強基計劃物理考試中繩索類問題歸類解析

強基計劃旨在選拔和培養有志于服務國家重大戰略的基礎學科創新拔尖人才，以加強原始創新能力，實現關鍵領域的重大突破，從而提升我國的科技競爭力.自2020年1月教育部推出強基計劃以來，該計劃已實施五年.通過對物理強基計劃考試試題的分析，可以發現其考查范圍極為廣泛，涵蓋了從高中到大學普通物理的核心知識和規律，展現出較大的知識跨度.強基物理考試沒有統一的考試大綱，不同學校之間的測試題目，以及同一學校不同年份的試題，其考查內容均存在較大變化.然而，這些考試都高度注重對學生基本概念和規律的深人理解、邏輯推理能力以及靈活運用數學工具能力的考查.強基考試試題難度高于高考，大部分考題與全國中學生物理競賽預賽難度相當，少數題自甚至達到復賽水平，對學生的知識廣度、深度以及熟練度提出了較高要求.這是為了識別和選拔強基計劃人才而設計的.因此，有志于報考強基計劃的同學，在扎實掌握高中物理知識的基礎上，應適當學習大學普通物理以及全國中學生物理競賽的相關內容，以拓寬視野，提升邏輯思維能力和科學探究精神.

在強基考試中，繩索受力和運動狀態的問題常有出現.解決這類問題需要運用質心運動定理、動量定理、機械能守恒定律等物理規律，具有較高的綜合性.由于這類問題通常涉及變質量系統，學生常常面臨研究對象不明確、物理規律應用錯誤，甚至無從下手的情況.為了幫助同學們更好地掌握這類問題的分析方法，下面進行分類解析.

1 運動學問題

例1在光滑水平面上立著一根半徑為 r 的豎直圓柱子.借助長為l的輕繩將小球與柱子相連，開始時球位于水平面上并且繩被拉緊，現在猛推一下，使其具有方向垂直于繩的初速度 O₀ ，于是球開始繞柱子運動，將繩纏在柱子上，不計一切摩擦.繩系在柱子的下部，靠近球滑動的平面，求繩全部纏在柱子上的時間.

圖1

小球所受合力為繩的拉力，拉力和球的速度垂直，繩子拉力對球不做功，所以小球速率變.由于繩長變短，小球角速度變大.

設經過 Ψ_t 時間小球轉過 θ 角，則繩與圓柱切點也轉過 θ 角，小球做圓周運動半徑變為 l-rθ ，小球角速 ，變形可得

由上式可知， 與 θ 是線性關系，作 圖像如圖2所示，因為 ，則 Δt 對應的是圖2中陰影部分的面積，而斜線與坐標軸所夾三角形面積即是繩繞到圓柱上的時間，由圖像可知

圖2

本題由機械能守恒得到小球速率不變.通過數學變形發現角位移和角速度倒數之間是線性關系，實現二者圖像化曲為直.利用微分、積分思想找到圖像中面積的物理含義，避開了繁雜的高等數學知識.

2 靜力學問題

例2如圖3所示，一根質量分布均勻的繩子擱在兩個傾角均為 θ 的V形斜面上（傾角 θ 可調節），繩子與斜面的動摩擦因數為 μ=1 ，整個系統左右對稱.設 k 是繩子與斜面不接觸的部分占繩子總質量的比例.當 θ 取何值時，k取到最大值？最大值為多少？

圖3

對左斜面上繩子進行受力分析如圖4所示設繩子總重力為 G ，則左斜面繩子重力為

，由平衡條件得G₁sinθ+T=f ， f=_μG₁cosθ 其中 μ=1. 對不在斜面上的繩子由平衡條件得 .聯立解得

圖4

令

當 2θ+45^°=90^° 時 x 最大，即當 θ= （204號

22.5^° 時 x 有最大值，為 此時 k 的最大值為

（204號

點本題分別以懸空繩子和斜面上繩子為研究對象，由平衡條件得到 k 的表達式，利用函調性求出極值.

例3如圖5所示，一個半徑為 r 的四分之一光滑球面放置在水平桌面上，球面上放置光滑均勻鐵鏈，其 A 端固定在球面的頂點， B 端恰好與桌面不接觸.鐵鏈單位長度質量為 λ ，求鐵鏈重心位置.

