高中物理中數學思想的應用

物理學致力于探究自然界物質的基礎結構、相互作用及其運動規律.數學思想則是通過對數學知識和方法進行概括提煉后形成的核心認識，它為運用數學解決實際問題提供了理論指導和思維框架.物理學是一門定量的科學.無論是物理學理論的創立與發展，還是物理概念和規律的表述，以及物理規律在實際中的應用，都離不開數學思想的支撐.高中物理學習同樣離不開數學思想的支撐.在高中物理中，常用的數學思想包括：函數與方程思想、數形結合思想、化歸思想以及分類思想.通過應用數學方法解決物理問題，實際上是數學思想向高中物理領域的遷移，這一過程有助于促進學生的物理認知結構重建.

1 函數與方程思想

函數與方程思想的內涵：通過運動和變化的視角，分析事物之間的依存關系，抽象出其數學特征，并進行深入研究，從而有效解決問題.函數與方程的概念既存在聯系又有所區別.它們均作為事物之間關系的定量表現形式，均采用代數式進行表達.函數主要側重于描述自變量與因變量之間的依賴關系，而方程則更注重對未知量的求解.

例1如圖1所示，a是靜置于地球赤道表面上的物體， b 是在近地軌道上運行的人造地球衛星， c 是地球同步衛星，關于這三個物體運動參量的比較，下列說法正確的是（ ）.

圖1

A．角速度的大小關系為 ω_a=ω_cgt;ω_b B.向心加速度的大小關系為 a_agt;a_bgt;a_c C.線速度的大小關系為 v_a=v_bgt;v_c D.周期關系為 T_a=T_cgt;T_b

在軌運行的人造地球衛星，其運動近似看作勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即 （204

推理可得衛星的線速度 ；衛星的角速度 ；衛星的周期 GM；衛星的加速度 .衛星 b 和 Ψ_c 同屬地球衛星，軌道半徑 r_bc ，根據函數的單調性可以比較二者線速度、角速度、周期、加速度的大小關系.物體 a 和同步衛星 c 繞共同的圓心（地心）做圓周運動，其周期和角速度相同，且r_ac ，比較向心加速度和線速度時應該選用公式a=rω² 和 v=ωr .答案為選項D.

本題需要根據受力情況建立不同的運動模型，列出線速度、角速度等物理量的解析式（把這些量寫成軌道半徑 r 的函數），然后根據函數單調性比較物理量的大小.衛星 b 和 Ψ_c 都是在軌運行的衛星，可將其線速度、角速度、周期和加速度都寫成軌道半徑 r 的函數，然后分別討論函數的單調性.比較 a 和 c 的運動時，由于二者角速度相同（類比共軸轉動模型），其向心加速度、線速度與軌道半徑成正比.

例2 某汽車在十

d汽車xY自行車 4X2

字路口等候信號燈.在綠燈亮的瞬間，汽車以a=3m?s^-2 的加速度從

靜止開始行駛；此時在汽車正后方 d=4.5m 處恰好有一自行車以 的速度勻速向路口駛來，問自行車能否追上汽車？若能，何時追上？

綠燈亮開始計時，經過時間 t ，汽車的位移 2at2，自行車的位移x2=ut，自行車在Ψ_tΨ_Ψ 時刻追上汽車的條件為 x₁+d=x₂ ，聯立方程，整理得一元二次方程為 ，方程的判別式 ，因此，方程組有兩個不等的實數解，即自行車能追上汽車，一段時間之后汽車反超過自行車.解得 t=1 s或3s（舍）.

列方程解決物理問題的一般步驟為分析題意、列出方程、計算求解、結果檢驗.分析一元二次方程時，常用配方法、判別式法.本題根據判別式的取值判斷自行車能否追上汽車： Δgt;0 ，能追上； 0，恰好能追上； ，追不上.列方程解決實際問題時，需要檢驗計算結果的合理性，避免物理問題數學化.本題的一元二次方程有兩個不等的實數根， t=1 S對應著自行車追上汽車； t=3 s對應著汽車再次追上自行車，不符合題意，應該舍去.

例3一個質量為 Σ_m ！直徑為 d 、電阻為 R 的金屬圓環，在范圍很大的磁場中沿豎直方向下落，磁場的分布情況如圖3所示.磁感應強度豎直方向分量 B_y 的大小只隨高度變化，其隨高度 y 變化關系為 B_y=B₀（1+ ky （此處 k 為比例常數，且 kgt;0 ），其中沿圓環軸線的磁場方向始終豎直向上，在下落過程中金屬圓環所在的平面始終保持水平，速度越來越大，最終穩定為某一數值，稱為收尾速度.俯視觀察，圓環中的感應電流方向為 ；圓環收尾速度的大小為

圖3

金屬圓環豎直下落，通過金屬圓環向上的磁通量增加.根據楞次定律可得，圓環中的感應電流沿順時針方向（俯視）.

