注重教材知識整合 積累數學活動經驗

關鍵詞：數學活動經驗；知識整合；數學教材；中考試題中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2025）08-0052-07

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”）.數學基本活動經驗的積累是發展學生數學核心素養的重要標志之一.《教育部關于加強初中學業水平考試命題工作的意見》要求，合理設置試題結構，減少機械記憶試題和客觀性試題比例，提高探究性、開放性、綜合性試題比例.這樣的試題設置方式存在著不確定性，較多試卷中是以綜合與實踐問題呈現的，考查方向指向測評學生數學活動經驗的積累情況，

生的知識應用能力.2024年中考河南卷第23題就是圍繞“鄰等對補四邊形”這一創新概念，設置了從“操作判斷”到“拓展應用”的多層任務，既需要學生調用圖形與幾何領域的主干知識，也要求其運用動手操作、歸納猜想、演繹證明的活動經驗，充分體現了“以問題為導向，以素養為核心”的命題理念.

題目綜合與實踐.

在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，試運用已有經驗，對“鄰等對補四邊形”進行研究.

定義：至少有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫作鄰等對補四邊形，

一、試題呈現

數學活動經驗的價值在于解決真實問題．當前中考命題愈發注重素養為本，通過創設新穎情境考查學

（1）操作判斷.

用分別含有 30^° 角和 45^° 角的直角三角形紙板拼出如圖1所示的4個四邊形，其中是鄰等對補四邊形的有__________（填序號）.

圖1

（2）性質探究.

根據定義可得出鄰等對補四邊形的邊、角的性質．下面研究與對角線相關的性質.

如圖2，四邊形ABCD是鄰等對補四邊形， AB= AD AC 是它的一條對角線.

圖2

① 寫出圖中相等的角，并說明理由；

② 若 BC=m ， DC=n ， ∠BCD=2θ ，求 AC 的長（用含 m ， n ， θ 的式子表示）.

（3）拓展應用.

如圖3，在 RtΔABC 中， ∠B=90^° ， AB=3 ， BC= 4，分別在邊 BC ， AC 上取點 M ， N ，使四邊形ABMN是鄰等對補四邊形．當該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等時，直接寫出 BN 的長.

圖3

二、試題分析與解法分析

1．試題分析

該題以對一個新概念的理解為出發點，設計了“操作判斷”“性質探究”“拓展應用”三個環節，涵蓋了填空題、證明題、解答題等題型，既體現了素養為本的命題原則，又考查了學生對圖形與幾何領域基礎知識、基本思想的掌握情況，實現了對學生讀圖、操作、推理和探究等能力和基本活動經驗的分層次測評．試題命制較好地體現了“使得不同的人在數學上得到不同的發展”的課程理念.

2．解法分析

題中提到“在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經驗，試運用已有經驗，對鄰等對補四邊形進行研究”，這里的研究經驗是指從觀察人手發現問題，從特例開始循序漸進地進行歸納推理，對歸納推理得到的猜想進行演繹證明的思維模式，

（1）“操作判斷”問題的解決.

鄰等對補四邊形是一個自定義概念，對它的認知需喚醒學生已有知識基礎和學習經驗來實現．類比菱形、矩形、正方形的概念，可以降低學生對新概念的陌生感，有助于其準確地理解鄰等對補四邊形的關鍵特征．這里很容易判斷出 ② 是符合要求的鄰等對補四邊形.

（2）“性質探究”問題的解決.

學生的數學基本活動經驗可以分為觀察聯想、歸納猜測、數學表達、驗證或證明等四個維度．對于第（2）小題第 ① 問，學生可以通過直觀觀察猜想 ∠DCA= ∠BCA ，也可以通過用量角器測量得到 ∠DCA=∠BCA 業這就是一個簡單的觀察聯想、歸納猜想的過程，用數學語言寫出來就是一個數學表達的過程，說明理由就是用演繹推理來證明結論.這里給出如下四種解答方法.

方法1：如圖4，先過點 A 分別作邊 BC ， CD 的垂線，垂足分別為點 E 和點 F ，再依據“AAS”證明ΔAEB?ΔAFD 來解決問題.

