鑿巖機-巖石模型的延拓分析和實驗

中圖分類號：TH113.1；O322；TU631 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202403044

Continuation analysis and experiment in a drifter-rock model

MA Wei12， ZHANG Jian3， JIANG Xin4，WU Wenzhang2 （1.SchoolofResourcesand SafetyEngineering，UniversityofScienceand TechnologyBeijing，Beijing1o83，China; 2.Nanjing Baodi Meishan Industrial City Development Co.，Ltd.Mining Branch，Nanjing 2lO041，China; 3.School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 1Ooo83，China; 4.XCMG Construction Machinery Co.，Ltd.，Xuzhou 221004，China）

Abstract：Theprincipleofthehydraulicdrifterisntroduced，andtheproessofdrilingintorocksbythedrfterisestablsedasa physicalmodelofrock withthree-degreeoffreedomdryfriction.Theconcptofrateofpenetration（ROP）isintroduced.Thestick and non-stickmodesarestudied，explainingthediferencesbetweenthesetotypesofmotion.Theperiodictrajectoriesofthenon linearpiecewisesmoothdynamicalsystemmathematicalmodelaresegmented.Byusingthepseudoarclengthcontinuationmethod andFloquettheory，theangularfrequencyandamplitudeofthehydraulicforcearetakenascontrolparameterstoobtainstableperiodictrajectoriesandthepointofmaximumROP.Bifurcationssuchasperiod-doublingbifurcation，saddle-node bifurcation，andto rusbifurcationarediscovered.Thedataacquisitionsystemfordrillngrockswithahydraulicdrifterisintroduced，andthedisplace mentand velocityofthepistonobtainedfromthemodelandexperimentsarecompared.Theresultsindicatethatomakethedrfter work on the period-1 trajectory，the range of angular frequency should be ωlt;6.814 ，and the range of amplitude should be 0.03 lt; （20 alt;3.051 .There is astrongcorelationbetweentheexperiments and the model，and compared withtheexperiment，thepiston in the model undergoes deceleration before colliding withthedrilltool，，addingan impact deceleration stroke.

Keywords：hydraulicdrifter;rockmodel;continuation;Floquetmultipliei

液壓鑿巖機是鉆機的關鍵部件，學者們已進行了多項研究以分析和改進其性能。CAVANOUGH等[1引入了一個用于硬巖沖擊鉆進的自優化控制系統，此系統可以實時最大化鉆進速率，最小化孔偏角，并測量巖石特性而不受鉆進條件的影響。OH等[2-3]評估了鑿巖機的液壓回路，并開發了分析工具來評估其沖擊能力。從鉆進速率和動能的角度研究

了鑿巖機的性能，這些性能都受到巖石剛度的影響。還分析了影響沖擊性能的設計參數，并得出了改進性能的設計數值。HU等4研究了液壓沖擊機構的性能及其對鑿巖機整體性能的影響。SONG等[5-7]開發了一種鉆頭模型，運用Taguchi法分析和優化了影響鑿巖機沖擊性能的設計參數，對比傳統模型在鉆進性能上有顯著改進。SEO等8解釋了鑿巖機的工作原埋，驗證了模型的可靠性，開研究了影響沖擊頻率和沖擊性能的主要因素。GUO等9提出了高頻液壓鑿巖機帶套分配器的沖擊系統液壓機械耦合模型，使用鍵合圖開發了一個數學模型，并模擬分析了系統的性能。YANG等[10]研究了鑿巖機活塞腔的壓力變化特性曲線，并探討了流量、充壓壓力和溢流閥設置對沖擊性能和效率的影響。耿曉光等[1-12]建立了液壓鑿巖機雙緩沖系統耦合模型分析汽蝕現象的機制，確定了關鍵影響因素，并提出了減輕汽蝕現象的解決方案。YANG等[13-14]針對液壓鑿巖機沖擊過程中活塞振動失穩問題，建立了非線性碰撞動力學模型，通過點映射法結合雅可比矩陣特征值分析，界定了穩定工作域；采用了參數靈敏度控制法預測鑿巖效率，揭示了蓄能器容積比和阻尼間隙是影響效率的關鍵參數。LI等[15-17]分析了緩沖機構對沖擊能量、頻率和功率的影響，并提出了優化沖擊性能的方法。基于波動理論建立了應力波模型，提出了無量綱碰撞系數。SHAH18]提出在鑿巖機中采用電動閥可顯著提升可控性，通過建立液壓鑿巖機沖擊系統流-固耦合模型，結合數值模擬與巖石鉆探測試，揭示了分動閥阻尼間隙對沖擊性能及系統氣穴風險的影響機制。LI等[19]利用正交實驗和回歸分析研究了沖擊功率、推進力、轉速和鉆頭類型等工作參數對鉆進效率的影響。JAKOBSSON等[20-21]針對液壓鑿巖機壓力波動不可控難題，提出了一種在線狀態監測方法。通過精準識別內部駐波與操作頻率耦合效應，有效解決了因頻譜疊加導致的壓力振蕩失穩問題。構建了首個公開的液壓鑿巖機故障數據集，引入了閥芯磨損、密封失效等典型故障模式。其核心目標在于開發基于深度學習的時序分類技術，實現鑿巖機運行狀態的智能診斷與早期預警。SHEN等22在巖石上進行了鉆進測試，建立了一個專用能量模型，引入速率能量比作為評估鉆進效率的指標，并探討了各種鉆進參數對這一比率的影響規律。LING等[23]提出了一種利用深度學習和X-Vectors對液壓鑿巖機進行故障分類的方法，準確率達到了 99.92% ，展示了該方法在液壓鑿巖機故障分類方面的潛力。

