數學素養驅動的項目式學習及設計

數學項目式學習為培養學生數學素養提供了有效途徑.《義務教育數學課程標準（2022年版）》（下稱《課標2022》）中明確指出：綜合與實踐以培養學生綜合運用所學知識和方法解決實際問題的能力為目標，根據不同學段學生特點，以跨學科主題學習為主，適當來用主題式學習和項目式學習的方式，設計情境真實、較為復雜的問題，引導學生綜合運用數學學科和跨學科的知識與方法解決問題[1].本文以蘇州園林中的宮燈為載體，開展項目式探究活動，倡導注重情境中的問題解決，融合跨學科學習，充分調動學生學習的主觀能動性，培育關鍵能力和素養.

1項目設計思路

1.1項目學習背景

七年級學生在學習蘇科版教材七年級上冊第5章“走進圖形世界”后，對于幾何圖形已經有了初步認識，能夠較為順利地從宮燈中抽象出數學研究對象，也能夠初步感知圖形的外觀美.宮燈不僅用于照明，還具有特殊的寓意和極高的觀賞價值.為什么蘇州園林中的宮燈以六角宮燈和八角宮燈為主？園林中的宮燈形狀和結構基本一致，背后有怎樣的數學原理？通過對宮燈的探究，進一步感悟研究數學圖形的重要性和必要性.

1.2項目學習目標

（1）通過互聯網、各類文獻書籍搜集宮燈的歷史文化背景，了解蘇州園林中為什么以六角宮燈和八角宮燈為主.

（2）走進耦園、獅子林和拙政園，觀察宮燈的結構和形狀特點，抽象出幾何圖形，發展空間觀念，提升從實際情境中抽象出數學問題的能力.

（3）經歷宮燈設計原理的探究過程，了解宮燈的形狀特征、結構比例，建立模型，從數學的角度探究更多的宮燈結構與形狀，培養空間觀念，發展邏輯推理能力，形成實事求是的科學態度與理性精神.

（4）經歷設計并制作創意宮燈的過程，提升應用意識和創新實踐能力.

1.3項目學習路徑

本項目以幾何圖形作為核心知識載體，以問題作為任務驅動，項目中涉及跨學科知識，如人文、歷史、物理等.項目主要分為四個階段（如圖1）：

（1）背景研究：通過資料收集與整理，了解園林中宮燈的歷史和文化；通過走進園林，用數學的眼光觀察宮燈，提出實際問題.

（2）合作探究：分組合作，針對提出的問題進行研究可行性和必要性論證，抽象出幾何圖形，聚焦關鍵實際問題，用數學的思維思考現實世界，探尋數學本質，提升推理能力.

（3）實踐創新：交流分享課內研究成果，應用研究所得進行創新設計，用數學的語言表達現實世界，通過動手操作實踐，展示創意作品，培養應用意識和創新意識.

（4）評價反思：對前期的研究進行總結反思，進一步感受蘇州園林中蘊藏的數學智慧和數學審美，形成實事求是的科學態度和理性精神.

“園林數學·燈火闌珊”項目學習路徑如圖1所示.

1.4項目任務結構

項目式學習是產品（作品）導向的，學生最終通過產品（作品）展現學習成果.學生以制作創意宮燈為終極任務，在真實情境中，探究驅動性問題，學習并應用學科中重要知識，通過交流合作，完成驅動性任務，提升數學素養.項目任務結構具體設計如圖2.

項目任務 數學素養任務1：搜集文獻史料， 宮燈的文化、實地考察測量 歷史及發展 抽象能力抽象幾何圖形 幾何直觀任務2：抽象幾何圖形， 建立模型項目任務結構 欣賞宮燈之美 探究結構比例空間觀念關注結構穩定性！任務3：探究圖形性質研究圖形對稱性發掘宮燈之趣 明確重心 模型觀念由平面圖構造 推理能力任務4：成創新理 應用意識任務5：總結思提升， 總思 創新意識

2項目的組織實施片段

項目實施的核心任務是任務3和任務4，以下是研究過程和課堂展示片段.

2.1任務3-1探究宮燈底面正多邊形的對稱性

問題1宮燈底面是正多邊形，正多邊形有怎樣 的對稱性？

操作：學生借助透明紙，通過動手操作，驗證正多邊形的軸對稱性和中心對稱性.

總結：邊數為奇數的正多邊形是軸對稱圖形；邊數為偶數的正多邊形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.底面正多邊形的對稱性讓宮燈觀賞起來具有美感.

