加速度與時間關系圖像問題歸類分析

對于加速度與時間關系的圖像，其圖線的斜率表示加速度隨時間變化的快慢，如果圖線為水平直線，則加速度保持不變，物體做勻變速直線運動.由公式Δv=at 可知，圖線與橫軸圍成圖形的面積表示速度的變化量.若圖線與橫軸重合，則圖像面積為零，表明速度不變，物體做勻速直線運動.若圖線為正弦曲線，則物體的加速度隨時間按周期性變化，但不一定做簡諧運動.有關加速度與時間關系圖像的問題，在近年高考題中出現的幾率較大，對物理知識考查的視角更加開放、全面、獨特和新穎.下面對有關加速度與時間關系圖像的問題從物體運動形式的角度按三種情況進行舉例分析.

1勻變速直線運動問題

例1汽車由靜止開始在平直的公路上行駛，0～60 s內汽車的加速度隨時間變化的圖像如圖1所示.

（1）畫出汽車在 0～60 s 內的 v-t 圖像； （2）求這60s內汽車行 駛的路程.

圖1

（1）a-t 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示“速解析度變化量”，可知前10s汽車做初速度為零的勻加速直線運動，末速度為 20m?s^-1 ；中間30 s做勻速直線運動，速度為 20m?s^-1 ；后20s加速度為負值，表明汽車做勻減速直線運動，初速度為

20m?s^-1 ，由于兩個矩形面積大小相等，則速度變化量相等，可知末速度為零.由此可畫出汽車在 0～ 60s 內的 v-t 圖像如圖2所示.

圖2

（2）根據 -v-t 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示位移，可知路程為

點本題解題關鍵是理解a-t圖像斜率、正負值以及圖線與橫軸圍成圖形面積的物理意義，此外，對于三段加速度圖像，需知各段圖線相鄰端點對應同一時刻的速度相等；還需理解 v-t 圖像斜率的物理意義以及圖線與橫軸圍成圖形面積的物理意義；并且能將勻變速直線運動的 α-t 圖像轉換成 v-t 圖像.對于勻減速運動過程，也可利用 v-t 圖像斜率的絕對值表示加速度的方法展開分析，具有一般性.

2變加速直線運動問題

一例2某賽車的變速系統非常強勁，從靜止加速到 100km?h^-1 僅需 2.3s ，此時加速度為 10m?s^-2 ，當車速為 190.8km?h^-1 時，加速度為 3m?s^-2 .假定該賽車加速時的加速度隨時間的增大而均勻減小，急停時賽車的加速度大小恒為 9.0m?s^-2 ，求（結果均保留2位小數）：

（1）該賽車的最大加速度；（2）賽車從速度為0加速到 190.8km?h^-1 再減速到0需要的時間.

（1）對于變加速直線運動，由公式 Δv=_a^-Δt ，得 .由于賽車的加速度隨時間的增大而均勻減小，因此剛啟動時的加速度最大，則加速度的平均值為 .兩式聯立可得（20 a_max≈14.15m?s^-2

（2）設加速度關系為 a= （20號 a_max-kt ，畫出 |a-t 圖像如圖3所示.當 t₁=2.3 s時， a₁= 10m?s^-2 ，當 a₂=3m^?s^-2 時，設對應的時刻為 t₂ ，由相似三角形的對應邊成比例可知 ，由此得賽車的速度從0加速到 190.8km?h^-1 所經歷的

圖3

時間為 t₂≈6.18s

對于急停過程，已知賽車做勻減速直線運動的加速度大小為 a=9.0m?s^-2 ，設賽車從速度190.8km?h^-1 減速到0所經歷的時間為 t₃ ，由 Δv= aΔt 可知 △u≈5.89 s.所以賽車速度從0加速到190.8km?h^-1 再減速到0所經歷的時間約為 t= t₂+t₃≈12.07Ω 6

在求最大加速度時利用了平均加速度的一般公式和特殊公式，二者相等的前提條件是加速度隨時間均勻變化，否則二者不相等.在求加速運動的時間時，既可利用函數關系式法，也可利用圖像法，而利用相似三角形對應邊成比例列方程顯得更直觀.若把題中速度 190.8km?h^-1 改為 200km · ，則是錯誤的.因為不滿足 a-t 圖像面積表示速度變化量這一條件，導致數據不自洽.

例3雨滴在落向地面的過程中可看成質量不變、半徑為 r 的球體，所受空氣阻力大小 f=kr²v² ，其中 k 是比例系數， v 是雨滴的速度.兩個半徑分別為r₁…r₂（r₁gt;r₂） 的雨滴從高空無初速度豎直下落，用① 、 ② 分別表示它們的加速度一時間 （a-t ）圖線，下列圖像可能正確的是（ ）.

