拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)應(yīng)用于彎剪型結(jié)構(gòu)布置策略分析

關(guān)鍵詞：彎剪型結(jié)構(gòu)；拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)；布置方法；錨固位置 中圖分類號：TU311.3；TU352.1 文獻標志碼：A DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.202307057

Layoutschemesanalysisofthecable-bracing-self-balancing inertersystem in bending-shear structure

XIE Liyu1， YANG Zijian1， XUE Songtao12， GONG Ling1 （1.College ofCivil Engineering，University of Tongji，Shanghai 2Ooo92，China; 2.Department of Architecture，Tohoku Institute of Technology，Sendai ，Japan）

Abstract：Focusingonatypeofcable-bracinginertersystemthatutilizespositiveandnegativeteethballscrewstoacheveself-balancingproperties，thispaperexplorestheprospectofitsappicationinighiseorsuperhighrsestructureswithcomplexdefora tioncharacteristicsofbendingandshearing.Thispaperdevelopsasimplified modelforthedynamicanalysisofbending-shearstructuresbasedonthemodifiedTimoshenkobeamtheoryinordertotakeintoaccounttheaccuracyandcomputationaleficiencyofthe simulationoftheoriginalstructuraldynamiccharacteristics.Threetypesofcablelayoutschemesareproposedforthecable-bracing selfbalancinginertersystem，andteapropratecablelyoutsforthesructureswithdiferentbndngsheardeformatiotiosare verified.Aquantitativemetricisproposedtooptimizetheanchoragepositionforstructurespecificmodalcontrol.Theaccuracyof theoptimizationresultsisconfimedinthetimeandfrequencydomains throughtheaplicationoffixedpointtheoryforsinglemodalcontrol.Thefolowing conclusionscan bederived.The higher thepercentageofbendingdeformationof thestructureis，the moreefectivetheverticalconnectionofthecableswillbe，ndthemoreefetivethedagonalconnetionwillbeasthepercetage of sheardeformation increases.Withregard tostructure-specific modalcontrol，theoptimizedanchorage positionandfixed-point theory methods can significantly increase the damping eficiency of the inerter system.

Keywords： bending-shear structure;cable-bracing-self-balancing inerter system;layout methods;anchorage position

隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展，城市中高層或超高層建筑的數(shù)量和類型越來越多。而當面對地震或風等外部動力作用時，保障人員和財富集中的高層或超高層建筑的安全與舒適性是一大關(guān)鍵。近年來，隔震與消能減震等技術(shù)因其高效、方便、經(jīng)濟等特點，得到研究人員的重視和工程的廣泛應(yīng)用。其中，通過在結(jié)構(gòu)中附設(shè)消能減震（振）裝置或者調(diào)諧減震（振）裝置進行被動控制是目前應(yīng)用最為廣泛的結(jié)構(gòu)振動控制方式。這種方式主要通過改變結(jié)構(gòu)阻尼或剛度特性，或增設(shè)附加質(zhì)量塊等措施來控制結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)。但是受限于建筑布局、經(jīng)濟成本和節(jié)點處理難度，傳統(tǒng)消能減震（振）裝置所附加力學(xué)元件的大小被約束在一定的范圍內(nèi)，減震效果也受到約束。以常用于超高層建筑抗風或抗震的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）為例，其質(zhì)量盡管只占原結(jié)構(gòu)的 1%～ 5% 左右，但由于原結(jié)構(gòu)質(zhì)量大，最后給結(jié)構(gòu)附加的質(zhì)量往往不能忽略。這些附加質(zhì)量在重力作用下全由結(jié)構(gòu)承擔，會增添額外的處理成本。而慣容減震系統(tǒng)通過齒輪、液壓或滾珠絲杠等形式實現(xiàn)了表觀質(zhì)量放大的效果。在靜力作用下結(jié)構(gòu)只需承受這些機制的真實物理質(zhì)量，從而實現(xiàn)了被動控制系統(tǒng)的輕量化。