根據法拉第電磁感應定律，單匝金屬環的感應電動勢等于磁通量對時間的瞬時變化率，則有

金屬環達到收尾速度后， v=v_m ，根據能量守恒定律可知，重力做功的功率等于電功率，即mgm= 整理得收尾速度

高中物理的很多物理量都是通過變化率定義的，如：速度是位移對時間的變化率、加速度是速度對時間的變化率、力是動量對時間的變化率、功率是能量對時間的變化率、電流是電荷量對時間的變化率、感應電動勢是磁通量對時間的變化率（匝數 N=1 .導數的本質是瞬時變化率.學過導數以后，同學們不妨從導數的角度重新認識瞬時速度、瞬時加速度、瞬時功率、瞬時電流、瞬時感應電動勢等物理量，從而深化對物理概念、規律的理解，把握物理知識的內在聯系，體會數學方法與物理思想的完美結合.

2 數形結合思想

數和形是物理學中研究對象不可分割的兩個基本屬性.例如，運動軌跡從形的方面反映物體位置的變化，位移、速度、加速度則從數的方面定量描述物體的運動.研究物體的機械運動時，作出運動示意圖，將有助于問題的解決.數形結合思想是指把事物的空間形式和數量關系結合起來，通過數與形之間的對應和轉化來解決問題，其實質是抽象思維與形象思維的有機結合.數形結合思想的應用有兩類：一是以形助數，即借助形的直觀性來闡明數之間的聯系；二是以數助形，即借助數的精確性來闡明形的某些屬性.高中物理中，數形結合思想主要體現為函數圖像、矢量圖解、幾何知識（三角形、圓、拋物線）的靈活應用.

一例4質量為 Ψ_m 的球體置于斜面上，所有的接觸面均光滑，斜面傾角為 θ ，若將擋板沿順時針方向緩慢旋轉，求擋板與斜面夾角為 α 時，斜面、擋板對小球的作用力大小.

小球受到重力mg、擋板壓力 F₁ 和斜面支持力 F₂等三個力作用，處于平衡態，三個力構成封閉的矢量三角形，小球處于三力平衡狀態，如圖4所示.根據正

弦定理，有

，解得中

圖4

本題采用數形結合思想（以形助數）.解矢量三角形時，正弦定理、余弦定理是常用規律.

處理這類問題時，關鍵是要找準邊、角的對應關系.

例5某同學通過實驗測定一個阻值約為 5Ω 的電阻 R_x 的阻值，電路如圖5所示，實驗中所用電表的參數：電流表（ （0～ 0.6A，內阻約 0.125Ω ）、電壓表 _0～3V ，內阻約 3kΩ， .在不損壞各電表的前提下，將滑動變阻器的滑片 P 從一端滑向另一端，隨著滑片 P 移動距離 x 的增加，被測電阻 R_x 兩端的電壓 U 也隨之增加，下列反映 U-x 關系的示意圖正確的是（ ）.

圖5

由題意得，滑片由右向左滑動，電壓表示數增大.滑動變阻器總長度記為 ξ_l ，忽略電表對電路的影響，以滑片移動的距離 x 為自變量（定義域：0?x?l） ，被測電阻 R_x 兩端的電壓 U=f（x） 的解析式可表述為

在數學課中學過：函數 y=f（-x） 的圖像與函數y=f（x） 的圖像關于 y 軸對稱；函數 y=f（x-a） 的圖像可以由函數 y=f（x） 的圖像向右平移 a 個單位得到（ .據此，本題中 U 隨 x 變化的圖像可以按照如下步驟獲得.

RxEl第一步：作出反比例函數 的圖像，因 ，其圖像為位于第1象限的一條雙曲線.

第二步：將第一步所作的圖像關于 軸對稱，得RxEl·到函數 的圖像.

第三步：將對稱所得的函數圖像向右平移 ，可得函數 的圖像，選項A正確

本題融合了函數思想與數形結合思想（以數助形），解決思路概括為“寫出函數解析式 $$ 日像變換”兩個步驟.

解決一些不熟悉的物理圖像問題（常見于創新實驗題）時，不妨先寫出函數的解析式，這將有助于識圖、用圖，助力問題的解決.