雨滴受到的合外力方向豎直向下，大小為F=mg-kr²v² ，隨著速度逐漸增大，阻力將逐漸增大，且增大得越來越快，因此合外力最終趨于零，則加速度最終趨于零，即圖線以橫軸為漸近線，排除選項A、B.由牛頓第二定律可知加速度表達式為

把V= π2代人可得a=

由此可知，當兩個雨滴的加速度大小 Δ_a 相同

時，若雨滴的半徑 r 越大，則對應的速度 v 就越大.已

知 r₁gt;r₂ ，則 v₁gt;v₂ .對于初速度為零的變加速直線運動，由末速度公式 可知，圖線與橫軸圍成圖形的面積大小表示末速度大小，則在 Δ_a 相同的條件下，圖線 ① 對應的面積較大，由圖像知選項C正確.

解答本題需首先判斷圖像的凹凸性，即根據牛頓第二定律列方程判斷加速度取值的極限趨于零；然后判斷曲線對應雨滴半徑的大小，需推導加速度的關系式，根據控制變量法可知，在加速度相同時，半徑越大，速度越大，由圖像面積的物理意義可知圖像面積越大.在坐標系中作一條水平線，與兩個圖線分別相交，通過觀察哪個交點對應的圖像面積較大進行判斷.

例4（2023年湖北卷） t=0 時刻，質點P 從原點由靜止開始做直線運動，其加速度 Δ_a 隨時間 t 按圖4所示的

圖4

正弦曲線變化，周期為 2t₀ .在 0～3t₀ 時間內，下列說法正確的是（ ）.

A. Φ_t=2t₀ 時， P 回到原點

B. Φ_t=2t₀ 時， P 的運動速度最小

C. ?_t=?_t0 時， P 到原點的距離最遠

D. 2t。時，P的運動速度與t= 。時相同

已知在 t=0 時刻質點 P 從原點由靜止開始做直線運動，則速度逐漸增加，表明質點受到動力作用，由圖像可知，質點在 時間內先做加速度增大的加速運動，再做加速度減小的加速運動，到 t₀ 時刻速度達到最大值，加速度為零，在此過程中質點一直向前做加速運動；在 t₀～2t₀ 時間內，加速度為負值，表明質點受到阻力作用，則加速度方向與速度方向相反，質點先做加速度增加的減速運動，再做加速度減小的減速運動，到 2t₀ 時刻速度減小到零，此過程中一直向前做減速運動.因此質點在 0～2t₀ 時間內一直向前運動.在 2t₀～4t₀ 時間內重復上述過程，即質點一直向前運動，故選項A、C錯誤，選項B正確.

a-t 圖像與橫軸圍成圖形的面積表示速度變化 時間內速度變化量為零，且速度方向不變，因此 比。與。時刻速度相同，故選項D正確.

雖然 α-t 圖像為正弦曲線，但從受力情況以及初速度條件來看質點并非做簡諧運動，而是定向周期性直線運動.從初始時刻開始，到任一時刻對應的整個圖像的面積都不小于零，因此速度變化量不小于零，由于初速度為零，則末速度不小于零，那么質點不可能反向運動，因此質點一直向前運動.

（2021年湖南卷）如圖5所示，質量分別為 m_A，m_B 的 A，B 兩物體用輕彈簧連接構

圖5

成一個系統，外力 F 作用在 A 上，系統靜止在光滑水平面上（ B 靠墻面），此時彈簧形變量為 x .撤去外力并開始計時， A，B 兩物體運動的 a-t 圖像如圖6所示，S₁ 表示0到 t₁ 時間內 A 的 a-t 圖線與坐標軸所圍面積大小， S₂…S₃ 分別表示 t₁ 到 t₂ 時間內 A，B 的 a-t 圖線與坐標軸所圍面積大小. A 在 t₁ 時刻的速度為v₀ .下列說法正確的是（ ）.

圖6

A.0到 t₁ 時間內，墻對 B 的沖量等于 m_Av₀ B. m_Agt;_mB （2

C. B 運動后，彈簧的最大形變量等于 x

D. S₁-S₂=S₃ 由于在 時間內，物體 B 靜止，則 B 受到墻壁的彈力與彈簧的彈力始終大小相等，由于彈簧質量不計，則 A，B 受到的彈力始終大小相等，方向相反.因此墻對 B 的沖量大小等于彈簧對 B 的沖量大小，而彈簧既作用于 B 也作用于 A ，則可將研究對象轉為 A ，撤去 F 后 A 水平方向只受彈力作用，則根據動量定理有 I=m_Av₀ ，方向向右，所以墻對B 的沖量與彈簧對 A 的沖量大小相等、方向相同，選項A正確.由 |a-t| 圖像可知， t₁ 時刻后彈簧被拉伸，在t₂ 時刻二者的加速度同時達到最大值，則此時彈簧的拉伸量達到最大，根據牛頓第二定律有 F₃₄=m_Aα_A= m_Ba_B .由圖6知 a_Alt;_aB ，則 m_Agt;_mB ，選項B正確.在t₁ 時刻 B 開始運動，此時 A 的速度為 v₀ ，之后 A，B 相互作用，系統的動量守恒，則有 m_Av₀=m_Av_A+ m_Bv_B ，可知總動量的方向向右，因此， A，B 的速度不

