交變激勵下鋼軌表面裂紋的磁場畸變量重構

關鍵詞：鋼軌；滾動接觸疲勞；無損檢測；交流電磁場檢測；磁場響應中圖分類號：TH89DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2025.04.020 開放科學（資源服務）標識碼（OSID）：

Reconstruction of Magnetic Field Responses Caused by Rail Surface Cracks with Alternative Current Excitation

WANG Chi1'2 ZHOU Yu^1，2 ？ WENG Zhiyi1，2 1.Key Laboratory of Road and Traffic Engineering of the Ministry of Education，Tongji University， Shanghai，201804 2.Shanghai Key Laboratory of Rail Transit Structure Endurance and System Safety，Tongji University，Shanghai，201804

Abstract： As the response laws of the perturbed magnetic field in ACFM to rail RCF crack morphology parameters remained unclear，a novel method was proposed for functional reconstruction between the ACFM perturbed magnetic field and rail RCF crack parameters. The ACFM calculation models were established based on multiple field tests of surface length，elipse ratio，and internal angle of RCF cracks in heavy-haul railway rails throughout their full life cycle. The perturbed magnetic field above RCF cracks with different parameters was numerically calculated using the ACFM model. The relationship between RCF crack parameters and the perturbed magnetic field was systematically analyzed. Through fiting and evaluation of the perturbed magnetic field's response to the spatial morphology parameters of RCF cracks， the functional expression of the response laws was reconstructed. The results demonstrate that the ACFM response to rail RCF crack parameters is synthetically characterized. The peak value of magnetic field x -component is observed to increase linearly with the surface length and nonlinearly with the internal angle of RCF cracks.Conversely，a nonlinear decrease may be identified as the ellipse ratio of RCF cracks increases. These variations are effectively described by polynomial functions. The change rules between the perturbed magnetic field and RCF crack parameters may be functional reconstructed. The determination coeficient between the reconstructed results and the perturbed magnetic field is found to exceed 0.99，while the sum of squared errors（SSE） and root mean squared errors（RMSE） are constrained to less than O.Ool 15 and 0.Oo3，respectively.

Key words： rail;rolling contact fatigue（RCF）； non-destructive testing； alternative current fieldmeasurement（ACFM） ；magnetic response

0 引言

在輪軌接觸引起的周期性切向力與牽引力反復作用下，鋼軌表面特別是軌距角應力集中區域極易因滾動接觸疲勞（rollingcontactfatigue，RCF）而產生裂紋。這種表面滾動接觸疲勞裂紋持續發展可能造成剝離掉塊或與其他因素共同作用引起斷軌[2]，從而縮短鋼軌使用壽命，影響軌道交通安全運行。裂紋在鋼軌表面和內部的空間走向影響著鋼軌近表面探傷與養護策略，因此掌握鋼軌滾動接觸疲勞裂紋的空間形態特征勢在必行。現有研究表明，鋼軌軌距角處的滾動接觸疲勞裂紋具有復雜的空間特征，如與行車方向和鋼軌橫向均存在一定的夾角，夾角大小與輪軌接觸關系有關，表面長度隨著通過總重的累積而增加[3]，內部深度隨輪軌接觸作用、鋼軌磨耗[4]及液體侵入[5而發生抑制或擴展。CT掃查結果表明[6]，由裂紋表面開口長度、內部傾角以及口袋深度所確定的半橢圓是對鋼軌軌距角處滾動接觸疲勞裂紋空間形態參數的一種合理近似。

不同于視覺檢測[、漏磁檢測[8]、電渦流檢測[9]等方法，交流電磁場檢測（ACFM）[10-11]方法通過在試樣表面感生均勻電流并測量其上方磁場擾動來實現裂紋內部參數的非接觸激勵測量。對發生于管道[12]、石油平臺[13]場景中的應力腐蝕裂紋有較好的檢測效果。因此通過交流電磁場檢測方法進行鋼軌滾動接觸疲勞裂紋形態參數檢測的研究具有重要意義。