3化歸思想

化歸是轉化和歸結的簡稱，指的是將未知解法或難以解決的問題，通過分析、歸納、類比等思維過程，運用恰當的思想方法進行變換，轉化為已知問題或容易解決的問題.化歸思想的實質是揭示聯系，實現轉化.為了有效地實施化歸、解決問題，應遵循簡單化原則、熟悉化原則、具體化原則.高中物理常見的模型建構、降維思想、極限思想、微元思想、等效思想、補償思想、逆向轉換、數形轉換、函數圖像“化曲為直\"等思想方法都屬于化歸思想的范疇.

例6如圖6所示，質量為m 的物體在斜向上的拉力作用下沿粗糙水平地面勻速向右運動，已知物體與地面間的動摩擦因數為 μ ，求拉力 F 的最小值.

圖6

方法1物體做勻速直線運動，根據共點力平衡條件列方程有 Fcosθ-F_f=0，F_N+ Fsinθ-mg=0，F_f=μF_N ，整理得

其中 tan φ=μ .故當 時，

方法2分析物體受力情況可以發現，物體所受支持力、滑動摩擦力的合力方向始終不變.將支持力、滑動摩擦力的合力記作全反力 R ，全反力與接觸面法線的夾角記作摩擦角φ，tanφ=μ

用全反力 R 等效替代支持力和摩擦力，物體在重力、拉力、全反力作用下三力平衡，如圖7所示，當拉力與全反力垂直時，拉力最小.得

圖7

由幾何關系可知，此時拉力與水平方向的夾角

本題是典型的共點力平衡問題.第一種解法體現函數與方程思想：列出平衡方程，把拉力 F 表述為拉力與地面夾角 θ 的函數，利用三角函數的極值解決問題.第二種解法融合了化歸思想、數形結合思想，用全反力等效替代支持力與滑動摩擦力，從而巧妙地將四力平衡問題轉化為三力平衡問題，利用矢量三角形解決極值問題，很好地簡化了解題過程.

例7某同學利用單擺測定當地重力加速度，發現單擺靜止時擺球重心在球心的正下方，他仍將從懸點到球心的距離當作擺長 L ，通過改變擺線的長度，測得6組 L 和對應的周期 T ，畫出 L^-T² 圖線，然后在圖線上選取 A，B 兩個點，如圖8所示.他采用恰當的數據處理方法，則計算重力加速度的表達式應為 g= 請你判斷，該同學得到的實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相比，將 （填“偏大\"\"偏小\"或“相同\"）.

圖8

若擺球重心在球心下方 x 處，單擺的周期 .把 L 寫成 T² 的函數： L= 4T2-x，結合L-T2圖像可得，斜率k= 4；因此，重力加速度 g=4π²k ，代人數據得

由上述分析可知，擺球重心的位置（用 x 表示）不影響圖像的斜率，對重力加速度的測定沒有影響，即實驗結果與擺球重心就在球心處的情況相同.

本題融合了函數與方程思想、數形結合思想、化歸思想，考查對單擺周期公式的理解以及圖像“化曲為直”的技巧.單擺的周期 T 與擺線長L 不是線性關系，直接作 L-T 圖像不利于實驗數據的處理.題目中已知 L^-T² 圖像是直線，這說明 L 與 T² 間存在線性關系.寫出 L^-T² 圖像對應的函數解析式，利用斜率的物理意義就可得到重力加速度 g 的表達式.一次函數的圖像是一條傾斜直線，其截距、斜率都具有明顯的物理意義，能直觀揭示自變量與因變量之間的關系.驗證性、測定性實驗常用一次函數圖像處理實驗數據.有些物理量之間的關系不是線性關系，但可以通過坐標變換轉換成一次函數關系，從而使問題得到很好地解決，這種設計思想可以歸納為“化曲為直”

4分類思想

分類思想來源于集合思想中的并集思想，又稱邏輯劃分，是指以比較為基礎，根據研究對象的共同點和差異點把事物進行分類，對劃分的每一類分別進行研究和求解，最后綜合各類結果得到整個問題的解釋或解答.概括而言，分類思想體現了“化整為零、各個擊破、積零為整\"的思維策略.分類的原則是標準統一、不重不漏、按層次逐級劃分.

在高中物理教學中，分類討論可以使復雜的問題得到清晰、完整、嚴密的解決.這樣既有利于學生深入了解物理現象、理解物理概念和規律、掌握物理公式的適用條件，也可以通過分類討論幫助學生消除頭腦中片面的、錯誤的觀念，提升發散思維和創新能力.研究具體的物理問題時，可以從研究對象、已知條件、物理量的取值范圍、物理狀態、物理過程、運算結果（如運算結果正負號的物理意義）等角度進行分類討論.