日本學(xué)者IKAGO等[14]首先將慣容系統(tǒng)用于土木工程結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域上，并提出了調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（TVMD）這一減震系統(tǒng)，并運用定點理論針對單自由度和多自由度TVMD提出了設(shè)計優(yōu)化方法。隨后，PAN等[5-6和ZHANG等[推導(dǎo)出了慣容減震系統(tǒng)的阻尼增效關(guān)系，揭示了慣容系統(tǒng)高效耗能的原因，并基于性能需求設(shè)計提出了快速估計慣容參數(shù)的方法。除了對慣容放大機理和參數(shù)優(yōu)化算法的研究外，眾多學(xué)者也對慣容系統(tǒng)的安裝位置、安裝方式做了大量的研究。WANG等8提出了液柱慣容系統(tǒng)安裝于結(jié)構(gòu)層間以及兩個相鄰高層建筑之間的不同方式，并且通過遺傳算法優(yōu)化參數(shù)，驗證了其減震性能。KANG等9提出了一種基于流體黏滯阻尼器的蹺曉板結(jié)構(gòu)振動控制系統(tǒng)，通過純拉力支撐構(gòu)件與結(jié)構(gòu)進行連接，能夠提高結(jié)構(gòu)的位移傳遞效率，并驗證了純拉力系統(tǒng)下的蹺躁板消能系統(tǒng)能夠有效控制結(jié)構(gòu)響應(yīng)。ASAI等[10-1]提出了一種伸臂式慣容系統(tǒng)，將TVMD安裝于框架核心筒結(jié)構(gòu)的外伸支臂和周邊柱之間，利用結(jié)構(gòu)的彎曲變形而非剪切變形，提高了TVMD的利用效率。薛松濤等[12]、KANG等[13]和XUE等[14]提出了基于拉索的慣容系統(tǒng)跨層安裝優(yōu)化的方法，基于拉索跨層安裝不同布置形式以得到最佳的安裝方式。

在慣容系統(tǒng)眾多的安裝方式中，拉索連接方式安裝構(gòu)造簡單、適應(yīng)性強，能帶來豐富的優(yōu)化空間。且通過設(shè)計出力施加一定的預(yù)應(yīng)力使拉索始終處于受拉狀態(tài)，能一定程度上解決傳統(tǒng)剛性支撐受壓屈曲的問題，同時增加了拉索的穩(wěn)定性。但是現(xiàn)階段拉索連接更多的是利用結(jié)構(gòu)的相對層間變形，而利用其他變形或綜合考慮所有變形的研究較少。文獻[12-14]討論的拉索連接式慣容系統(tǒng)跨層安裝優(yōu)化只考慮和利用結(jié)構(gòu)層間相對變形來驅(qū)動慣容系統(tǒng)。這讓拉索式慣容系統(tǒng)的應(yīng)用受到一定的局限。XIE等[15]在此基礎(chǔ)上提出了拉索式自平衡慣容系統(tǒng)（CBSBIS）在彎曲型結(jié)構(gòu)中的運用，擴展了其應(yīng)用空間。但實際中很多復(fù)雜結(jié)構(gòu)的彎曲和剪切變形都不可忽略，無法簡單用剪切模型或彎曲模型來準確模擬結(jié)構(gòu)的變形特性。另外，只考慮結(jié)構(gòu)層間變形會錯誤包含結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)角帶來的剛體位移，從而高估減震裝置的作用效果。而采用忽略剪切變形的歐拉梁模型又會低估結(jié)構(gòu)實際的相對層間位移。

綜上，本文通過建立彎剪型結(jié)構(gòu)的簡化模型，同時考慮結(jié)構(gòu)層間相對位移和相對轉(zhuǎn)角對拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)減震效率的影響。并針對彎剪變形占比不同的彎剪型結(jié)構(gòu)，提出了不同的拉索安裝方式以優(yōu)化拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)的減震效果。同時，為提高結(jié)構(gòu)振動中某特定模態(tài)成分的控制效果，提出了慣容系統(tǒng)模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)這一量化指標來優(yōu)化拉索在結(jié)構(gòu)中的錨固位置。采用結(jié)構(gòu)待控制模態(tài)的等效單自由度模型，用定點理論得到慣容系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計值。最后從時域和頻域分別驗證了在彎剪型結(jié)構(gòu)中對拉索式自平衡慣容系統(tǒng)進行安裝方式和錨固位置優(yōu)化的有效性。

1彎剪型結(jié)構(gòu)簡化動力分析模型

傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)分析中集中質(zhì)量模型的連接單元一般采用的是歐拉梁理論，這樣通過考慮或忽略節(jié)點轉(zhuǎn)角可以模擬結(jié)構(gòu)的純彎曲或等效剪切變形。而對于同時考慮結(jié)構(gòu)的彎曲和剪切變形，可以采用修正的Timoshenko梁模型來代替集中質(zhì)量模型中的歐拉梁連接單元。Timoshenko梁在歐拉梁的基礎(chǔ)上考慮了剪切變形，因此能夠同時模擬結(jié)構(gòu)的剪切和彎曲變形。而修正的Timoshenko梁模型在原來的基礎(chǔ)上還考慮了剪切變形引起的轉(zhuǎn)動慣量，消除了原本運動方程中關(guān)于時間的四階導(dǎo)數(shù)項。而運動方程中關(guān)于時間的四階導(dǎo)數(shù)項的存在使梁產(chǎn)生了沒有實際物理意義的第二頻譜。所以修正后的Timosh-enko梁理論對實際彎剪型結(jié)構(gòu)有更好的模擬。為此，本文選擇修正Timoshenko梁作為連接單元的離散集中質(zhì)量模型來對彎剪型結(jié)構(gòu)進行簡化模擬，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量集中于節(jié)點，集中質(zhì)量模型之間的連接采用修正的Timoshenko梁桿模型[17]。其中連接單元采用的Timoshenko梁桿模型的轉(zhuǎn)角位移方程如下：