國內外學者對交流電磁場裂紋檢測方法開展了廣泛的分析。LEWIS等[14]基于表面均勻電流注入、試件空間無限大等假設，建立了裂紋區域ACFM數學模型。SAGUY等[15]通過分析感生電流在裂紋深度方向的擾動規律，得到了裂紋深度估算方法。NICHOLSON等[16]通過對鋼軌裂紋的切割實驗發現，裂紋空間形態近似可以通過空間半橢圓確定，在此基礎上建立并驗證了ACFM快速仿真模型，并通過磁場擾動響應曲線隨裂紋參數的演化確定裂紋參數的量化尺寸[17]SHEN等[18]結合快速仿真模型進一步分析了磁場擾動隨裂紋內部傾角的變化規律，并通過 45^° 檢測線實現內部傾角量化識別。然而，上述研究忽略了裂紋各參數間的共同作用，將磁場畸變量與裂紋參數一一對應關系進行簡化表征，這對參數動態變化的鋼軌滾動接觸疲勞裂紋是不合理的。

本文在對國內某重載鐵路鋼軌裂紋形態參數多次跟蹤觀測的基礎上，基于阻抗邊界條件理論建立了鋼軌滾動接觸疲勞裂紋ACFM檢測模型，分析裂紋參數對其上方ACFM磁場畸變量的影響，并且以對裂紋形態參數較為敏感的磁場畸變響應特征 ΔB_xp 信號進行模型擬合，實現了ACFM磁場畸變量與鋼軌滾動接觸疲勞裂紋各形態參數的綜合響應重構，從而確定不同裂紋參數與磁場畸變量間的對應關系，并通過交流電磁場對半橢圓裂紋的響應實驗來驗證綜合響應表征方法的合理性。

1鋼軌滾動接觸疲勞裂紋交流電磁場檢測模型

1.1 交流電磁場響應原理

交流電磁場檢測原理為：在鋼軌表面上方施加均勻交變電流激勵以在鋼軌近表面集膚層內產生均勻分布的感生電流，如有裂紋，則感生電流路徑發生改變，由近軌面集膚層轉向裂紋壁流動。如圖1所示，感生電流所產生的磁場在裂紋上方x 方向（平行于裂紋表面開口方向）分量 B_x 在裂紋兩端點內減小在兩端點外側增大。與此同時，感生電流在裂紋開口兩端點處產生反向旋轉，因此感生電流在裂紋上方 z 方向分量（垂直于軌面方向）產生的磁場 B 。在兩端點分別出現峰谷值。

1.2 鋼軌滾動接觸疲勞裂紋形態參數分布

如圖2所示，對國內某重載鐵路半徑 500m 曲線段鋼軌由新軌上道至通過總重320百萬噸（MGT）退役下線進行8次切割取樣，并進行表面觀測、CT掃查與斷面金相觀測，分析鋼軌滾動接觸疲勞裂紋形態及其參數分布規律。目前對鋼軌滾動接觸疲勞裂紋尖端的形態描述主要有半橢圓形[16]與矩形[12]兩種。為了更好地探明裂紋尖端形態，首先對取樣的帶有滾動接觸疲勞裂紋的鋼軌試樣進行圖2b所示的CT掃查以確定裂紋的尖端形態，結果表明所取樣本裂紋尖端呈近似半橢圓形，與文獻[6，16結論一致。

由于裂紋開口寬度較小，并且隨通過總重變化不大，因此裂紋的形態參數可通過圖3a所示的由表面傾角 A_s 、表面開口長度 L_s 、內部傾角 與口袋深度 L_P 所表示的空間半橢圓近似描述。圖3b所示為在確定裂紋形態半橢圓描述方法后通過金相觀測到的裂紋內部參數分布情況。由于牽引力與橫向力共同作用，RCF裂紋在列車運行方向與軌面存在一個呈銳角的夾角，裂紋近似分布在同一平面，且各裂紋開口深度較為接近，口袋深度 L_P 可以由橢圓長半軸（表面開口長度的一半）與短半軸（口袋深度）的比值即橢圓比 R_E 代替。