圖4

方法2：如圖5，延長 CB 至點 E ，使 BE=DC 連接 AE ，通過證明 ΔABE?ΔADC ，構造等腰三角形ACE來解決問題.

圖5

方法3：如圖6，延長 CD 至點 E ，使 DE=BC ，連接 AE ，通過證明 ΔADE?ΔABC ，構造等腰三角形ACE來解決問題.

圖6

方法4：如圖7，由鄰等對補四邊形對角互補，可知A， B ， C ， D 四點共圓，利用“等弧所對的圓周角相等”來解決問題.

圖7

第（2）小題第 ② 問是第 ① 問的延續和發展，在猜想、證明圖中角度之間關系的基礎上，進一步探究、發現圖形中線段之間存在的特殊數量關系.在解決問題的方法上，第 ② 問與第 ① 問一脈相承，同時也提出了更高的要求．以下給出四種證明方法.

方法1：如圖4，過點 A 分別作邊 BC ， CD 的垂線，

垂足分別為點 E 和點 F ，依據“AAS”證明 ΔAEB?

（204 ΔAFD ，可得 BE=DF. 則 .再結合第（2）

小題第 ① 問的結論，可知 ∠BCA=∠DCA=θ. 在 RtΔECA中， ，從而得 ·

方法2：如圖8，延長 CB 至點 E ，使 BE=DC 連接 AE ，過點A作 AF⊥BC 于點 F ，可得 ΔABE?ΔADC 則 AE=AC ，因此， ．同樣結合第（2）小題第 ① 問的結論，可知 ∠BCA=∠DCA=θ. 在 RtΔFCA 中， ，從而得 ：

圖8

方法3：延長 CD 至點 E ，使 DE=BC ，連接 AE 通過證明 ΔADE?ΔABC ，構造等腰三角形ACE來解決問題.在圖6的基礎上過點A作 AF⊥EC 于點 F_? ，后續過程與方法2類似，這里不再贅述.

方法4：如圖9，由鄰等對補四邊形的對角互補，可知 A ， B ， C ， D 四點共圓，連接 BD ，在 AC 上取一點 E ，使 ∠BDA=∠CDE ，過點A作 AF⊥BD 于點 F 因為∠ABD =∠ACD，所以△ADB△EDC.則B=BD ，即 AB?CD=BD?EC①. 同理，可得 ΔADE～ΔBDC

則 ，即 AD?BC=BD?AE（ ② 由 ①+② ，（20

可得 AB?CD+AD?BC=BD?AC. 由 AD=AB ，可知AD?BC+AD?CD=BD?AC， ，即 AD（m+n）=BD?AC.

所以 .在 ΔABD 中，因為 AB=AD ，所以∠ADB=∠ABD=0.在Rt△AFD中，因為DF=BD

cos0，所以AD 因為 業

所以 AC=m+n·

圖9

（3）“拓展應用”問題的解決，根據鄰等對補四邊形的概念，可以畫出如圖 10～12 所示的三個圖形．圖10中，當 AB=AN 時，還存在另外一組相等的邊，即 BM=NM ，這就與題中“該鄰等對補四邊形僅有一組鄰邊相等”的要求不符，故舍去.圖11中，連接AM，過點 N 作 NH⊥MC 于點 H. 當BM=BA 時，在 RtΔAMN 和 RtΔCMN 中，由勾股定理，分別得 MN²=AM²-AN²=18-AN² ， MN²=CM²- CN²=（4-3）²-（5-AN）² 解得 再利用 ΔNHC^～ △ABC，求出 NH=12， 最后，連接 BN ，在 RtΔBNH 中，利用勾股定理求出 BN= （204號 ．在圖12中，利用同樣的方法可以求出

圖10

圖11

圖12

另外，該題也可以利用第（2）小題第 ② 問中的結論 出線段 MN ， AN 的長就可以得出線段 BN 的長．根據△CNM△CBA，可以求出 MN=， AN= ，將其代人關系式，得 ，圖12中也可以利用同樣的方法求出線段BN的長.