以上參考文獻涵蓋了對液壓鑿巖機分析、建模和優化方面的研究。然而，研究中忽略了將液壓鑿巖機與巖石整合在一起。

在沖擊鉆進領域中，HASHIBA等[24]專注于通過實驗測試和數值模擬對鉆頭在沖擊進入巖石過程中的力-穿透曲線進行建模。LUNDBERG等[25-26]研究了使用整體鉆桿和可拆卸鉆頭的沖擊鉆進波形優化，發現通過優化波形可以實現更高的效率，特別是對于更長的波形。KRIVTSOV等[27-28]基于干摩擦模型，建立了切削區域材料去除速率（MRR）的理論預測方法，并揭示較高靜載荷下MRR的降低規律。該模型雖基于簡化假設，但能有效解釋實驗中觀察到的MRR隨靜載荷增大而減小的現象，與實驗結果吻合良好。PAVLOVSKAIA等[29-31]對沖擊振動器動力學進行了系統性研究，通過建立漸進運動動力學模型，成功解析了系統的粘滯階段動態。該模型揭示了從周期性到混沌運動的連續演變行為，通過量化分析系統的非線性動力學特性，實現了鉆進速度在各種工況下的精準預測。研究進一步對比了兩種建模方法，基于系統響應特性確立了最優參數組合：當動態激勵頻率與系統固有頻率匹配時，周期性響應狀態下的鉆進速度達到最優。AJIBOSE等[32-34]研究了不同接觸力模型對鑿巖機的全局和局部動態的影響。分析了Kelvin-Voigt、赫茲剛度和非線性接觸剛度-阻尼三種模型，揭示了接觸力模型的選擇對短期和長期動態都會產生影響。PAEZCHAVEZ等[35-36]對鑿巖機的分段線性沖擊振動動力學響應進行了深入研究，這一振蕩模型是對沖擊鉆進系統中觀察到的行為的定性表示。研究揭示了各種分岔現象，展示了一維和二維現象，突出了系統中存在的滯后效應和混沌行為，有助于更深入地了解與沖擊振動相關的復雜動態和非線性行為，揭示了鉆進過程中觀察到的振蕩系統的性質。LIAO等[37-40]為提高鉆進效率，對鉆頭-巖石振動沖擊系統開展了系統性研究，建立了非線性動力學模型，并基于數值模擬確定了最佳振動參數組合。

巖石鉆進是一個復雜的過程，需要液壓鑿巖機性能高效穩定。先前的研究雖已探索鑿巖機的沖擊性能、破巖機理和能量傳遞效率等，但在鑿巖機鉆進巖石的穩定性層面亟待深人探索。

本文首先介紹了液壓鑿巖機的原理，將鑿巖機鉆進巖石的過程建立成物理模型，利用無量綱化方法，將模型簡化成緊湊形式，將非線性分段光滑動力系統數學模型的周期軌跡進行分段；然后，利用擬弧長延拓法和Floquet理論，將液壓作用力的角頻率和振幅作為控制參數，得到穩定周期軌跡、分岔點和最大鉆進速率點；最后，介紹了液壓鑿巖機鉆鑿巖石的數據采集系統，比較了模型和實驗測得的活塞位移和速度，驗證模型的正確性。