對取樣鋼軌滾動接觸疲勞裂紋參數觀測結果進行統計與計算，通過總重 10～320 百萬噸的觀測裂紋參數分布結果如表1所示。

1.3 交流電磁場檢測計算模型

鋼軌為鐵磁性材料，其感生電流主要集中在鋼軌表面較薄的集膚層內，集膚層深度 δ 由激勵頻率、鋼軌磁導率與電導率決定：

式中： ω=2πf，f 為激勵頻率； μ 為磁導率， μ_?0 分別為相對磁導率與真空磁導率； σ 為電導率。

由于集膚深度遠小于鋼軌尺寸，因此可以通過阻抗邊界（impedanceboundary）條件[i7]在集膚層內的電流變化來簡化模型參數。在復頻域中，阻抗邊界條件表示為

式中：j為復數單位； n 為計算區域外法線方向； 為磁場強度； E 為電場強度； E_s 為源電場強度。

式（2）中，為了在更寬的集膚深度展開計算，選擇激勵頻率為 1kHz 。為了減小計算單元數量，選擇 0.5mm^[14] 作為裂紋寬度。如圖4所示，觀測域位于裂紋上方 1mm 處。采用面電流激勵模擬均勻多匝線圈產生的均勻電流。

裂紋半橢圓參數可以由裂紋表面開口長度L_s 、內部傾角 與橢圓比 R_E 表示。由于現場觀測為多次間隔取樣，因此對現場觀測裂紋半橢圓參數范圍進行適當擴展從而更為全面地反映裂紋形態參數，所采用參數范圍如表2所示。

2鋼軌滾動接觸疲勞裂紋交流電磁場擾 動規律分析

2.1 特征提取與分析

將表2所示參數裂紋進行仿真計算，分別得到200組圖5所示的 B_x 與 B_z 響應信號。擾動磁場信號在圖5所示 B_x 分量 ΔB_xp?ΔB_xv 及 B_z 分量 ΔB_zq 處對裂紋參數響應最為顯著， ΔB_xp，ΔB_xv 與 ΔB_zq 的計算公式為

ΔB_xp=（B_xp-B_xref）/B_xref

ΔB_xv=（B_xv-B_xref/B_xref

ΔB_zq=B_zq/B_zmax

式中： 分別為 B_x 分量峰谷值； B_xref 為無裂紋位置感生場 B_x 分量； B_zq 為裂紋兩端點 1/4 位置處感生場的 B_z 分量； B_zmax 為 B_z 分量最大值。

本文通過 ΔB_xp?ΔB_xv 與 ΔB_zq 來表征擾動磁場隨裂紋半橢圓參數的變化情況。 ΔB_xp?ΔB_xv 與 ΔB_zq 受 L_SR_E 與 A₁ 三個參數共同影響規律如圖6四維繪圖所示，不同顏色代表歸一化磁場響應 ΔB_xp，ΔB_xv 與 ΔB_zq 量值。圖6結果表明，磁場擾動信號受 A_IR_E 與 L_S 共同影響，整體上受 影響較小，但綜合繪圖不利于各半橢圓參數對磁場響應的影響規律的進一步分析。 ΔB_xp，ΔB_xv 與 ΔB_zq 響應在 不同子空間的投影情況如圖7所示。圖7a所示為 時 ΔB_xp 、ΔB_xv 與 ΔB_zq 受 L_S 與 R_E 的二元影響規律，其中L_S 相較于 R_E 的影響更加顯著。在此基礎上，進一步投影到 R_E=1 及 L_s=25mm 的一元空間，如圖7b和圖7c所示。

圖7b表明， ΔB_xp，ΔB_xv 與 ΔB_zq 分別與 L_s 近似成線性、高次多項式與指數增長關系，與 R_E 近似成指數衰減關系，因此本文選取與 L_S 關系較為簡單的 ΔB_xp 進行進一步分析。

將200組響應信號 ΔB_xp 及與之相對應的半橢圓參數繪制于圖8。當 R_Egt;2 時， ΔB_xp 基本不受 的影響，僅受 L_S 與 R_E 的影響，當 R_E 介于1～2 之間時， 的影響顯著增大，不能被忽略。