式中， η=EI/（KGAl²） 為梁桿模型的抗彎線剛度與抗剪線剛度之比，其中 E 為彈性模量， I 為梁抗彎截面的慣性矩， G 為材料的剪切模量， A 為橫截面的面積， K 為剪切截面系數(shù)；l為桿長； χ=EI/l 為梁的抗彎線剛度； 為梁兩端相對位移； θ_A?θ_B 分別為梁兩端轉(zhuǎn)角。根據(jù)此轉(zhuǎn)角位移方程可得到結(jié)構(gòu)剛度矩陣K_s ，進而得到離散集中質(zhì)量模型的動力學(xué)方程如下：

?M_s=diag（m₁，m₂，…，m_N，J₁，J₂，…，J_N）

式中， m_i，J_i 分別為第 i 個離散節(jié)點的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量； u_s 為結(jié)構(gòu)位移向量； x_i 表示第 i 個離散節(jié)點的平動位移； θ_i 表示第 i 個離散節(jié)點的轉(zhuǎn)動角度； r_s 為地震力傳遞矩陣； 為地震作用加速度； α₁ 和 α₂ 分別為質(zhì)量比例阻尼系數(shù)和剛度比例阻尼系數(shù)，假設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼滿足瑞利阻尼假設(shè)，且可以根據(jù)結(jié)構(gòu)任意兩階模態(tài)的阻尼比計算出 α₁ 和 α₂;N 為離散節(jié)點數(shù)量。

根據(jù)上文闡述的簡化彎剪型結(jié)構(gòu)的建模方法，本文選取了一個高 160m.40 層的混凝土核心筒結(jié)構(gòu)作為建模示例。并在此基礎(chǔ)上，通過變化結(jié)構(gòu)等效彎剪線剛度比來獲得彎剪變形成分占比不同的彎剪型結(jié)構(gòu)，以此來探討自平衡慣容系統(tǒng)拉索不同安裝方式的減震效果。結(jié)構(gòu)詳細信息如表1所示。

對于示例結(jié)構(gòu)采用40個集中質(zhì)量來對原結(jié)構(gòu)進行離散化模擬。節(jié)點集中質(zhì)量簡化為長方體，計算得到節(jié)點的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量如圖1所示。

簡化集中質(zhì)量模型中的連接單元可視為梁桿單元，能夠計算出其對應(yīng)的彎曲剛度和剪切剛度。而對于其他更為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)例如鋼混組合結(jié)構(gòu)可采用KASAI等[18]提出的一種簡單且精度較高的方法來簡化復(fù)雜結(jié)構(gòu)建模，并可以得到較符合原結(jié)構(gòu)模態(tài)特性的簡化模型。這個方法能近似得到各層等效彎曲和剪切剛度，且能夠較好地符合原結(jié)構(gòu)的第1和第2階頻率和振型。根據(jù)各層等效彎曲和剪切剛度標定簡化模型中修正的Timoshenko梁連接單元的

相關(guān)參數(shù)，然后根據(jù)簡化模型來進行后續(xù)的消能減震設(shè)計。采用簡化模型既保證了對原結(jié)構(gòu)關(guān)鍵模態(tài)的準確模擬，也為后續(xù)慣容系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計節(jié)約了計算資源。

2拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)布置策略

2.1拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)

自平衡慣容系統(tǒng)是將慣容元件、阻尼元件及彈簧元件進行串、并聯(lián)組合而成的被動控制系統(tǒng)，具有轉(zhuǎn)移和消耗外部激勵、輸入主結(jié)構(gòu)能量的作用。其力學(xué)元件合理的拓撲組合與表觀質(zhì)量放大的特性，能提高阻尼耗能和慣質(zhì)吸能的能力。其中慣容元件通過正反牙滾珠絲杠的形式，將裝置的平動轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動以獲得較大的轉(zhuǎn)動慣量。且利用絲杠的正反牙使慣性飛輪轉(zhuǎn)動方向相反，使其產(chǎn)生的扭矩方向相反，實現(xiàn)端部扭矩自平衡的特性，從而不需額外承受端部扭矩的約束，也得以以拉索這種純拉力連接方式作為支撐。運用虛功原理可得到慣容元件出力：

