，解得 x=2 或x=-3 （舍去），所以花園的寬為2米，長為3米.

點評通過這樣的逆向思維訓練，學生從傳統的\"解題者”轉變為“命題者”，他們需要深入理解方程的本質及方程的解與實際問題之間的聯系.這種訓練方式打破了學生常規的解題思維模式，培養了學生的創新思維和對知識的綜合運用能力.

2.3變式訓練與錯誤歸因，強化思維深度

2.3.1 階梯式變式

例如在“相似三角形”教學中，采用階梯式變式訓練可以逐步提升學生的思維能力.教師可以設計分層問題.

基礎題 已知 ΔABCΔDEF ， AB=4 ，DE=6 ，求相似比.

學生根據相似比的定義，直接得出相似比為 這道題主要考查學生對相似比基本概念的掌握.

提高題若 ΔABC 的面積為12，求 ΔDEF 的面積.在掌握相似比的基礎上，學生需要運用相似三角形面積比等于相似比的平方這一性質來解題.已知相似比為 ，則面積比為 .設 ΔDEF 的面積為 s ，可得 ，解得 S=27 這道題進一步考查學生對相似三角形性質的綜合運用能力.

拓展題若 _D，E，F 分別為 AB，AC，BC 的中點，探究 ΔDEF 與 ΔABC 的關系.此時，學生需要運用三角形中位線定理，即三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.因為 _D，E，F 分別為三邊中點，所以 DE//BC，EF//AB，DF//AC ，且

，所以 ΔDEF ∞ΔABC ，相似比為 .同時，根據相似三角形面積比等于相似比的平方，可得 ΔDEF 與 ΔABC 的面積比為 .這道題綜合考查了學生對相似三角形判定、性質及三角形中位線定理的掌握，提升了學生的綜合思維能力.

通過這樣的階梯式變式訓練，從簡單到復雜，逐步引導學生深入理解相似三角形的相關知識，能強化學生的思維深度.

2.3.2 錯誤分析

在教學過程中，收集學生的典型錯誤并進行針對性分析是提升學生思維能力的重要環節.例如，在相似三角形學習中，學生常常混淆相似比與面積比，出現類似錯誤：誤認為相似比為 2：3 ，則面積比也為2：3 ·

針對這一錯誤，教師可以設計糾錯練習.首先，通過圖形分割的方法進行講解.以兩個相似三角形為例，假設相似比為 2：3 ，將大三角形和小三角形分別分割成若干個小的全等三角形.可以發現，大三角形中小三角形的數量與小三角形中小三角形的數量之比為 g：4 ，即面積比為 4，而不是3：2.

其次，教師還可以通過公式推導加深學生的理解.根據相似三角形面積公式 為底邊長， h 為這條底邊對應的高），設兩個相似三角形的相似比為 k ，對應邊的長度分別為 a₁，a₂ 高分別為h₁，h₂ ，因為相似三角形對應邊成比例，對應高也成比例，且比例都為 k ，即 .那么兩個相似三角形的面積比為

2.4聯系實際應用，激發創新思維

例如在\"統計與概率”單元中，教師可以設計如下探究活動：

任務 調查班級同學的每日運動時間，繪制頻數分布直方圖，并分析運動時間與數學成績的相關性.要求學生自主設計調查方案，包括確定調查對象、選擇調查方法（如問卷調查、實地訪談等）、設計調查問題等.

在分析運動時間與數學成績的相關性時，學生可以運用統計分析方法，如計算相關系數、繪制散點圖等.例如，學生可以將運動時間作為橫坐標，數學成績作為縱坐標，繪制散點圖.如果散點圖呈現出某種趨勢，如隨著運動時間的增加，數學成績有上升的趨勢，那么可以初步判斷運動時間與數學成績之間存在正相關關系；反之，如果散點圖沒有明顯趨勢，則可能說明兩者之間相關性較弱或無相關性.

最后，學生根據分析結果提出合理化建議，如鼓勵同學們適當增加運動時間，以提高學習效率和數學成績等.

通過這樣的實踐活動，學生不僅在數據處理能力上得到有效鍛煉，同時還掌握了運用數學知識解決現實生活問題的方法.這種體驗能極大地激發學生對數學學習的興趣與探究熱情，助力培養學生的創新思維與實踐能力.

3結語

通過“打開思路”的解題方法實踐，學生在數學學習過程中逐步從被動接受轉向主動探索，解題過程更具創造性與靈活性.然而，教學實踐也反映出一些需要改進的方面.首先，部分學生對多角度解題方法的適應存在差異，尤其是在逆向思維和綜合性問題解決方面，需要更多的個性化指導.其次，課堂時間有限，如何在保證基礎知識掌握的同時，有效融入拓展訓練，仍需進一步優化教學設計.未來教學中，應進一步整合信息技術資源，同時加強與其他學科教師的合作，設計更多貼近生活的數學應用案例，使學生在真實情境中深化對數學知識的理解，持續激發其學習興趣與探索精神.

參考文獻：

[1]李繼濤.“再創造”思想下的高中數學核心素養培養[J]中學課程輔導，2025（9）：33-35.

[2]馬富平.探究混合式教學在初中數學教學中的應用[J].中學課程輔導，2025（9）：87-89.