因此，受半橢圓參數的影響規律需要根據 R_E 的大小進行進一步分段分析。

圖9a所示 為響應結果在Ls-R_EER二元子空間的投影。圖 9b 為 ΔB_xp 與 L_S 的關系圖，成線性變化，當橢圓比增大時，斜率逐漸減小，并且幾乎不隨 變化。圖9c為 ΔB_xp 與 R_E 的關系圖，成指數衰減，并且當 R_E 在 1～2 之間時隨 增大有明顯變化，但當 R_E 大于2時，不隨 變化。進一步將 ΔB_xp 在 R_E-A_I 斷面投影， R_E 在 1～2 之間時與 ΔB_xp 關系近似成線性變化，斜率由 L_S，AI 與ΔB_xp 的關系確定，其中 L_s 的影響更加顯著，但 在此范圍內的影響也不可忽略。如圖10所示，對于 ，當 大于 30^° 時， ΔB_xp 幾乎不受 A₁ 影響，此外，當 R_E 大于2時， ΔB_xp 也基本不受 影響。

2.2 模型擬合與結果評估

為了進一步分析 ΔB_xp 與半橢圓參數 L_SR_E 和 的響應關系，結合圖9和圖10的變化形式，將 ΔB_xp 與 L_SR_E 及 關系進行模型擬合。當R_E 大于2時， ΔB_xp 幾乎不受 的影響，與 R_E 近似成指數或高次多項式關系，與 L_s 近似成線性關系。 R_E 在 1～2 范圍內時，與 L_s 仍然成線性變化關系，與 R_E 的變化關系也近似成線性，此時 的影響也不可被忽略。因此可以將 R_E 分成兩段，即 R_E 大于2（V1段）和 R_E 在 1～2 范圍內（V2段）。對于V1段， ΔB_xp 隨 L_s 近似呈線性變化，斜率的大小變化規律即為 ΔB_xp 隨 R_E 的變化規律，呈指數或高次多項式變化，這里取線性模型擬合ΔB_xp 對 L_S 的響應，分別取線性-指數模型E12、線性-二階響應函數CD12與線性-3、4、5次多項式 Plq（q 為多項式最高次次數）分別對V1段進行Levenberg-Marquardt[19]方法下的非線性最小二乘模型擬合：

b₁₆R_E+b₁₇）+b₁₈]

Plq：ΔB_xp=c₁₁+（c₁₂L₅+c₁₃）（c₁₄R_Eⁱ+c₁₅R_E^i-1+

…+c_1（n-1）R_E+c_1n）

其中 ，a₁₁，b₁₁，c₁₁，…，a₁₇，b₁₇，c₁₇，b₁₈，c₁₈，…，c_1n 為各部分系數。本文通過殘差 e_r 、決定系數 R² 、誤差平方和 （SSE）_eSS 、均方誤差 （RMSE）_eRMS 來評價樣本點與函數計算結果之間的差異性，計算式如下：

式中： ΔB_xp^′ 為重構得到的對各裂紋參數組合的擾動磁場響應 B_x 峰值； ΔB_xp 為初始樣本點擾動磁場響應 B_x 峰值； ΔB_xp^′（i） ！ ΔB_xp（i） 分別為 ΔB_xp^′ 與 ΔB_xp 的第 i 個樣本值； m 為樣本點數量。

v1 段模型擬合系數結果列于表3，其中，11，12，…，19 為式（6） ～ 式（8）中各系數的下標。

模型E12、CD12、P13、P14與P15模型擬合結果如圖11所示，模型擬合結果接近，對于V1段（R_Egt;2） ，均具有較好的一致性，決定系數 R² 均大于0.9998，P13決定系數雖略低于其他方法，但有更少的參數，因此僅在圖12中繪制P13模型擬合結果。

如圖12所示，V1段樣本點與擬合模型有較好的一致性（圖 12a） ，殘差小于 1×10^-3 （圖 12b） ，加入V2段樣本點后（圖 12c） ，殘差顯著增大，這與圖13所示V1段與V2段的SSE和RMSE結果一致。對于V1段，SSE（圖13a）在 1×10^-5 左右，RMSE（圖13b）在 6×10^-4 左右。對于V2段，由