1物理模型

圖1為液壓鑿巖機的工作原理。圖中從左往右的部件依次是沖擊活塞（以下簡稱活塞）釬尾、連接套、鉆桿和鉆頭，液壓力作用于活塞，活塞因此獲得加速度，在與釬尾碰撞前速度達到峰值，與釬尾碰撞后將能量以波的形式傳遞到鉆具中，在此過程中鉆頭在巖石上打孔，完成破巖過程。

如圖2所示，將鑿巖機沖擊系統的作業過程簡化為活塞撞擊釬尾，能量通過鉆具傳遞到巖石。F（t） 表示液壓油作用在活塞上的力，t表示時間； X₁ 表示活塞的位移； X₂ 表示鉆具的位移； X₃ 表示鉆進位移。鉆頭與巖石之間由虛擬的質量忽略不計的彈簧阻尼滑塊表示。滑塊在沖擊力的作用下向前移動， F_f 表示巖石的干摩擦力閾值，即巖石發生變形的力，當作用在巖石上的力超過閾值 F_f 時，系統發生鉆進。為了便于分析，本文假設 F_f 為定值。表1為鑿巖機-巖石模型的量綱參數。

綜合考慮理論和實際的鑿巖機作業過程，將鑿巖機的作業過程分為“非粘滯-非鉆進”“非粘滯-鉆進”“粘滯-非鉆進”和“粘滯-鉆進”四種。

1.1非粘滯-非鉆進

在 t=0 時，假設活塞和釬尾之間的初始距離為G 。當 X₁-X₂

當 X₁-X₂=G 時，活塞會撞擊到釬尾。如果碰撞前的瞬間，活塞和釬尾的速度差值比較大，那么碰撞后兩者就會分離，稱為“非粘滯”模式。在這種情況下，運動方程是通過動量守恒原理推導出來的。活塞和鉆具之間的撞擊關系表達為：

式中，下角標“一\"和“ + ”分別表示碰撞前和碰撞后；

e 為碰撞恢復系數。

當作用于巖石表面的力小于巖石干摩擦力閾值時，系統處于“非鉆進\"模式，可以寫成：

當沒有鉆進時，巖石表面保持靜止，其速度為零：

結合式（1）和（4），得到\"非粘滯-非鉆進\"模式的方程為：

1.2非粘滯-鉆進

當作用于巖石表面的力大于等于巖石干摩擦力閾值時，稱為“鉆進”模式：

結合式（1）和（6），得到\"非粘滯-鉆進\"模式的方程為：

1.3粘滯-非鉆進

圖3為粘滯模式的鑿巖機-巖石的物理模型。當活塞和釬尾碰撞前的瞬間，兩者速度接近時，碰撞后會一起移動，稱為“粘滯”現象。值得注意的是，鑿巖機的粘滯現象僅存在于理論模型，因為實際工況中，碰撞前的瞬間，活塞和釬尾的速度差值很難達到粘滯條件。

發生粘滯的條件為 ， X₁=X₂+G 。其中， 為粘滯模式中 m₁ 的加速度：

為粘滯模式中 （m₁+m₂） 的加速度：

發生粘滯時，活塞和鉆具一起運動， （m₁+m₂） 的動力學方程為：

結合式（4）和（10），得到\"粘滯-非鉆進\"模式的方程為：

1.4粘滯-鉆進

當作用在巖石表面上的力超過干摩擦力的閥值，并且活塞和鉆具一起運動時，系統為“粘滯-鉆進\"模式。結合式（6）和（10），得到“粘滯-鉆進\"模式的方程為：

2 無量綱化

鑿巖機巖石模型的無量綱參數用 η= （ω，a，b，α，β，γ，ζ，g，e）∈（R⁺）⁹ 表示。狀態變量用 u= （y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，y₆）^T∈（R）⁵×[ 0，2π） 表示。利用無量綱化方法，非粘滯模式以無量綱形式表示如下：