2.2任務3-2三角形的穩定性與正多邊形的重心

問題2宮燈底面為什么被分割成若干個小三角形呢？

問題3以六角宮燈為例，底面的正六邊形至少需要幾條對角線才能將其分割成三角形，使得底面相對穩定？

操作：學生以六角宮燈為例，研究正六邊形的分割，發現至少需要3條對角線，能將正六邊形分割成三角形，使得宮燈底面相對穩定.學生對宮燈底面進行了再設計，并進行計算，給出了三個方案，如圖3：

圖3

假設正六邊形ABCDEF邊長為 α_a ，其每個內角為 120^°

方案一：因為 ∠FEA=∠FAE=30^° ，所以∠AED=90^° ∠ADE=60^° 在 RtΔAED 中， AE= AD=2a .所以， 5.5a

方案二：易知△AEC為等邊三角形，連接 AD ，由方案一知 ，則 5.2a ：

方案三：易知正六邊形被分割為六個全等的等邊三角形，每條邊長都為 a ，所以 AD+BE+CF=6a

問題4以六角宮燈為例，不同的底面構造，為什么古人選擇最費材料的一種？有什么實際意義？

操作：小組內查閱相關資料，就此問題開展了討論、猜想，經請教物理老師，了解到中心對稱圖形的重心在對稱中心，軸對稱圖形的重心在對稱軸上.宮燈一般需要懸掛在高處，懸掛處應為重心所在位置，且古代使用燭臺照明，那么燭臺也需要放在重心位置，這樣才能保證受力均勻，不易傾倒.方案一是中心對稱圖形，方案二是軸對稱圖形，它們雖然兼顧了對稱美，但沒有明確的重心位置.在方案三中，工匠們只需要將正六邊形邊長加倍即可得到 AD，BE，CF ，相較于 更容易制作.

問題5到了現代，由燭臺改進到燈泡，光源更加便捷，宮燈的設計受限變少，對于你的創意設計，你有怎樣的設想？

總結：三角形的穩定性和正多邊形的對稱性讓宮燈有一種穩定的數學美.

2.3任務3-3從平面走向立體，探究正多面體

問題6正多邊形的特殊性質給人帶來了視覺上的美，還為工匠們制作宮燈帶來了便利，是否存在每個面都是正多邊形的立體圖形？

操作：學生借助磁力片，利用正四邊形拼出了正六面體，也就是正方體.但是，在用正六邊形去拼搭時，由于正六邊形的每個內角為 120^° ，一個頂點處只有兩個正六邊形不能構成立體圖形，三個正六邊形只能夠成平面圖形，因此立體圖形的一個頂點至少要有三個正多邊形.正八邊形的每個內角為 135^° ，一個頂點處如果有3個正八邊形，那么度數之和已經超過 360^° ，顯然不能構成立體圖形.因此，只有正三邊形、正四邊形、正五邊形才可能構成每個面都是正多邊形的立體圖形.學生通過動手拼搭，發現正四面體（三棱錐）、正六面體（正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體共5種正多面體（如圖4）.

圖4

問題7以上是通過動手操作得到結論，如何進一步推理驗證？

操作：學生通過查閱資料，得到“各個面都是全等的正多邊形，且每個頂點引出的棱數相等的凸多面體叫正多面體”.教師鼓勵學生合作探究，建立模型，假設正多面體每個面都是正 n 邊形，每個頂點都有 Ψ_m 條棱.因為正 n 邊形的每個內角為 ，每個頂點有 Σ_m 條棱，就應該有 Σ_m 個正多邊形，那么為了構成立體圖形，每個頂點的角的度數和應該小于 360^° ，也就是 ，整理可得 （n-2）（m-2）lt; 4.通過上述操作知 m≥3，3≤n≤5，m，n∈Z. 當 n=3 時， m=3 或4或5；當 n=4 時， m=3 ；當 n=5 時，m=3

如何確定正多面體的面數呢？七年級上學期學習過歐拉公式：在一凸多面體中，頂點數一棱數 + 面數 =2. 以每個面都是正五邊形的正多面體為例，設面數為 x ，也就是這個這個立體圖形有 x 個正五邊形面，那么正五邊形有5個頂點，5條邊， x 個正五邊形就有 5x 個頂點， x 個正五邊形就有 5x 條邊，因為在正多面體中3條棱共用一個頂點，2個面共用一條棱，所以正多面體的頂點為 ，棱數為 ，根據歐拉公式可建立方程模型 ，解得 x=12 ，因此每個面都是正五邊形的正多面體為正十二面體.將其他m，n 逐一代入，還可以確定相應的頂點數和棱數，如表1.可知，只有5種正多面體（如圖5）.

