例析三類動力學中的臨界極值問題

動力學問題中，臨界極值問題一直是學生物理學習的一大難點.這些問題不僅綜合性強、涉及諸多知識點，同時解題思路復雜，需要學生能夠深入分析問題關鍵并掌握常用的解題技巧.對此類問題的歸納總結不僅有利于學生進一步掌握物理概念與規律，還為后續解決更多復雜問題打下了堅實的基礎.

1繩子斷裂的臨界極值問題

例1如圖1所示，在豎直墻面上有一個固定點 O ，其豎直上方有一根釘子.兩個質量均為 1kg 的小球甲和乙都用長為 1m 的細繩系在 o 點.兩球初始時點與 O 等高，細繩恰好伸直.之后兩球分別獲得大小相等、方向相反的瞬時沖量I，甲、乙兩球分別向上和向下運動，分別到達最高點和最低點時，細繩恰好斷裂，并最終落在水平地面上同一點.忽略空氣阻力，小球可視為質點，細繩的最大承受拉力為60N ，重力加速度為 g=10m/s² ，則（）

（A）I=5N?s. （B）釘子距離 O 點 0.5m （C）兩球落地的速度相同.

（D）兩球平拋運動時間到落地之比為

解在最低點時對乙球受力分析可得 F_T- ，因為繩子的最大承受拉力 F_T=60N ，解得 ，由動能定理得 2mu2，解得v=30m/s，I=mu=30N·s，選項（A）錯誤.

甲、乙兩球開始運動的速率都為 ，對甲球由動能定理得 ，最高點速率 ，故最高點時對甲球受力分析得（204號 （204 ，，解得 ，則釘子在 O 點正上方 處，選項（B）錯誤.

甲、乙兩球水平方向速度大小之比為 ，因為水平方向的位移相等，由 x=vt 得兩球做平拋運動到落地的時間之比為 ，豎直方向由 得豎直分速度之比為 ，則兩球落地速度方向不相同，選項（C）錯誤，選項（D）正確.

評析對于繩子斷裂的臨界極值問題，要先明確斷裂時繩子中的張力就等于它所能夠承受的最大張力.之后利用牛頓第二定律和受力分析列出繩子所系物體的運動方程，與其他已知條件聯立即可解出答案.

2接觸與分離的臨界極值問題

例2如圖2所示，水平面上有一傾角為 θ=37^° 的光滑固定斜面，彈簧的一端系在斜面的底端，另一端系在物體 P 上，物體 P 的質量 m₁=4kg ，其上疊加一個相同大小的物體 Q ，物體 Q 的質量為 m₂=8kg 系統初始時處于靜止狀態.現給物體 Q 施加一個沿斜面向上的力 F ，使它開始沿斜面向上保持勻加速運動.在前0.2s的時間內，力 F 為變力，0.2s以后力

F 為恒力.彈簧的質量不計，勁度系數 h=600N/m sin37^°=0.6，cos37^°=0.8 ，重力加速度 g=10m/s² ·試求出力 F 的大小范圍.

解設初始時彈簧壓縮量為 x_?0 ，則 （m₁+ m₂）_gsinθ=kx₀ ，解得 x_?0=0.12m ·

0.2s時刻力的性質發生了變化，故此時物體 P ，Q 分離，物體間彈力為零，設此時彈簧壓縮量為 x₁ ，對物體 P 得 kx₁-m₁gsinθ=m₁a ，前0.2s內物體位移祎 ，解得 a=3m/s² ：

開始運動時 F 最小，兩物體分離時 F 最大，F_min=（m₁+m₂）a=36N.

對物體 Q 應用牛頓第二定律得 F_max-m₂gsinθ= m₂a ，解得 F_max=72N.

評析對于接觸與分離的臨界極值問題，其本質是相同的，即臨界條件是接觸或分離的兩物體間的彈力大小 F_N=0 .列出臨界情況下的受力分析方程，并對物理量的變化情況進行討論，即可解出答案.

3相對滑動的臨界極值問題

例3如圖3所示，兩個質量分別為 2m 和 m 的物體 A，B 靜止疊放在水平地面上.物體 A 與物體 B 之間的動摩擦因數為 μ ，而物體 B 與地面之間的動摩擦因數為 .已知最大靜序擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為 g .現在對物體 A 施加一個水平拉力 F .下列說法中錯誤的是（ ）

（A）Flt;2μmg 時，物體 ^A，B 靜止.

2μmg時，物體A的加速度大小為

（C）Fgt;3μmg 時，物體 A 相對物體 B 滑動.（D）無論 F 為何值，物體 B 的加速度大小不會超過 ：

解因為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，滑動摩擦力大小 f=μF_N ，物體 A，B 間 ，物體 B 和地面間 2μmg，對物體A，B整體，若 μmg，整體就會運動，選項（A）錯誤.

當 2μmg時，兩者相對靜止，一起運動，加速度滿足 ，解得 ，選項（B）正確.

當 A 對 B 的摩擦力為最大靜摩擦力時， A，B 將開始發生相對滑動，此時對 B 受力分析得 2μmg- μg，對A，B整體，有F一2μmg =3ma max，則Fgt;3μmg時A，B發生相對滑動，選項（C）正確.選項（D）正確.

評析對于相對滑動的臨界問題，要抓住速度或加速度相同的時刻進行分析，考慮滑動摩擦力和靜摩擦力之間的關系，以及各個物體之間的相互作用情況，對不同的變力范圍進行分類討論即可得.

4結語

通過對上述例題的分析可以看出，臨界極值問題的求解方法并不固定，關鍵是要能夠掌握基礎的物理模型，并結合數學工具進行分析，代入適當的想象，即可聯立方程組解出答案.

參考文獻：

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