粘滯模式的無量綱形式表示如下：

式中 ，f_NS 為非粘滯模式的動力學方程 ;f_N 為粘滯模式的動力學方程。

式（13）和（14）中的 h 為單位階躍函數：

h={1，2ζy₄+y₃-y₅-1≥0

在無量綱化的常微分方程組中， y₁^′～y₆^′ 為變量y₁～y₆ 關于無量綱時間 τ 的微分。變量和參數如下所示：

其中， x_s 為參考位移 （x_s=F_f/k₂） ！ t_s 為參考時間 ）。鑿巖機-巖石模型的無量綱參數如表2所示。

圖4為鉆進位移的時間歷程。計算參數為 ω= 4.981， a=0.1464 ，以及在表2中序號為3～9的參數。橫坐標為無量綱時間 τ 和帶量綱時間t，縱坐標為無量綱鉆進位移 y₅ 和帶量綱鉆進位移 X₃ 。根據式（3），當作用于巖石表面的力小于巖石干摩擦力閥值時，位移保持不變，為“非鉆進\"模式；根據式（6），當作用于巖石表面的力大于等于巖石干摩擦力閾值時，位移會增大，為“鉆進\"模式。

3數學模型

鑿巖機-巖石數學模型是一個非線性分段光滑動力系統，其行為在連續時間中被離散事件打斷[41-42]。假設非線性分段光滑動力系統存在一個維度為 n 的狀態空間 X 和一個相關的矢量值函數 f_I XX ，稱為“向量場”，由某個有限集合F中的索引向量 I 參數化。對于索引向量 I 的每個值，都有一個“事件函數” 和一個“跳躍函數' 對應系統的解是序列 ，包括 m 條光滑曲線和一個相關序列 {I_j}_j=1^m ，使得：

稱索引向量值的序列 Σ={I_j}_j=1^m 為解的標識。系統的解被劃分為“段”，每個段包含定義該區域的一個向量場，一個事件函數（其零點描述了該段的終止點）以及一個跳躍函數（將當前段的終止點映射到下一個段的起始點）。將鑿巖機-巖石數學模型的周期軌跡分段，具體描述如下。

3.1非粘滯碰撞

分段1（標識為 I₁） ：“非粘滯碰撞”的向量場為式（13）所示的 f_NS 。當活塞與釬尾碰撞時，該模式結束，事件函數 h_NSI 為：

h_NSI（u，η）=y₁-y₃-g=0

接下來的分段的起始點由跳躍函數 g_NSI 確定。活塞與釬尾碰撞后的瞬間，活塞位移 y₁ 、鉆具位移y₃ 、鉆進位移 y₅ 和相位 y₆ 沒有發生變化，但是活塞速度 y₂ 和鉆具速度 y₄ 發生了突變。將物理模型中的碰撞關系式（2）進行無量綱化，得到跳躍函數 g_NSI

f_NS 的雅可比矩陣為：

矩陣式（19）的分量如下：

其中， δ 為單位脈沖函數，定義如下：

3.2 非粘滯 2π

分段2（標識為 I₂） ：“非粘滯 2π ”的向量場同樣為式（13）所示的 f_NS 。為確保 y₆ 在非粘滯模式下保持在區間 [0，2π） 內，當滿足以下事件函數 h_2π 時，該分段結束：

h_2π（u，η）=y₆-2π=0

接下來的分段的起始點由跳躍函數 g_2π 確定。為了使軌跡在一個完整的周期后實現閉合，將鉆進位移 y₅ 和相位 y₆ 歸零， y₁～y₄ 保持不變， g_2π 定義如下：

矩陣式（23）的分量如下：

3.3粘滯 2π

f_s 的雅可比矩陣為：

分段3（標識為 I₃ ）：“粘滯 2π ”的向量場為式（14）所示的 f_s 。當由式（21）定義的事件函數h_2π=0 時，此模式終止，跳躍函數 g_2π 由式（22）定義。和 I₂ 相比， I₃ 除了向量場不同外，事件函數和跳躍函數是一致的。

結合非粘滯向量場式（13）和粘滯向量場式（14），鑿巖機-巖石模型的向量場方程以緊湊形式表達為：

3.4 緊湊形式

其中， ?₁ 為非粘滯模式下 m₁ 的加速度：

?₁=（asiny₆+b-2ζγy₂-βy₁）/α

?₂ 為非粘滯模式下 （m₁+m₂） 的加速度：

定義：

分別為向量場、事件函數和跳躍函數的集合。集合F為 Z_f×Z_h×Z_g 的子集，它表示了圖5所示的連接圖，展示了這些元素之間的交互作用。F中的每個元組，如 I=（f_NS，h_NSI，g_NSI） ，表示由向量場 f_NS 規定