式中， J 為飛盤的轉(zhuǎn)動慣量，當飛盤半徑遠大于絲桿半徑時， J 近似為 mR²/2，m 為飛盤質(zhì)量， R 為飛盤半徑； L_d 為絲桿導(dǎo)程，表示飛盤轉(zhuǎn)動一圈時絲桿的平動位移； x_d 為絲桿水平位移。通過調(diào)整絲桿導(dǎo)程 L_d 和飛盤半徑 R 可以獲得相較于真實物理質(zhì)量放大目標倍數(shù)的表觀質(zhì)量 m_d ，從而相對于調(diào)諧減震實現(xiàn)所需質(zhì)量元件的輕量化。當然質(zhì)量放大倍數(shù)越高，對絲桿材料、加工工藝要求也就越高，成本也會對應(yīng)增加，需權(quán)衡選擇。

本文所采用的自平衡慣容系統(tǒng)借鑒IKAGO等[2提出的TVMD的連接形式，即慣容元件與阻尼元件并聯(lián)后與調(diào)諧彈簧串聯(lián)。通過在飛盤上設(shè)置電渦流阻尼實現(xiàn)慣容元件與阻尼元件并聯(lián)。圖2為自平衡慣容元件和裝備拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)的一個簡單結(jié)構(gòu)，圖中， 和 分別為左、右飛輪轉(zhuǎn)動的角加速度，慣容系統(tǒng)兩端采用拉索連接并通過定滑輪轉(zhuǎn)向后固定到結(jié)構(gòu)上。當結(jié)構(gòu)在地震作用下發(fā)生振動時，結(jié)構(gòu)變形帶動拉索從而驅(qū)動慣容系統(tǒng)產(chǎn)生控制效果。拉索連接構(gòu)造較為簡單，結(jié)構(gòu)變形驅(qū)動慣容系統(tǒng)的作用明晰。同時，拉索經(jīng)過滑輪轉(zhuǎn)向后，能以不同的布置形式進行跨樓層錨固。這種多樣的安裝方式對結(jié)構(gòu)空間適應(yīng)性強，且通過施加預(yù)應(yīng)力使拉索在工作段處于拉緊狀態(tài)能一定程度上解決傳統(tǒng)支撐受壓屈曲的問題，也能增加拉索的穩(wěn)定性。由于采用了柔性拉索，在設(shè)計中也需計算其帶來的串聯(lián)剛度來修正所需彈簧剛度，以考慮拉索變形帶來的影響。

2.2拉索安裝方式研究

由于拉索支撐連接的形式多樣，本文根據(jù)彎曲和剪切變形特點選擇三種較為典型的安裝方式，根據(jù)連接形狀分別定義為斜向安裝方式、豎向安裝方式和倒V安裝方式，如圖3所示。

下面以斜向安裝方式為例推導(dǎo)簡化模型安裝自平衡慣容系統(tǒng)后的運動方程。假設(shè)慣容系統(tǒng)在底層安裝，拉索錨固于頂層。定義慣容系統(tǒng)剛度元件、慣質(zhì)元件和阻尼元件對應(yīng)的力學(xué)參數(shù)分別為 k_d，m_d，c_d ：T_c 為慣容系統(tǒng)安裝的位移轉(zhuǎn)化矩陣； F_c 為慣容系統(tǒng)力作用矩陣； u_d 為慣容系統(tǒng)的位移。設(shè) α 為拉索與水平方向的夾角； a 為結(jié)構(gòu)寬度，當拉索固定在外部的伸臂桁架時，其為桁架外端到結(jié)構(gòu)中心的距離。令 β_x=acosα β_θ=asinα/2 。慣容系統(tǒng)位移 u_d 如下式所示：

u_d=T_cu_s

對于斜向安裝方式拉索錨固于結(jié)構(gòu)頂部時：

地震力作用矩陣 r 為：

安裝慣容系統(tǒng)后結(jié)構(gòu)的位移、質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣如下式所示：

三種不同安裝方式的減震效果取決于結(jié)構(gòu)位移轉(zhuǎn)化效率即驅(qū)動效率和抗力作用效率即不同形式的回復(fù)力效率。分析發(fā)現(xiàn)，豎向安裝、倒V安裝和斜向安裝這三種方式慣容系統(tǒng)的驅(qū)動效率受到結(jié)構(gòu)彎曲和剪切變形比例的影響。具體而言，豎向安裝慣容系統(tǒng)的驅(qū)動完全是靠結(jié)構(gòu)的彎曲變形（頂層轉(zhuǎn)角）。而倒V安裝和斜向安裝同時受到彎曲和剪切變形的影響。由于倒V安裝中拉索固定在結(jié)構(gòu)中部不受到該層轉(zhuǎn)角自由度的影響，所以相對而言受到彎曲變形的影響較斜向安裝小。由于結(jié)構(gòu)振動中模態(tài)疊加導(dǎo)致變形沒有規(guī)律，而在多自由度結(jié)構(gòu)動力分析中1階模態(tài)成分占比往往最大。為了進一步量化結(jié)構(gòu)彎剪變形對不同安裝方式位移傳遞效率的影響，這里選擇對結(jié)構(gòu)振動中1階模態(tài)成分進行控制。下面假設(shè)結(jié)構(gòu)按1階模態(tài)振動，分析三種安裝方式中彎曲變形和剪切變形對慣容系統(tǒng)驅(qū)動的占比。多自由度1階模態(tài)振動如下式所示：