可能同時為零.由于 A，B 和彈簧整個系統機械能守恒，則只有 A，B 整體的動能為零時，彈簧的最大形變量才等于 x ，但 A，B 系統的動能不可能為零，因此彈簧的形變量小于 x ，選項C錯誤.由 |a-t 圖像可知 t₁ 時刻后 B 脫離墻壁，且彈簧被拉伸，在 t₁～t₂ 時間內A，B 組成的系統動量守恒，且在 t₂ 時刻彈簧的拉伸量達到最大，即此時 A，B 達到共速，由于 a-t 圖像與橫軸所圍圖形的面積為 Δv ，可知在 t₂ 時刻 A，B 的速度分別為 v_A=S₁-S₂，v_B=S₃ ，由于 A，B 在 t₂ 時刻共速，即 v_A=v_B ，則有 S₁-S₂=S₃ ，選項D正確.該題答案為選項A、B、D.

對于 v_A=S₁-S₂ ，可利用圖線與坐標軸圍成兩個圖形面積的代數和直接得出，要注意坐標系的面積有正負之分.該題解題關鍵是具體分析兩個物體的受力及運動情況.從時刻 t₁ 以后，系統質心向右運動的速度始終為 v₀ ，因此兩個物體始終向前運動.質點 B 在時刻 t₁ 后，受到彈簧拉力作用，彈力充當動力，但拉力先增大后減小，則質點 B 從靜止出發先做加速度增大的加速運動，再做加速度減小的加速運動，在 t₁～t₃ 時間內一直向前加速運動，到 t₃ 時刻速度最大；在 t₃～t₄ 時間內，受到彈簧阻力的作用，加速度與速度方向相反，質點 B 先做加速度增加的減速運動，再做加速度減小的減速運動，到 t₄ 時刻速度減速到零，此過程中一直向前做減速運動.因此不能說兩個質點都做簡諧運動，但可以說兩個質點相對于系統的質心做簡諧運動.回顧例4中質點 P 的運動情況，與例5中物體B的受力情況相同，相當于質點 P 受到彈簧彈力的作用.

3 簡諧運動問題

例6（2024年北京卷）圖7-甲為用手機和輕彈簧制作的一個振動裝置.手機加速度傳感器記錄了手機在豎直方向的振動情況，以向上為正方向，得到手機振動過程中加速度 Ψ_a 隨時間 Ψ_t 變化的曲線為正弦曲線，如圖7-乙所示.下列說法正確的是（ ）.

圖7

請設計實驗證明混合體系A中除了H、O兩種元素以外的其他元素

混合體系A為 SiCl₄"水解后的產物，分為H₂SiO₃"沉淀和溶液中的HCl.因此，混合體系中除了H、O外，還有C1、Si，要分別檢驗這兩種元素.C1元素以 Cl^-"形式存在于清液中，故取上層清液檢驗；Si元素以 H₂SiO₃"沉淀形式存在，故取沉淀加堿溶解，變為 SiO₃^2-"后加酸檢驗.故答案為：取混合體系A中的少量上層清液，滴加稀 HNO₃"，無明顯現象，再加 AgNO₃"溶液，若產生白色沉淀，說明有C1元素；取少量混合體系中的白色沉淀，加入NaOH溶液使其完全溶解，再逐滴滴加稀鹽酸至過量，若產生白色膠狀沉淀，則說明有Si元素.

4總結與啟示

研究近幾年浙江省高考真題，可以發現浙江省高考中離子檢驗考查方式呈現以下特點.

1）由簡單、熟悉的情境向陌生、復雜的情境轉變，注重遷移、應用，而非記憶.

2）由單一離子檢驗變為多種離子檢驗，一步反應檢驗變為多步反應檢驗，甚至涉及離子掩蔽處理，形式靈活多變，不固定.

3）離子檢驗出現在填空題中，注重考查學生的化學術語表達能力，

因此，在復習備考中應注意以下幾點.

1）緊扣課標和教材內容，固本強基.熟練掌握基本離子（ H⁺"、 OH^-"、 Cl^-"、 Br^-"、 I^-"、 SO₄^2-"、 SO₃^2-"、CO₃^2-"、 SiO₃^2-"、 NH₄⁺"、 Ag⁺"等）的檢驗方法，從本質上理解其原理和適用范圍.

2）鉆研歷年真題，編制類似試題進行有針對性的訓練，幫助學生掌握快速提取題干信息、靈活遷移和應用的技巧，在日常專項訓練中歸納總結其特點，逐步突破新考法.

3）強化化學專用術語的描述能力，規范書面表達.在語言表述上遵循“取樣 $$ 操作 $$ 現象 $$ 結論”的模式進行簡答.

（完）