的分段，終止于事件函數 h_NSI ，并通過跳躍函數 g_NSI 進行到下一分段。

表3總結了模型的周期軌跡分段，以及相應的向量場、事件函數和跳躍函數。

4 延拓分析

本節使用MATLAB軟件，利用擬弧長延拓法和基于Floquet理論的分岔判定條件，對鑿巖機-巖石模型進行數值分析，控制參數為活塞上的液壓作用力的角頻率 ω 和振幅 a ○

4.1 延拓分岔判定條件

給定一個邊界值問題，延拓是用于在參數變化下定位和跟蹤系統的解。本文采用擬弧長延拓法[43-45]

考慮以下非自治系統周期解的穩定性：

式中， F 為一個周期函數； x∈Rⁿ，t∈R¹，M∈R^m，R 為實數集。式（30）在 M=M₀ 處的周期解為 X₀（t） 并且具有周期 T 。這個周期與 F 的周期相關。在X₀（t） 上疊加一個擾動 z（t） ，得到：

x（t）=X₀（t）+z（t）

將式（31）代人式（30），假設 F 足夠光滑（即至少函數具有二階連續偏導數），在 X_o 周圍展開 F 的泰勒級數，并僅保留擾動中的線性項，得到：

或者：

式中， D_x 表示函數 F 對變量 x 的偏導數（雅可比矩陣）； O 為漸進符號，用于描述高階小量；矩陣 A 為 F 的一階偏微分，這個矩陣具有周期 T 。使用Floquet理論來處理式（33）并確定與式（30）的周期解相關的單值矩陣。單值矩陣的特征值提供了關于周期解穩定性的信息。如果所有的Floquet乘子都在單位圓內，那么相應的解是漸近穩定的，稱為穩定極限環或周期吸引子。如果至少有一個Floquet乘子在單位圓外，其解是不穩定的。如果所有Floquet乘子都在單位圓外，周期解被稱為排斥子。式（33）中的矩陣

A 是參數向量 M 的函數。因此，單值矩陣和相應的Floquet乘子取決于 M 。

根據Floquet理論，圖6為Floquet乘子離開單位圓的三種情形，作為分岔發生的判定條件。如圖6（a）所示，當Floquet乘子從實軸負半軸 （-1） 超出單位圓時，系統解將出現倍周期分岔，這時系統解的周期將變為原來的2倍。如圖6（b）所示，當系統的Floquet乘子從實軸正半軸 （+1） 超出單位圓時，系統解將出現鞍結分岔。如圖6（c）所示，當系統有一對共軛Floquet乘子超出單位圓時，將出現環面分岔，系統將出現準周期軌跡。

4.2角頻率的影響

鉆進速率（rateofpenetration，ROP）是用來衡量液壓鑿巖機性能的指標之一，表達式如下：

沖擊頻率是液壓鑿巖機的性能參數之一。本文研究的鑿巖機具有可調沖擊頻率的功能。根據上文中無量綱化過程的描述，液壓作用力的無量綱角頻率 ω 與頻率 相關。圖 7～9 為關于角頻率 ω 的單參數延拓。計算參數為 a=0.1464 ，以及在表2中序號為 3～9 的參數。

圖7為從 ω=4.981 開始（標記為P1）的關于角頻率的單參數延拓。圖7（a）中，紅色實曲線為非粘滯周期-1解，分段標識為 {I₁，I₂} 。隨著角頻率 ω 的增加，在 ω=6.814 處檢測到系統的一個Floquet乘子在復平面上實軸 （-1） 處穿越單位圓，根據圖6（a）的描述，此時發生了倍周期分岔，標記為PD1。倍周期分岔會導致周期的加倍，在這個位置出現了一條紅色虛線分支，表示不穩定解。隨著 ω 的減小，在 ω=0.543 處檢測到一個穩定周期解的端點，標記為EP1。黑色實曲線和黑色虛曲線分別表示為ROP相對于 ω 的穩定和不穩定解。從點P1開始，隨著 ω 的減小，ROP先增大后減小至O。可以觀察到當 ω=2.895 時，最大ROP為0.00032。隨著ω 的增加，ROP逐漸減小至O，在PD1點之后，變為不穩定解。從P1開始，穩定周期解的范圍為ω∈（0.543，6.814） 。圖7（b）為P1點的相平面圖。從單條豎直虛線（碰撞線）可以看到，在一個完整的周期內，活塞和釬尾發生了一次碰撞。龐加萊映射只有一個點（0.0069，一0.0882），表明點P1對應于周期-1解。圖7（c）為活塞位移 y₁ 和鉆進位移 y₅ 關于時間 τ 的時域圖。根據跳躍函數式（22）的設定，當 y₆=2π 時，鉆進位移 y₅ 歸零。可見，P1點的參數可以使系統發生鉆進。