于 的忽略，導致SSE（圖13c）最大達0.02，RMSE（圖13d）最大達0.03，于是需要對V2段引人 對 ΔB_xp 影響進行修正。

2.3 基于內部傾角的修正

對于V2段，當裂紋 R_E 在 1～2 時， ΔB_xp 受 的影響不可忽略，且 A₁ 小于 30^° 時，響應更為明顯，影響模型準確性。 R_E 在 1～2 時， ΔB_xp 與R_E 及 L_s 關系在此階段均近似線性，如圖9b、圖10b所示， ΔB_xp 對 的響應近似呈指數或高次多項式表示（圖10c）。于是對于V2段，分別采用線性-線性-3次多項式（LLP）與線性-線性-指數（LLE）兩模型擬合：

LLE ： ΔB_xp=a+（bL_s+c）（dR_E+e）（fA_I^g+h） （14）其中， ?a?b?…，h?k 為式中各系數。V2段系數模

gA_I²+hA_I+k）

型擬合結果列于表4。

引入 A₁ 后， ΔB_xp 與裂紋參數間的函數關系由二元轉為三元。將 ΔB_xp 響應與 在V2段的三元關系繪制于圖 14a 。將LLP與LLE函數模型計算結果繪制于圖14b和圖 14c 。

進一步將修正模型對V2段樣本的擬合結果繪制于圖 15，ΔB_xp 響應與 L_S 及 R_E 的關系與V1擬合模型一致。此處著重分析 對 ΔB_xp 響應的影響。隨著 的增大， ΔB_xp 響應逐漸增大，但當 大于 30^° 后， ΔB_xp 響應接近飽和。因此 ΔB_xp 響應特征對小于 30^° 的 有一定的反應能力，但當 大于 30^° 后，則無法僅通過 ΔB_xp 響應這一特征來有效反映裂紋的內部傾角。

表5所示為根據式 （10）～ 式（12）計算得到的V2段擬合結果與實際樣本之間的 R² 、SSE及RMSE。結果表明，相較于LLE，LLP對 ΔB_xp 與 之間的響應有更好的一致性。整體上，LLP的R² 達0.9994，SSE為0.00115，RMSE為0.003。對于不同內部傾角，決定系數均較高，內部傾角為10^° 時決定系數最小，但仍達0.9980。對于不同內部傾角，SSE與RMSE變化規律接近， 小于 50^° 時，對于較小的 有更小的誤差分布，當 大于50^° 時，誤差有所增大，但最大誤差平方和小于0.00027，最大均方誤差小于0.0036。圖16為經過三次多項式修正的 ΔB_xp 對裂紋參數響應的樣本誤差分布圖，相較于V1段模型擬合結果，V2段經過 修正后其結果與 ΔB_xp 響應更加一致。ACFM磁場畸變量可由其對應的函數模型直接計算得到，可顯著減小仿真計算的工作量。

3 實驗驗證

鋼軌半橢圓裂紋交流電磁場測試如圖17所示。首先通過函數波信號發生器激勵一次繞組線圈，在鋼軌中產生均勻分布的感生電流場，因為裂紋存在，因而感生電流的感生磁場在裂紋附近畸變；然后通過隧道磁阻傳感器（TMR）采集畸變信號并通過鎖相放大器將擾動信號放大；最后通過數據采集儀采集擾動磁場信號。激勵模塊由線圈繞平板繞制而成，置于TMR檢測模塊上方，線圈繞制方向與裂紋開口方向垂直。所加工的4條半橢圓裂紋參數如表6所示，裂紋寬度為0.3mm 。圖18示出了加工裂紋的計算與測試結果。

圖18a所示為 ΔB_xp 模型計算與實測結果，兩者在變化規律上具有較好的一致性，但由于實測過程中激勵大小、提離高度、材料磁導率有所不同，且線圈繞制與傳感器設置會存在一定的加工誤差，所以實測結果與模型計算結果具有一定的線性對應關系。圖18b所示為實測結果與模型計算結果之間的關系，二者之間存在線性變化關系，斜率約為0.7104，證明了計算模型的合理性。