u_s=ψ₁x₁（t）

式中， ψ₁ 為結(jié)構(gòu)的1階變形； x₁（t） 為1階模態(tài)廣義自由度。

由于只考慮結(jié)構(gòu)振動中1階模態(tài)分量，所以各自由度的相對變形不會發(fā)生變化，即結(jié)構(gòu)彎剪變形比例不會發(fā)生變化。慣容系統(tǒng)的驅(qū)動位移 u_d= T_cu_s ，在1階模態(tài)振動下彎曲驅(qū)動位移 u_db 和剪切驅(qū)動位移 u_ds 如下式所示：

式中， ψ_1b 為1階振型中的彎曲變形分量； ψ_1s 為1階振型中的剪切變形分量。定義結(jié)構(gòu)彎曲和剪切變形傳遞到慣容系統(tǒng)的驅(qū)動比 γ_d=T_cψ_1s/（T_cψ₁） ，易知當結(jié)構(gòu)動力特性和慣容系統(tǒng)安裝方式確定時， γ_d 為定值。

對于豎向安裝， γ_d≡0 ，而對于倒 ΔV 安裝和斜向安裝，可以對結(jié)構(gòu)振型進行彎曲剪切成分分解，然后求出 γ_d 。考慮到示例結(jié)構(gòu)剪切變形占比較小，分別將原結(jié)構(gòu)彎剪線剛度比增大10、20倍（實際各類型結(jié)構(gòu)彎剪線剛度比范圍 0～∞ ）來模擬不同的彎剪型結(jié)構(gòu)。對各結(jié)構(gòu)1階振型進行彎剪變形成分分解，如圖4所示。

將不同彎剪線剛度比結(jié)構(gòu)進行縱向?qū)Ρ龋x擇原結(jié)構(gòu)與彎剪線剛度比分別增大10倍和20倍的結(jié)構(gòu)進行分析。因為結(jié)構(gòu)振型的相對性，這里慣容系統(tǒng)位移取相對大小（最大值為1）。得到結(jié)果如表2所示。

從表2中可以看出，對于彎曲變形占比較大的結(jié)構(gòu)，豎向安裝方式驅(qū)動慣容系統(tǒng)效率最高。而當結(jié)構(gòu)彎剪線剛度比增大即剪切變形成分增加時，斜向安裝方式剪切變形驅(qū)動慣容系統(tǒng)比例增加最大，且驅(qū)動慣容位移轉(zhuǎn)化效率由最低變?yōu)榱俗罡摺Ｓ?/p>

表2不同彎剪線剛度比下的安裝方式效率對比

是，可以得出結(jié)論：安裝于相同位置時，對于三種安裝方式結(jié)構(gòu)彎曲變形驅(qū)動慣容系統(tǒng)的占比的排序為豎向安裝 gt; 倒V安裝 gt; 斜向安裝。即結(jié)構(gòu)彎曲變形越大，豎向安裝驅(qū)動慣容系統(tǒng)更為有效，而隨著剪切變形的增加，斜向安裝更為有效。

此結(jié)論可以幫助在拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)的設(shè)計中選擇合適的安裝方式，即根據(jù)結(jié)構(gòu)振型彎曲和剪切變形占比來選擇不同的安裝方式以獲得更大的慣容系統(tǒng)驅(qū)動效率，從而實現(xiàn)更好的減震效果。當然也可將純彎曲結(jié)構(gòu)或剪切結(jié)構(gòu)視為兩種極端情況來進行設(shè)計。