圖8為倍周期分岔PD1前/后周期軌跡的相平面。從圖7（a）可知， ω_PD1=6.814 為倍周期分岔點。當 ω=6.8lt;ω_PD1 時，龐加萊映射點為1個點，此時系統為周期-1軌跡，從放大視圖可以看出，在一個完整的周期內，活塞和釬尾碰撞1次；當 ω=6.82gt; ω_PD1 時，龐加萊映射點為2個點，此時系統為周期-2軌跡，在一個完整的周期內，活塞和釬尾碰撞2次。為了使鑿巖機工作在周期-1軌跡，應該選擇的角頻率范圍為 ωlt;ω_PD1"。

圖9為從 ω=7 開始（標記為P2）的關于角頻率的單參數延拓。圖9（a）中，綠色實曲線為非粘滯周期-2解，具有 {I₁，I₂，I₁，I₂} 的標識。隨著角頻率 ω 的增加，在 ω=7.274 處檢測到系統的一個Floquet乘子在復平面上實軸 （-1） 處穿越單位圓，根據圖6（a）的描述，此時發生了倍周期分岔，標記為PD2。隨著ω 的減小，在 ω=6.821 處檢測到一個穩定周期解的端點，標記為EP2。從圖9（a）中的黑色曲線可以看出，ROP在整個過程中保持為零，表明沒有發生鉆進。從點P2開始，穩定周期解的范圍為ω∈（6.821，7.274） 。從圖9（b）中的單個豎直虛線可以看出，在一個完整的周期內活塞和釬尾碰撞了一次，有兩個龐加萊映射點， （0.0175，-0.0746） 和（0.0291，-0.0574） ，表明點P2對應于周期-2解。圖9（c）為 y₁ 和 y₅ 關于時間 τ 的時域圖。 y₅（τ）=0 ，可見，P2點的參數不會使系統發生鉆進。

表4為關于角頻率的單參數延拓匯總，總結了起始點P1P2的周期和段標識，以及穩定周期解的范圍。

4.3 振幅的影響

另一個影響系統行為的關鍵參數是液壓作用力的振幅 a 。無量綱參數振幅 a 與鑿巖機的沖擊壓力有關，這個參數是可調的，也是液壓鑿巖機的性能參數之一。圖10為振幅 a 的單參數延拓，計算參數為ω=4.981 ，以及在表2中序號為 3～9 的參數。

從 a=0.146 （標記為P）開始，紅色實曲線代表具有 {I₁，I₂} 標識的非粘滯周期-1解。當振幅減小時，在 a=0.03 處檢測到系統的一個Floquet乘子在復平面上實軸 （+1） 處穿越單位圓，根據圖6（b）的描述，此時發生了鞍結分岔，標記為 SN 。隨著 a 的增加，在 a=3.051 處檢測到系統的一對共軛Floquet乘子在復平面上穿越單位圓，根據圖6（c）的描述，此時發生了環面分岔，標記為TR。黑色實曲線和黑色虛曲線分別代表ROP相對于 a 的穩定和不穩定解。從點P開始，隨著 Ψ_a 的減小，ROP逐漸減小至0。當 a 從點P增加時，ROP逐漸增加直至達到TR點。最大的ROP點是TR點。穩定周期解的范圍為 a∈（0.03，3.051） 。點P的相平面圖和時域圖如圖7（b）和（c）所示。

圖11為鞍結分岔SN前/后周期軌跡的相平面。從圖10可知， a_SN=0.03 為鞍結分岔點。當 a= 0.025SN 時，系統為準周期軌跡；當 a=0.035gt; a_?SN 時，龐加萊映射點為1個點，此時系統為周期-1軌跡。為了使鑿巖機工作在周期-1軌跡，應該選擇的振幅范圍為 agt;a_SN 。