4結論

1）提出了一種函數化描述ACFM磁場畸變量對鋼軌滾動接觸疲勞裂紋參數響應規律的重構方法，通過現場觀測滾動接觸疲勞裂紋半橢圓參數分布范圍與交流電磁場檢測原理計算了不同裂紋參數的磁場畸變量顯著響應特征 ΔB_xp 。

2）磁場畸變量響應特征 ΔB_xp 受裂紋各參數綜合影響，隨表面開口長度 L_s 的增大近似呈線性增大，隨橢圓比 R_E 的增大近似呈指數衰減變化，R_E 大于2時，基本不受內部傾角 的影響， R_E 處于 1～2 之間時， 影響不可被忽略， ΔB_xp 隨 的增大而增大，但 A₁ 大于 30^° 時， ΔB_xp 對 的響應接近飽和，變化較小。

3）ΔB_xp 響應與裂紋半橢圓各參數關系可以被很好地擬合， R_E 大于2時可以僅考慮 L_S 與 R_E 的影響， R_E 處于 1～2 時，對 R_E 的響應近似退化到線性，對 的響應呈高次多項式級增長，多項式可以較好地擬合 L_S，R_E 及 對 ΔB_xp 的響應。與此同時，當 R_E 大于2時，內部傾角影響可忽略不計，這是由于裂紋橢圓較大時，口袋深度較小，裂紋可能整體處于集膚層內，電流路徑受內部傾角影響較小，此時不利于內部傾角的表征。

4）在實現ACFM磁場畸變量對裂紋各參數響應重構后，裂紋參數的響應可以直接由重構函數計算得到，可顯著減小仿真計算工作量。

5）通過加工單裂紋對所提出方法進行驗證。實測結果與模型計算結果間存在線性對應關系，斜率為0.7104，檢測結果與模型計算結果可以實現相互轉換，驗證了所提出方法的有效性。

6）磁場響應參數受裂紋各參數綜合影響，因此后續量化計算裂紋的各參數需要綜合考慮 B_x 響應峰谷值及 B_z 響應峰谷值并通過聯合計算得到裂紋參數量化結果。

參考文獻：

[1]昝曉東，李孝滔，邢帥兵，等.疲勞裂紋擴展引起的鋼軌表面剝離研究[J].鐵道科學與工程學報，

ZAN Xiaodong，LI Xiaotao，XING Shuaibing，et al. Analysis of Rail Surface Shelling Resulting from Fatigue Crack Propagation[J]. Journal of Railway Science and Engineering，2018，15（12） ：3082-3088.

[2]POPOVIC Z，LAZAREVIC L，BRAJOVICET L， et al. The Importance of Rail Inspections in the Urban Area-aspect of Head Checking Rail Defects[J]. Procedia Engineering，2015，117：596-608.

[3]POPOVIC Z，LAZAREVIC L， BRAJOVICET L， et al.Managing Rail Service Life[J]. Metalurgija， 2014，53：721-724.

[4]ZHOU Yu，HAN Yanbin，MU Dongsheng，et al. Prediction of the Coexistence of Rail Head Check Initiation and Wear Growth[J]. International Journal of Fatigue，2018，112：289-300.

[5]周宇，王鈣，盧哲超，等.液體對鋼軌滾動接觸疲勞 裂紋的作用[J].同濟大學學報（自然科學版）， 2022，50（2）：253-263. ZHOU Yu，WANG Zheng，LU Zhechao，et al.Effectof Liquid on Rolling Contact Fatigue Cracks in Rail[J]. Journal of Tongji University（Natural Science），2022，50（2）：253-263.

[6］周宇，木東升，韓延彬，等.基于X射線斷層掃描 的鋼軌滾動接觸疲勞裂紋形狀建模方法［J].華東 交通大學學報，2019，36（1）：41-48. ZHOU Yu，MU Dongsheng，HAN Yanbin，et al. Modeling Method for Rolling Contact Fatigue Crack Shape of Rail Based on X-ray Tomography[J]. Journal of East China Jiaotong University，2019， 36（1） ：41-48.

[7]JIANG Yi，WANG Haitao，CHEN Shuai. Visual Quantitative Detection of Rail Surface Crack Based on Laser Ultrasonic Technology[J].Optik，2021， 237：166732.