表1

圖5

2.4任務4形成創新理念，完成創新設計

小組合作或獨立創作，應用研究所得進行創新設計，在動手實踐中感悟宮燈之美，體驗數學之妙，發展創新意識和創造美的能力.

學生代表作品1：吉祥如意燈（如圖6）.

圖6

設計理念：采用正十二面體圖形構造宮燈，利用ProcreatePocketAPP繪制設計圖，每個面的正五邊形邊長為 15cm ，正五邊形的內徑和外徑之比接近黃金分割比，燈托上的圍欄仿照蘇州園林中的圍欄，由若干個黃金矩形組合而成.圍欄不僅有分隔區域的作用，還是靜謐與和諧的象征，裝飾在宮燈上，給人以安穩舒適之感.選擇其中一個正五邊形的中心懸掛繩索，宮燈能夠穩穩地掛起.

學生代表作品2：十字海棠燈（如圖7）.

圖7

設計理念：燈高約 33cm ，中心寬度約 15cm ，比例約為 2：1 ，這個比例符合正統宮燈的設計.它的上下底面采用十字海棠圖案，取自園林中的十字海棠窗格圖案，中間用竹條做成十字圖樣穿過四個花瓣，既構成完整的十字海棠圖案，又提供了使用時懸掛的位置.四個側面采用多個十字組合的圖案，兩個相對的面分別是中間空、四周十字紋，和中間十字紋的圖案，相似中存在變化.整體符合數學中心對稱和軸對稱原理，上下底為了穩定海棠花瓣的弧形樣式，各增加了一對十字圖案加強筋，將中心的正方形變成了8個三角形，使整體更穩固.當夜幕降臨，開燈后投影在地面上的紅色的海棠圖案與燈的底部如出一轍，美麗中包含優雅，迷人中自帶樸實，朦朧的燈光為園林增添了一份藝術美.

3項目反思

3.1真實性環境，讓學習主動發生

數學知識不僅來源于數學系統內部，也來源于生活實際.本文中創設蘇州園林這一真實學習環境，學生帶著數學的眼光觀察、數學的思維思考，聚焦宮燈中所蘊藏的數學問題，抽象得到數學研究對象，探究其本質屬性，獲取現實問題背后的數學原理，感悟生活中的數學邏輯和數學審美.

雖然項目式學習有預期的目標和成果，但是，現實問題的復雜性導致項目不一定沿著預期研究路徑進行.學生在項目進程中不斷反思或者是帶著批評與自我批評的眼光看待學習過程，教師更多的是以組織者和學習者的部分參與其中.學生學習的主觀能動性、學習的深度得到進一步提升.

在項目結束之后，學習并未停止，有學生還提出：上述五種正多面體的每個面都是同一種正多邊形，是否存在兩種正多邊形構成的多面體呢？

3.2驅動型任務，讓探究自然深入

數學項目式學習的主題一般基于相應的數學內容或單元內容，在圍繞主題從事相關任務活動時，學生同樣應該與特定的數學內容建立聯系，便于完成學習任務.驅動型任務的表層指向的是獲取相應的知識，本質上是培養完成任務所必備的數學素養.因此，在設計每個驅動型任務時，要充分考慮與項目主題相關的數學概念或性質，從而讓探究自然深人，讓素養逐步滲透.在宮燈研究過程中，任務2的關鍵是學生能夠從情境中抽象出數學研究對象，獲取研究對象的概念和性質，積累從具體到抽象的活動經驗；任務3通過探究圖形的性質，學生動手做，動腦思，感悟學科間的融合相通，細節中蘊藏數學智慧，經歷從平面到立體的研究路徑，探究自然深入，發展幾何直觀、空間觀念，提升推理能力.

3.3可視化成果，讓素養落地生根

項目式學習不僅僅是一種重要的教學手段，而且為學生提供了可以自由參與、進行創作設計的環境.在這種環境中，學生進行“有目的的行動”，發揮其創造力、想象力、鑒賞力，圍繞項目設計作品；充分感受校內外生活的聯系，培養責任意識、自主探索能力和個性發展精神.設計并制作創意宮燈是項目式學習的可視化成果.學生以完成作品為目標，從現實世界中抽象得到數學研究對象，經歷以研究數學問題為主，融合人文、歷史、物理問題的跨學科學習過程，學以致用，大膽創新.此過程不僅要求學生具有較強的學習能力，還要有一定的溝通、協作、反思能力.學生在這樣的過程中，潛能得以激發，素養得以提升.

參考文獻：

[1中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：16.

[2]徐斌艷等.數學素養與數學項目學習[M].上海：華東師范大學出版社，2023：48.