圖5

方法1以OB為 x 軸、 OA 為 軸建立坐標系，根據重心坐標公式可得 x_c= ，由對稱可知

方法2設 A 點對鐵鏈拉力為 T ，若鐵鏈在 T 的作用下發生了極小位移 Δl ，鐵鏈重力勢能增加為λgrΔl ，則由功能原理得 TΔl=λrgΔl ，化簡得 T= λrg .因為鐵鏈各處彈力都通過 o 點，以 O 為轉軸，鐵鏈所受彈力力矩為零，由力矩平衡可得 Tr= 將 T 代人上式，可得

方法1用重心坐標公式，需要微分和積分的知識，對數學能力要求較高.方法2利用力矩

平衡求重心.求拉力用到了虛功原理，即假設鐵鏈在

拉力作用下發生一個極小的虛位移，研究鐵鏈能量的變化可以求出拉力.利用虛功原理來解決靜力學問題，減少了繁雜的數學運算.

3 動力學問題

例4質量為 m 、長為 ξ_l 的鏈條套在頂角為 2α 的圓錐體上，圓錐體與鏈條一起繞與圓錐體對稱軸重合的豎直軸轉動，轉動角速度均為 ω ，鏈條平面是水平的，已知重力加速度為 g ，求鏈條的張力大小.

取任一小段鏈條，其對應圓心角為 θ（θ0） ，水平面內受力分析如圖6所示，由圖知 F= 豎直面內受力分析如圖7所示，由牛頓第二定律得 ，由平衡方程可得Δmg=F_NSin α ，將 l=2πr ， ， θ0 時sin 代人上式可得

圖6

圖7

點求鏈條張力需要用到微分知識，研究一小段鏈條受力.一小段鏈條受力屬于空間受力，需要從不同角度觀察畫出其平面圖形.在計算張力過程中，要利用小量近似處理.

例5長為l，質量為 Σ_m 的軟繩自靜止下落.開始時繩的下端與臺秤秤盤恰好接觸，求臺秤最大示數，

方法1繩子對秤盤作用力包括兩部分，一部分是落在秤盤上繩子重力，另一部分是即

將與秤盤碰撞的繩子的撞擊力.設此撞擊力為 N₁ ，對

與秤盤碰撞繩子由動量定理可得 mU△x，將

代入上式得

x）.秤盤示數N=N1+m γg（-），所以N=

，可見當 x=0 時，臺秤示數最大為 3mg

方法2以秤盤為坐標原點豎直向上建立 x 軸，如圖8所示，當繩子上端下降 l-x 時，懸在空中繩子速度為 .由質心坐標公式得質心坐標為 求導可得質心加速度 將 代人上式，可得 ，由質心運動定理得N-mg=ma_c .可知秤盤對繩子作用力為 ，故臺秤最大示數為 3mg ：

圖8

方法1采取隔離法，研究即將與秤盤碰撞的繩子和已經落在秤盤上的繩子，利用微分思想和動量定理求解.方法2采取整體法，以整個繩子為研究對象，利用質心運動定理求解.

例6一根均勻柔軟的繩長為l，質量為 m ，對折后兩端固定在一個釘子上，其中左端突然從釘子上滑落，試求滑落的繩端點離釘子的距離為 x 時，釘子對繩子另一端的作用力.

圖9

當左邊繩端下降距離為 x 時，

解析 左邊繩長為 ，速度 ，右邊繩長為 .經 Δt0 ，左邊繩子有長為 的一小段轉移到右邊，速度變為零，對這一小段繩子 ?λ= ，由動量定理得 ，由于Δt 很小，忽略這一小段繩子的重力，得到 _gxλ ，釘子對右邊繩端作用力

繩子對釘子的力可以看成兩部分，一部分是右邊繩子的重力，一部分是從左邊轉到右邊

的繩子由速度 v 減到零產生的沖擊力.需要注意的是左端繩子下降的距離是右邊增加繩子長度的兩倍，由于繩子是軟繩，所以左邊繩子做自由落體運動.

4能量問題

例7過山車長為 L ，以某速度 v₀ 在水平軌道上行駛，然后進入半徑為 r 的豎直平面內的圓形軌道，已知 r 比車廂的尺寸大得多，且 Lgt;2πr ，問 O₀ 應滿足什么條件，才能使過山車安全駛過豎直圓軌道，不計過山車和軌道之間的摩擦，

當過山車在動能最小即軌道最高點處車廂不脫離軌道，則過山車可以安全駛過豎直軌道.過山車動能最小時，其重力勢能最大，即過山車完全充滿軌道.