這道試題從概念理解出發來考評學生數學活動經驗的積累情況，體現了人口寬、方法多的命題原則，符合數學學科思維開放性的解題要求，有助于不同思維特點的學生多樣地展現自己的思考過程.多種解題方法體現了學生數學基本活動經驗發展程度的不同，也是學生數學核心素養發展現狀的體現.

該題通過“概念理解一性質探究一拓展應用”的層層遞進，全面考查了學生的數學思維與活動經驗，為進一步凸顯數學知識的應用價值，強化從數學到生活的經驗遷移，我們嘗試在學生解決了這道中考試題后添加一道實際應用的題目，讓學生在解決真實情境問題的過程中，深化對鄰等對補四邊形概念及性質的理解，體會數學與生活的緊密聯系.

拓展：如圖13，有一個半徑為8米的圓形廣場，現在其內部規劃一個四邊形ABCD種植鮮花，且∠BCA=∠DCA=30^° ，連接AC.設AC的長為 x 米.

（1）試用含 x 的式子表示四邊形ABCD的周長和面積；（2）直接寫出四邊形ABCD面積的最大值；（3）為了保持美觀，要求四邊形 ABCD 是一個軸對稱圖形，直接寫出此時四邊形ABCD的面積.

圖13

三、問題溯源

教材是學生學習知識最主要的文本資源，其中蘊含著豐富的命題素材．教材中的例題、習題為中考命題提供了廣闊空間.2024年中考河南卷第23題的題源可以追溯到北師大版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）九年級上冊“正方形的性質與判定”中的一道“聯系拓廣”問題（第25頁），題目如下.

如圖14，正方形ABCD的對角線相交于點 o ，正方形 A^′B^′C^′O 與正方形ABCD的邊長相等．在正方形 A^′B^′C^′O 繞點 o 旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分的面積與正方形ABCD的面積有什么關系？試證明你的結論.

圖14

圖15

如圖15，這兩個正方形重疊的部分為四邊形MBNO，其中兩組對角互補，一組鄰邊相等（ OM=ON） ，對角線OB平分∠MBN.這與2024年中考河南卷第23題所呈現的圖形特征是一致的.

當正方形 A^′B^′C^′O 繞點 o 旋轉時，這里存在三個恒等關系：（1）四邊形MBNO中的兩組對角分別互補；（2）四邊形MBNO中的鄰邊OM與ON恒相等，鄰邊BM與BN的和是一個定值（這個定值為正方形ABCD的邊長）；（3）四邊形MBNO的面積是一個定值，恒等于正方形ABCD面積的 ．這道“聯系拓廣”問題充分體現了圖形“變化中的不變性”的數學本質．因此，很多試題都以該題作為編制命題的基礎．人教版教材八年級下冊第十八章的“實驗與探究”部分也提出了同樣的問題讓學生來探究．蘇科版教材八年級下冊第九章“中心對稱圖形——平行四邊形”復習題中也有同樣的問題.

該題也可以溯源到三角形全等的相關知識：有兩邊和其中一邊的對角分別相等的兩個三角形不一定全等．人教版教材八年級上冊“三角形全等的判定”、北師大版教材七年級下冊“探索三角形全等的條件”中都提出了這個結論，我們可以對圖15進行操作變換，先把四邊形MBNO分別沿兩條對角線剪開，就可以得到兩個三角形，再通過調整兩個三角形的位置，得到不同的研究路徑，如圖16和圖17所示．因此，我們也可以把這個圖形作為命制該題的一個原型.

圖16研究路徑1

圖17研究路徑2

這樣的命題設計超越了教材中單一知識的學習，實則是把一個簡單的數學推理問題變成一個以“做數學、用數學”的活動為引導的探究性問題．解決這個問題時，需要學生借助經驗的遷移來理解四邊形MBNO變化中的不變性和核心元素（邊、角）的變化規律，自覺運用這種思維方式對問題進行直觀判斷，快速看出從位置關系的改變到新的數量關系的確定，最后運用其中蘊含的全等變換來解決問題.