2.3慣容系統(tǒng)拉索錨固位置優(yōu)化

相對于傳統(tǒng)的剛性支撐，拉索安裝方式帶來極大的靈活性，通過各種拓撲形式實現(xiàn)跨層安裝以積累結(jié)構(gòu)變形來驅(qū)動慣容系統(tǒng)。根據(jù)結(jié)構(gòu)變形特點合理選擇拉索錨固位置也是提高慣容系統(tǒng)減震效率的有效方法之一。不同的錨固位置慣容系統(tǒng)減震效果差別巨大，如由于跨層安裝位置變形的相互抵消，在結(jié)構(gòu)振動過程中驅(qū)動慣容系統(tǒng)的位移可能始終為零，即慣容系統(tǒng)幾乎不發(fā)生作用。另外跨層錨固也可能通過有效累積結(jié)構(gòu)變形放大驅(qū)動慣容的位移，使慣容系統(tǒng)的作用得到幾何上的增效。同樣由于結(jié)構(gòu)實際振動過程中的隨機性，認為結(jié)構(gòu)1階模態(tài)振動成分占主導(dǎo)地位。為了定量比較，假定結(jié)構(gòu)變形中1階模態(tài)占主導(dǎo)地位，可得到慣容系統(tǒng)的驅(qū)動位移 u_d=T_cu_s=T_cψ₁x₁（t） 。這里定義結(jié)構(gòu)驅(qū)動慣容系統(tǒng)位移與結(jié)構(gòu)1階模態(tài)等效單自由度位移之比為模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)，其表達式如下：

其中，慣容系統(tǒng)位移轉(zhuǎn)化矩陣 T_c 與其在結(jié)構(gòu)中的安裝方式和錨固位置相關(guān)。

根據(jù)模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)的定義，可以得到慣容系統(tǒng)安裝于不同樓層位置時其值的相對大小，如圖5所示。從圖5中可以看出，無論是斜向安裝還是倒V安裝，對于結(jié)構(gòu)1階模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)而言，跨層安裝明顯比單層安裝效率更高，且慣容系統(tǒng)安裝于底層、拉索錨固于頂層時效率最高，即結(jié)構(gòu)發(fā)生相同的變形時，慣容系統(tǒng)的驅(qū)動位移最大，控制效果較好。另外為了實現(xiàn)慣容系統(tǒng)調(diào)諧特點，需要拉索存在一定的變形能力，這導(dǎo)致單層安裝時位移傳遞效率低，慣容系統(tǒng)發(fā)揮作用較小。對于斜向安裝和倒V安裝兩種方式，結(jié)構(gòu)2階模態(tài)控制位移轉(zhuǎn)化系數(shù)在圖中都出現(xiàn)了兩個峰值，這與結(jié)構(gòu)對應(yīng)振型形狀類似，但最大峰值位置因安裝方式不同而有所差別。值得注意的是，由于高階振型較為復(fù)雜，不合理的跨層錨固位置容易導(dǎo)致慣容驅(qū)動位移的相互抵消，從而導(dǎo)致對該階模態(tài)的控制效果差。因此，實際設(shè)計拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)時，需要根據(jù)結(jié)構(gòu)待控制模態(tài)合理選擇慣容系統(tǒng)安裝方式與錨固位置，以最大化發(fā)揮自平衡慣容系統(tǒng)的減震效果。

3自平衡慣容系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化

3.1基于結(jié)構(gòu)單模態(tài)控制的定點理論優(yōu)化

自平衡慣容系統(tǒng)由阻尼元件 （c_d） 、剛度元件 （k_d） 和慣容元件 （m_d） 構(gòu)成，慣容系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化即確定c_d kd和 m_d 以達到更好的減震效果，發(fā)揮出阻尼增效特性。現(xiàn)有的慣容系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化設(shè)計方法有定點理論和基于目標的阻尼增效設(shè)計法等。本文討論的是結(jié)構(gòu)模態(tài)控制，與定點理論共振峰值控制目標一致，這里選擇定點理論進行優(yōu)化設(shè)計。

但定點理論方法針對的是單自由度模型優(yōu)化設(shè)計，不能直接運用。而結(jié)構(gòu)模態(tài)控制能將待控制模態(tài)的多自由度模型簡化為對應(yīng)模態(tài)等效單自由度模型。其質(zhì)量、剛度和阻尼對應(yīng)控制模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼。通過簡化的單自由度模型，可以運用定點理論進行優(yōu)化設(shè)計。

為了確保結(jié)構(gòu)振動控制中慣容系統(tǒng)在簡化的1階模態(tài)等效單自由度的作用與在結(jié)構(gòu)1階模態(tài)振動中的作用相同，要對結(jié)構(gòu)的振型進行歸一化處理，歸一化的原則為慣容系統(tǒng)1階模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)γ_u=1 ，即當簡化的1階模態(tài)等效單自由度發(fā)生位移x₁（t） ，結(jié)構(gòu)1階模態(tài)振動發(fā)生位移 時，慣容系統(tǒng)的出力一致。因此針對1階模態(tài)的振型歸一化如下式所示：

式中， ψ_i 為結(jié)構(gòu)的第 i 階振型； 為結(jié)構(gòu)針對1階模態(tài)控制歸一化后的第 i 階振型，同理可得到歸一化后1階模態(tài)等效單自由度的模態(tài)質(zhì)量 m_dof1 、模態(tài)剛度 k_dof1 和模態(tài)阻尼 c_dof1 如下式所示：