設單位長度過山車質量為 λ ，由機械能守恒定律得 （202πλgr² .當過山車速度最小時，位于最高點的車廂對軌道剛好沒有壓力，其做圓周運動的向心力由其自身重力和左右兩側車廂對它拉力合力提供，如圖10所示，由牛頓第二定律得 2T sin ，將 θ0 ，sin 代人上式得 T=λv²-λgr .為了求 T ，假設軌道最高點車廂在向左 T 的作用下發生一個極小位移 Δx ，則由能量守恒定律可知，拉力 T 做的功等于最高點右側過山車重力勢能的增加量，此增加量相當于水平面上長 Δx 車廂到達軌道最高點增加的重力勢能，即 ，化簡得到 T=2λgr ，由上面方程解得

圖10

點此題受力分析很容易出現錯誤.學生很容易認為此題和軌道最高點小球臨界問題是同一模型，認為在軌道最高點的車廂速度最小時只受重力作用，其實它還受兩邊車廂的拉力作用.求此拉力時需要用到虛功原理.在求過山車重力勢能增量時采取了等效法.

例8水平桌面上有一光滑小孔，一根長為、質量為 Ψ_m 的均質軟繩穿過小孔，繩的一半置于桌面上，另一半穿過小孔豎直下垂.現在由靜止釋放，讓繩經小孔豎直向下運動.已知繩與桌面間的動摩擦因數為 μ 求繩尾到桌上小孔時，繩的速度大小.

由動能定理得 ，此過程中繩子重心下降 .重力做功 W_G= mgl.設單位柔繩質量為λ=m ，當繩子滑動 x 時，在桌面上的繩長為 ，水平桌面對繩子的摩擦力的大小為 與 x 成線性關系，所以

由以上各式可得繩的速度為

求重力對繩子做功可以將繩子等效成質量完全集中在重心的質點.繩子所受摩擦力是

變力，但和繩子位移成正比，所以摩擦力做功等于初、末態摩擦力平均值乘以繩子位移.

5 振動和波的問題

例9在一豎直方向上有兩個固定的水平光滑的細軸，相距l，一圈長度略大于2l的細繩按如圖11所示方式套在兩個細軸的外側，右半圈繩的質量線密度為常量入，左半圈繩的質量線密度為2入，開始時繩靜止，而后自由釋放，繩圈將會形成無摩擦的周期性往復運動.試求周期 T

因為無摩擦，所以繩子與細軸 圖11構成系統機械能守恒.設左半圈的上端 A 下落高度為 y 時，根據機械能守恒定律得

整理得

若令 則 與簡諧運動的能量方程 對比可知繩子的運動是簡諧運動，且 m=3λl，k=2λg ，將 m，k 代入簡諧運動周期公式 得

證明物體做的是否是簡諧運動的方法有四種：1）證明回復力滿足 F=-kx：2） 證明位移與時間滿足正弦關系;3）證明 a=-ω²x;4） 利用能量方程進行類比.本題從能量角度求解比較簡便.

例10 求脈沖波在繩上傳播時，繩上的波速表達式.

當繩上有脈沖以速度 υ 向右傳播時，在以 υ 向右運動的參考系上觀察，半徑為 r 的圓環

部分的質元做勻速圓周運動，速率為 σ_v .以圓心角為 θ

所對應的一小段繩為研究象，其受力分析如圖12所

示.設單位長度繩的質量為 λ ，由牛頓第二定律可得

，當 ，所以 0

圖12

以速度 v 運動的物體為參照系，因為速度不變，所以是慣性參照系.本題采取微分思想和近似思想，通過對極小段繩上質元運動的研究，再根據牛頓第二定律求解.

在高考中，繩索通常被視作輕質物體，由于其質量為零，根據牛頓第二定律可知，無論繩索處于運動還是靜止狀態，都可以認為其合力為零.因此，繩索內部的張力在各處均相等.在強基計劃和競賽中涉及的繩索問題，通常討論的是均質且柔軟的繩索.當繩索處于加速狀態時，其各處的張力并不相等.繩索具有質量，其形狀會隨之發生改變，進而導致繩索的有效質量分布也發生變化.處理變質量問題的核心在于將“變化\"轉化為“不變”，常用的方法包括研究整個繩索，或者考慮繩索的減少和增加部分.解決均質繩索類問題的基本方法是合理選擇研究對象，分析其受力和運動過程，并靈活運用質心運動定理、動量定理、動能定理以及機械能守恒定律等物理規律建立方程，同時選擇合適的數學工具進行求解.在求解過程中，還會涉及微分、積分、近似、等效、類比、函數和圖像等思想和方法，需要特別注意的是，在對繩索應用動能定理時，不僅要考慮外力做功，還要考慮系統內力的做功，因為繩索的一部分并非質點.

本文系北京物理學會重點課題“強基計劃背景下中學物理拔尖人才培養策略研究與實踐”（項目編號wlxh241019）階段性研究成果.

（完）