四、教學啟示

1.立足教材圖形構造，注重學科知識整合

立足教材圖形構造，注重學科知識整合，是幫助學生積累數學活動經驗的重要路徑.教材中的圖形往往蘊含著豐富的知識關聯與思維邏輯，如不同版本教材中關于正方形旋轉、三角形全等變換等圖形問題，雖然呈現形式各異，但是本質上都指向圖形的“變化中的不變性”與知識之間的內在邏輯．在教學時，教師應深入挖掘教材中圖形的結構性特征，將分散在不同章節的知識（如四邊形的性質、三角形全等、圖形的旋轉等）進行有機整合，引導學生從圖形的位置關系、數量關系中發現知識的聯結點．例如，通過對教材中正方形重疊部分圖形的探究，可以自然引出鄰等對補四邊形的概念，實現從特殊圖形到一般概念的知識遷移，讓學生在構造圖形與整合知識的過程中，建構完整的知識體系，形成“以圖聯知、以知構網”的思維習慣，為學生數學活動經驗的積累奠定堅實的知識基礎.

2.落地動手操作實踐，深化學生的具身體驗

數學基本活動經驗包括數學實踐經驗和數學思維經驗兩大類．數學實踐經驗是學生在學科教學的動手操作、學科實驗中，或在參與校外社會調查、項目式學習的設計、實施和評價等過程中所積累的經驗．經驗源于經歷，經歷成于活動．教材中“做一做”“問題解決”等欄自都為學生動手操作實踐提供了學習素材．例如，北師大版教材“菱形的性質與判定”中設計了“你能用折紙等辦法得到一個菱形嗎？動手試一試！”“兩張等寬的紙條交叉重疊在一起，重疊的部分是菱形嗎？為什么？”“你能用一張銳角三角形紙片ABC折出一個菱形，使∠A為菱形的一個內角嗎？”等問題．又如，在“設計一個噴泉”項目中，學生需要進行實地測量和市場調研，也需要從網絡上查詢各種資料，反復對設計方案進行論證，在體驗、探究、策劃和實施中積累數學活動經驗.

在課堂教學中，教師要把探究的機會還給學生，給學生充足的時間探究知識，讓學生真正動手做一做、猜一猜、說一說、證一證，變接受式學習為發現探究式學習，讓學生在經歷知識生成過程中獲得動手操作的直接經驗，讓知識在探究過程中生成，經驗在探究過程中積累.學生在探究中經歷知識的再發現、再創造過程．在教學中，教師盡量不要用貌似高效的直接授受、課件演示等來代替學生直觀判斷．例如，2024年中考河南卷第23題中，圖1中的 ② 就給學生提供了一個直接經驗，提醒學生解決后續問題時可以通過作高線構造基本圖形來解題．教師要為學生搭建一個交流操作技巧、釋難答疑、展示成果的互動平臺，讓學生在活動中實現基本活動經驗的共享和傳遞．教師也可以利用幾何畫板軟件、GeoGebra軟件等多媒體技術為學生提供替代性經驗.

3.留白數學思維空間，提升學生推理能力

數學思維經驗是學生在經歷和感悟了歸納推理和演繹推理后所積淀的思維模式．在課堂教學中，教師要學會留白思維空間，把思維發展的時間、空間、機會留給學生，教學生學會觀察、學會歸納、學會猜想、學會證明．正如史寧中教授所言，經驗是靠悟出來的．教師要注重對學生關鍵學習行為的引導．觀察是獲得實踐經驗的起始階段．教師可以幫助學生逐漸建立起一種直覺，觀察共性，從中抽象出物體的本質特征，做好物體的辨析和分類．例如，很多學生一眼就可以看出解決問題的方法，這就是活動研究經驗的體現．經驗的積累是以對知識的深度理解為前提的，學習完某個知識點后，教師要引導學生思考“這個知識點應該怎么用？可以使用在哪些方面？”等問題；在解決某個問題前，要思考“之前有沒有遇到過類似的情況？當時是怎么解決的？”等問題；在解決完問題后，要思考“這個問題有沒有更好的解法？能不能從中得出解決此類問題的一般性方法？”等問題.這些反思既有助于學生建立一定的數學直觀，又有助于學生把學習到的知識和技能轉化為自己的智慧.