對此，利用單自由度TVMD優(yōu)化的定點理論公式[1]，結(jié)合單模態(tài)控制的思想最終可獲得結(jié)構(gòu)1階模態(tài)控制慣容系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)如下式所示：

式中， κ^opt 和 ξ^opt 分別為定點理論優(yōu)化確定的剛度比和阻尼比； μ 為設(shè)計時需要確定的慣質(zhì)比，通常來說， μ 越大，減震效果越好，但對應(yīng)的成本也越高。為方便對比，本文后續(xù)研究中始終取 μ=0.1 。

3.2拉索不同安裝方式效果驗證

為了驗證拉索安裝方式與錨固位置優(yōu)化結(jié)論的正確性，選用EI-Centro_NS（EI）地震波作為地面激勵對結(jié)構(gòu)進行時程分析。利用不同彎剪線剛度比結(jié)構(gòu)驗證三種安裝方式的有效性。考慮到斜向安裝方式驅(qū)動慣容系統(tǒng)最為復(fù)雜，以斜向安裝方式為例驗證慣容系統(tǒng)拉索錨固于不同樓層時的減震效果。這里選擇拉索錨固樓層為頂層、20層和2層三個位置作為對比，如圖6所示。

由于拉索安裝方式和錨固位置發(fā)生變化時，位移傳遞矩陣 T_c 不同，慣容系統(tǒng)對應(yīng)的定點理論優(yōu)化參數(shù)會發(fā)生變化。根據(jù)上述結(jié)構(gòu)模態(tài)控制定點理論優(yōu)化的思想，振型歸一化的原則為對應(yīng)模態(tài)等效單自由度慣容系統(tǒng)的出力一致。而結(jié)構(gòu)位移轉(zhuǎn)化效率越高，慣容系統(tǒng)達到相同出力所需力學(xué)元件參數(shù)越小。通過采用定點理論這一相同優(yōu)化方法來對比拉索不同布置方式減震效率，在其等效單自由度模型慣容系統(tǒng)出力一致的情況下，慣容系統(tǒng)所需參數(shù)越小，其控制效率越高。選擇原結(jié)構(gòu)以斜向安裝方式和相同的慣容系統(tǒng)參數(shù)來對比拉索錨固于不同樓層時的減震效果。由于結(jié)構(gòu)1階模態(tài)振動成分在結(jié)構(gòu)振動中占比較多，本文主要針對結(jié)構(gòu)1階模態(tài)進行控制，運用上文結(jié)構(gòu)單模態(tài)控制定點理論的優(yōu)化結(jié)果，得到了不同方案慣容系統(tǒng)的優(yōu)化參數(shù)如表3所示。

時程分析得到結(jié)構(gòu)頂層自由度水平位移如圖7所示。從圖7（a）～（c）中可以看到，不同安裝方式按照模態(tài)控制定點理論優(yōu)化得到的慣容系統(tǒng)對結(jié)構(gòu)頂層位移控制效果差別不大。但是無論是慣容系統(tǒng)的表觀質(zhì)量、阻尼還是剛度，在原結(jié)構(gòu)和彎剪線剛度比增大10倍的結(jié)構(gòu)中，豎向安裝都是其中所需最小的，斜向安裝都是所需最大的，即豎向安裝驅(qū)動慣容系統(tǒng)效率最高，減震效率也最高。而當結(jié)構(gòu)彎剪線剛度比增大20倍后，即剪切變形的比例大大增加后，斜向安裝所需慣容系統(tǒng)參數(shù)最小，豎向安裝所需最大。即完全和原結(jié)構(gòu)結(jié)論相反，在減震效果差別不大的情況下，斜向安裝驅(qū)動慣容系統(tǒng)減震效率較高。

層間位移角體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)在地震作用下的相對變形，而對于彎剪型結(jié)構(gòu)有害層間位移角在層間位移角的基礎(chǔ)上忽略了對結(jié)構(gòu)變形能力沒有影響的剛體位移，更能體現(xiàn)結(jié)構(gòu)的一個變形狀態(tài)。圖8（a）、（b）、（c）展示了目標地震波作用下有害層間位移角的均方根值。可以發(fā)現(xiàn)，當結(jié)構(gòu)剪切變形比例增加時，依靠彎曲變形驅(qū)動的豎向安裝方式的減震效果變差，甚至對于彎剪線剛度比增大20倍結(jié)構(gòu)，有害層間位移角比無控結(jié)構(gòu)還大。可見對于彎剪變形占比不同的結(jié)構(gòu)，選擇不同的拉索安裝方式對減震效果有較大的影響。