[8]陳瀟.鋼軌漏磁檢測仿真分析及試驗研究[J].機械 與電子，2020，38（1）：57-61. CHEN Xiao. Simulation Analysis and Experimental Study on Magnetic Flux Leakage Detection of Rail [J].Machinery amp; Electronics，2020，38（1）：57-61.

[9］許鵬，劉柏霖，陳亞雄.基于差分柔性渦流探頭的 鐵軌裂紋檢測方法[J].中國機械工程，2023，34 （20）：2419-2427. XU Peng，LIU Bailin，CHEN Yaxiong. Rail Crack Detection Method Based on Differential Flexible Eddy Current Probe[J]. China Mechanical Engineering，2023，34（20）：2419-2427.

[10]閆梁，萬本例，胡斌，等.不銹鋼表面裂紋方向電磁檢 測方法[J].中國機械工程，2022，33（9）：1057-1064. YAN Liang，WAN Benli，HU Bin，et al.Surface Crack Orientation Detection Method of Stainless Steels Based on Electromagnetic Field[J]. China Mechanical Engineering，2022，33（9） ：1057-1064.

[11]NICHOLSON G L，ROWSHANDEL H，HAO X，et al. Measurement and Modelling ot AUFM Response to Multiple RCF Cracks in Rail and Wheels[J].Ironmakingamp;Steelmaking，2013，40 （2）：87-91.

[12]YUAN X，LI W，CHENG，et al. Two-step Interpolation Algorithm for Measurement of Longitudinal Cracks on Pipe Strings Using Circumferential Current Field Testing System[J]. IEEE Transactions on Industrial Informatics，2017，14（2）：394-402.

[13]GE J，LI W，CHEN G，et al. Experimental and Numerical Investigation on Buckling and Postbuckling of a 3000m Subsea Separator[J]. Engineering Failure Analysis，2017，74（2）：107-118.

[14]LEWIS A M，MICHAEL D H，LUGG MC，et al.Thin-skin Electromagnetic Fields around Surface Breaking Cracks in Metals[J]. Journal of Applied Physics，1988，64（8） ：3777-3784.

[15]SAGUY H，RITTEL D. Bridging Thin and Thick Skin Solutions for Alternating Currents in Cracked Conductors[J]. Applied Physics Letters，2005，87 （8）：084103.

[16]NICHOLSON G，KOSTRYZHEV A，HAO X. Modelling and Experimental Measurements of Idealized and Light-moderate RCF Cracks in Rails Using an ACFM Sensor[J].NDTamp;E International，2011，44：427-437.

[17]SHEN J，LIU M，DONG C，et al. Analysis on Asymmetrical RCF Cracks Characterisation Using an ACFM Sensor and the Influence of the Rail Head Profile[J].Measurement，2022，194（12）：111008.

[18] SHEN J，ZHOU L，ROWSHANDEL H，et al. Determining the Propagation Angle for Non-vertical Surface-breaking Cracks and Its Effect on Crack Sizing Using an ACFM Sensor[J].Measurement Science and Technology，2015，26（11）：115604.

[19] MARQUARDT D W. An Algorithm for Leastsquares Estimation of Nonlinear Parameters [J] Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics，1963，11（2）：431-441.

（編輯袁興玲）

作者簡介：王馳，男，1995年生，博士研究生。研究方向為鋼軌傷損電磁檢測。E-mail：chi.wang@foxmail.com。周宇*（通信作者），男，1977年生，副教授、博士研究生導師。研究方向為軌道傷損檢測評估、輪軌噪聲控制與智能軌道交通。E-mail：yzhou2785@tongji.edu.cn。

本文引用格式：

王馳，周宇，翁之意.交變激勵下鋼軌表面裂紋的磁場畸變量重構 [J].中國機械工程，2025，36（4）：830-839. WANG Chi，ZHOU Yu，WENG Zhiyi.Reconstruction of MagneticField Responses Caused by Rail Surface Cracks with Alternative Current Excitation[J].China Mechanical Engineering， 2025，36（4）：830-839.