在圖形變換問題中，也要從觀察人手發現問題，積累觀察圖形及圖形間關系的相關經驗.思維經驗的積累遵循“原初經驗一再生經驗一再認性經驗一概括性經驗一經驗圖式”的規律.學生在學科各領域中思維經驗的積累都遵循這樣的規律，教師要注重各領域起始課思維方式的滲透．例如，學習基本平面圖形時，最初學習角的方法就是獲得思維方式的原初經驗，其中貫穿了“生活情境一抽象概念一圖形分類一性質應用一特殊化一拓展提升”的認知主線．學習三角形、四邊形相關知識時，學習方法與角是一樣的，學生在此基礎上獲得學習其他平面圖形的思維方式，這就是一種概括性經驗，最終形成一個研究平面圖形性質的經驗圖式．又如，關于函數的學習，在教學用字母表示數時，教師要注重變量思維的滲透，求代數式的值是滲透變量思維的起始課．兩個變量之間的一一對應關系就是函數．代數式 3x ， ， 3x+5 ， x²+1 與 x 之間的對應關系分別是正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數．關于函數的圖象與性質的學習，在教學正比例函數的圖象與性質（第1課時）時，教師要引領學生經歷“概念一圖象一性質一應用”的學習過程，形成一個研究函數圖象與性質的思維框架．用描點法畫出任意一個函數的圖象，用代數運算和函數圖象來研究函數的性質，用函數模型可以解決真實問題，這是研究基本初等函數的一般方法.后續學習一次函數、反比例函數、二次函數時，不斷地運用、完善這個思維框架．杜威認為，經驗具有連續性和互動性，當下的經驗來自其他經驗，而且會導致未來的經驗．要積累真正有價值的經驗就需要有連續性的學習活動．這兩個案例的學習都是一個具有連續性的數學活動.

4.關注兩種提取方式，結合實踐問題發展經驗

波利亞曾指出，在解決一道提出的題目時，我們可以應用一道比較簡單的類比題目的解答，既可以利用其方法，也可以利用其結果，或者兩者同時采用，活動經驗的提取有兩個層次.

第一個層次是模仿學習，即直接運用材料中所給出的方法、思路來解決問題．2024年中考河南卷第23題第（2）小題第 ② 問就是一個對角互補圖形的應用，在鄰等對補四邊形中，當已知 DC ， BC ， ∠BCD 的數值時，其中一條對角線 AC 的長度就等于 ．在解答后面的“拓展應用”問題時，就可以通過這個結論來求相應線段的長度．這是基于之前學習經驗的模仿學習.

第二個層次是遷移學習，即將剛剛得到的學習經驗或者已有的思維經驗運用或遷移到新的任務和新的情境中.綜合與實踐問題旨在讓學生綜合運用有關知識和方法來解決實際問題，這就是一種遷移學習．這樣的設計，既可以突出學生真正參與的過程和學習過程的完整性，又可以使學生學習的學科知識得到綜合應用，使方法適應新情境，從而解決實際問題.

數學基本活動經驗是學生在自主學習、動手操作和深度思考的過程中積淀而來的．學科教學實踐應在對教材知識深度整合的基礎上，引領學生經歷數學概念、數學命題、知識結構體系的抽象過程，從動手操作、歸納論證、演繹推理、方法遷移和現實應用等方面幫助學生積累實踐經驗和思維經驗，同時注意根據不同學段的學生學情制訂不同的評價標準.

參考文獻：

[1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2］郭玉峰，史寧中．“數學基本活動經驗”研究：內涵與維度劃分[J].教育學報，2012，8（5）：23-28.

[3]章飛．數學活動經驗的教科書實施[J].課程·教材·教法，2010，30（12）：45-49

[4]波利亞．怎樣解題：數學思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2018.

[5」史寧中.數學思想概論：數學中的歸納推理[M].長春：東北師范大學出版社，2010.