對于結(jié)構(gòu)1階模態(tài)控制，自平衡慣容系統(tǒng)拉索錨固于不同樓層時結(jié)構(gòu)頂層位移的減震效果如圖7（d）所示。當拉索分別錨固于2、20、40層時，拉索最佳錨固優(yōu)化位置40層的控制效果最好。同樣，圖8（d）展示了拉索不同錨固位置對結(jié)構(gòu)有害層間位移角的控制效果，依舊也是優(yōu)化位置40層最佳。但是如圖9所示，對于各樓層最大絕對加速度的控制，最佳錨固位置僅僅在高層的控制效果略優(yōu)于20層，中低層的控制效果反而不如錨固于20層。這里可以從圖5展示的模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)分布圖得到一些解釋，對于高階模態(tài)控制，40層并非最佳安裝位置，而結(jié)構(gòu)的加速度容易受到高階模態(tài)的影響，因此控制效果較差。圖10展示了慣容系統(tǒng)拉索錨固于不同樓層時，結(jié)構(gòu)頂層位移的頻響函數(shù)。從圖10中可以看到針對結(jié)構(gòu)的1階模態(tài)控制，最佳優(yōu)化位置對1階模態(tài)共振峰控制效果最好。同時發(fā)現(xiàn)拉索錨固于20層時，對結(jié)構(gòu)2階模態(tài)影響較大。這可以從圖5（b）中得到解釋，拉索錨固于20層時2階模態(tài)位移轉(zhuǎn)化系數(shù)較大，說明此錨固位置對2階模態(tài)影響大。為此在實際工程中，可以根據(jù)控制目標選擇待控制的模態(tài)，然后針對各待控模態(tài)運用單模態(tài)控制定點理論，優(yōu)化得到多個慣容系統(tǒng)和各自對應(yīng)的拉索錨固位置，這樣可以有針對性的優(yōu)化慣容系統(tǒng)的減震效果。

無論是頂層位移、有害層間位移角還是絕對加速度，慣容系統(tǒng)拉索單層錨固于底部時效果甚微，所以慣容系統(tǒng)自平衡特性帶來的端部約束解放得以以拉索支撐連接方式實現(xiàn)跨層錨固來積累結(jié)構(gòu)變形驅(qū)動慣容系統(tǒng)，從而提高控制效果。圖11展示了拉索錨固于不同樓層時，自平衡慣容系統(tǒng)阻尼元件的滯回環(huán)，可以看到最佳拉索錨固位置的滯回環(huán)最為飽滿，耗能最為充分。

綜上針對彎剪型結(jié)構(gòu)，拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)的設(shè)計優(yōu)化流程圖如圖12所示。

在實際工程運用中，由于高層或超高層結(jié)構(gòu)體系往往較為復(fù)雜，本裝置需結(jié)合建筑實際的布局設(shè)計來考慮拉索在結(jié)構(gòu)中的具體安裝方式。可以充分利用電梯井、設(shè)備管線等已有構(gòu)造來布置拉索以減少后續(xù)成本。

4結(jié)論

本文基于修正的Timoshenko梁理論建立了彎剪型結(jié)構(gòu)動力分析的簡化模型。并基于簡化模型，分析探討了拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)三種不同安裝方式對彎剪變形占比不同的彎剪型結(jié)構(gòu)減震效果的影響。針對結(jié)構(gòu)振動中特定模態(tài)控制，討論了拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)拉索錨固樓層優(yōu)化的控制效果，主要結(jié)論如下：

（1）拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)設(shè)計時，對原結(jié)構(gòu)采用簡化彎剪型模型建模能同時考慮結(jié)構(gòu)的彎曲和剪切變形，能相對更為準確地模擬出控制系統(tǒng)的減震效果并節(jié)約計算資源。

（2）拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)的自平衡特性能解放端部扭矩約束，從而得以以拉索這種純拉力形式作為連接支撐。發(fā)揮了拉索這種柔性連接方式的多樣化調(diào)整和優(yōu)化空間的優(yōu)勢。

（3）針對各彎剪變形占比不同的彎剪型結(jié)構(gòu)，可合理選擇本文提出的三種拉索安裝方式。具體而言，結(jié)構(gòu)彎曲變形越大，豎向安裝驅(qū)動慣容系統(tǒng)的減震效率更高，而隨著剪切變形的增加，倒V和斜向安裝方式的減震效率更高。

（4）對于拉索連接自平衡慣容系統(tǒng)，需根據(jù)實際工程設(shè)計中的待控制模態(tài)合理選擇拉索錨固樓層以積累結(jié)構(gòu)變形來驅(qū)動慣容系統(tǒng)，從而實現(xiàn)更好的減震控制效果。

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