圖12為環面分岔TR前/后周期軌跡的相平面。從圖10可知， a_TR=3.051 為環面分岔點。當 a= （20 2.7TR 時，系統為周期-1軌跡；當 a=3.1gt;a_TR 時，系統為準周期軌跡。為了使鑿巖機工作在周期-1軌跡，應該選擇的振幅范圍為 aTR 。

表5為關于振幅的單參數延拓匯總，總結了起始點P的周期和段標識，以及穩定周期解的范圍。

5 實驗和模型的比較

圖13為液壓鑿巖機鉆鑿巖石的數據采集現場。激光位移傳感器安裝在活塞后面，測量其位移和速度。測量結果進入電腦和數據采集系統。采樣頻率為 200kHz ，并使用了適當的抗混疊濾波器處理信號。每個運行條件下的測量時間為 2～4s ，僅在鑿巖機運行平穩狀態下收集數據。

圖14為典型的實驗和模型的活塞運動曲線，描述了一個完整的工作循環。實驗的位移和速度分別由紅色和藍色實線表示。模型的位移和速度分別由紅色和藍色虛線表示。

實驗工作循環包括三個行程：實驗沖程加速（experimental impactacceleration，EIA）、實驗回程加速（experimentalreturnacceleration，ERA）和實驗回程減速（experimental returndeceleration，ERD）。工作循環從時間 ι=0 s開始，此時活塞位于針尾的遠端，導致活塞后腔的壓力水平較高。活塞前/后腔體之間的壓差，以及活塞控制面積的變化，產生了一個向前的合力，使活塞運動并啟動EIA行程。在t=0.0145s 時，活塞與釬尾碰撞，通過產生應力波將其動能轉移給鉆具，從而破碎巖石。碰撞前活塞的實驗速度（標記為B）為 7.4m/s ，而碰撞后活塞的實驗速度（標記為E）為 -0.33m/s 。活塞與鉆具之間的碰撞關系由式（2）描述。碰撞后，高壓油施加液壓作用力到活塞的前腔，活塞進入ERA行程。在t=0.0239 s時，活塞在返回行程期間達到最大絕對速度（標記為 。隨后，高壓油進入活塞的后腔，導致活塞的合力和速度方向相反，活塞進入ERD沖程。

模型工作循環包括四個行程：模型沖程加速（modelimpactacceleration，MIA）、模型沖程減速（modelimpactdeceleration，MID）、模型回程加速（modelreturnacceleration，MRA）和模型回程減速（modelreturndeceleration，MRD）。可以看到，與實驗工作循環不同的是，模型工作循環多了一個額外的行程，為MID行程。可以在 t=0.0109 s時觀察到模型的最大速度（標記為A）為 6.6m/s 。在活塞與釬尾碰撞之前，活塞經歷了減速。這是因為液壓作用力與活塞運動方向相反。在 t=0.0145s 時，活塞與釬尾碰撞。碰撞前活塞的速度（標記為C）為4.64m/s， 碰撞后活塞的速度（標記為D）為 0.11m/s_o 在 t=0.0231 s時，活塞在返回行程期間達到最大絕對速度（標記為F） -5.55m/s 。

6結論

（1）介紹了液壓鑿巖機的原理，將鑿巖機鉆進巖石的過程建立成三自由度干摩擦力巖石模型。將鑿巖機的作業過程分為“非粘滯非鉆進”“非粘滯-鉆進”\"粘滯-非鉆進”和“粘滯-鉆進”。利用無量綱化方法，將模型簡化成緊湊形式。

（2）將非線性分段光滑動力系統數學模型的周期軌跡分段成“非粘滯碰撞”“非粘滯 2π ”和“粘滯2π ”。為了評估液壓鑿巖機的性能，引人了ROP的概念。

（3）利用擬弧長延拓法和Floquet理論，將液壓作用力的角頻率作為控制參數，發現了倍周期分岔PD1和PD2，為了使鑿巖機工作在周期-1軌跡，應該選擇的角頻率范圍為 ωlt;6.814 ，當 ω=2.895 時，模型得到最大鉆進速率；將液壓作用力的振幅作為控制參數，發現了鞍結分岔SN和環面分岔TR，為了使鑿巖機工作在穩定周期軌跡，應該選擇的振幅范圍為 0.03

（4）介紹了液壓鑿巖機鉆鑿巖石的數據采集系統，比較了模型和實驗測得的活塞的位移和速度。實驗和模型數據基本吻合，但是與實驗相比，模型多了一個沖擊減速行程。

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