例8兩個帶電的金屬球（可視為點電荷）相距一定距離放置，兩球間的庫侖力大小為 F ；用絕緣工具將兩球相碰后再放回原處，兩球間的庫侖力大小為F^′ .請比較 F^′ 與 F 的大小關系.

本題中兩個小球所帶電荷量間的關系未知，電性是否相同，也不清楚.需要從已知條件分類討論.分類標準有兩個（電性、電荷量），需要按4種情況討論.將兩個小球所帶的電荷量大小分別記為q₁…q₂ ，距離記為 r ，接觸前的庫侖力

1）若 q₁…q₂ 為同種電荷，接觸后的庫侖力大小

① 若為等量同種電荷，有 F^′=F ：

② 若為不等量同種電荷，有 F^′gt;F

2）若 q₁…q₂ 為異種電荷，接觸后的庫侖力大小

③ 若為等量異種電荷，有 F^′=0

④ 若為不等量異種電荷，有三種可能（令n=）

解得，當 時， F^′-F=0 當 或 時，有 F^′gt;F ：

當 時，有 F^′=F ：

當 時，有 F^′′-F 的取值是否大于零（函數值域問題），體現了“不重不漏、按層次逐級劃分”的分類原則.

例9如圖9所示，已知水平傳送帶不運轉時，工件從左端 A 點以v₀=2m?s^-1 沖上傳送帶，從右端 B 點離開傳送帶時的速度是 v=1m?s^-1 .若工件從左端沖上傳送帶時的初速度不變，傳送帶以速度u 勻速運轉，以順時針轉動為正方向， u 的取值范圍是-3m?s^-1?u?4m?s^-1 ，試作出工件從右端 B 點離開傳送帶時的速度 v 隨 u 變化的函數圖像.

圖9

物體所受摩擦力的方向與物體相對運動或相對運動趨勢的方向相反.傳送帶的速度大

小不同，工件相對傳送帶的運動情況不同，所受摩擦

力的情況（大小、方向、有無）也就不同，進而影響工件

的運動過程.本題需要對傳送帶的速度大小進行討論.

若工件始終做勻減速直線運動，遵循公式 v²- v₀²=-2as ，到達 B 點時的速度大小 Δ?Δv=1m?s^-1 ；若工件始終做勻加速直線運動，依據公式 v²-v₀²=2as 不難得出，到達 B 點時的速度大小 v=2.65m?s^-1 ·具體討論如下：

① 若 -3m?s^-1?u?1m?s^-1 ，工件始終做勻減速運動，從 B 點離開傳送帶時 v=1m?s^-1 ;② 若 1m^*s^-1-1 ，工件先做勻減速運動后做勻速運動，從 B 點離開傳送帶時 v=u ：③ 若 u=2m?s^-1 ，工件始終做勻速直線運動，從B 點離開傳送帶時 v=u ;④ 若 2m?s^-1-1 ，工件先做勻加速運動后做勻速運動，從 B 點離開傳送帶時 v=u ：⑤ 若 u≥2.65m?s^-1 ，工件始終做勻加速運動，從 B 點離開傳送帶時 v=2.65m?s^-1 ：

作出工件從右端 B 點離開傳送帶時的速度 v 隨 u 變化的函數圖像如圖10所示.不難發現，第②③④ 三種情況可以歸為一種： v=u ，用一段函數圖線描述.

圖10

本題融合分類討論思想、數形結合思想.解析過程中，首先根據傳送帶初速度 u 的取值范圍進行分類，然后對劃分的每一種情況分別進行分析求解，最后綜合各類結果得到整個問題的解釋或解答，體現了“合一分一合”的思維策略.

數學思想的應用貫穿整個高中物理學習過程，滲透到新課學習、專題復習、實驗探究等各個環節.解決物理實際問題，各種數學思想的應用是必不可少的，需要同學們結合具體問題靈活選擇、應用， （完）

簡介

2020年9月，王朝祥市級名師工作室由北京物理學會批準成立，12名核心成員來自朝陽、東城、海淀等區，含7名博士、5名碩士，學員知識功底好、創新意識強，現已主持多個市級課題、核心期刊發表論文多篇.該工作室圓滿完成第一屆的預定工作任務后，于2024年再次獲批成立.

2023年9月，北京市朝陽區教委、教工委為王朝祥區名師工作室頒發證書。該工作室的7名核心成員都是市區骨干教師（兩名市學科帶頭人、一名市骨干），1名學員于2024年評為正高級教師.

2023年12月由教育部教師司、北京市教委、首都師范大學基地聯合授牌成立王朝祥國家級名師工作室，該工作室的10名核心成員來自北京市的10個遠郊區縣，學員老師年富力強、朝氣蓬勃，大多已是教育戰線的中堅力量.