借助數形結合感知知識的動態呈現

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）指出，新知識的學習，展現“知識背景一知識形成一揭示聯系”的過程；運用數學知識解決問題，適當體現“問題情境一建立模型一求解驗證\"的過程，以利于教師在教學過程中幫助學生有效地理解知識與方法、積累活動經驗、提高“四能”，開展素養導向的教學。初中數學內容以嚴密的符號體系、獨特的公式結構、形象的圖象語言等形式呈現，培養學生對數學知識的感知理解能力。在第十屆《初中生世界》名師精品課堂觀摩與研討活動中，筆者執教示范課“拼正方形理解驗證二次根式的性質”，以問題為中心，鼓勵學生多感官參與學習活動，借助數形結合，讓數學“動”起來，幫助學生理解驗證二次根式的性質，把靜態的知識呈現轉化為動態的探索過程，使知識的發生與發展直觀生動、具體形象。

一、授課內容分析

1.教學目標

通過剪紙、拼圖將小正方形剪拼成大正方形，體會二次根式性質的幾何意義，進一步理解二次根式的性質;經歷探索剪拼的具體操作，獲得成功的體驗，在探究數到式的推廣過程中感受用字母表示數的優越性和必要性；發展創新意識、應用意識與實踐能力，感悟數學的思想方法，逐步養成從數學角度觀察現實問題的能力。

2.教學重點、難點

重點：從圖形直觀中加深對二次根式性質 的理解

難點：通過將兩個不同的正方形剪拼成一個大正方形，進一步驗證二次根式性質 0

二、授課過程呈現

1.借助問題情境，明確研究的對象內容

問題情境：一塊木板（如圖1），每個小正方形的邊長都為1，把它鋸成三塊，拼成一個正方形的桌面，想一想，該怎么鋸與拼。

圖1

【設計意圖】創設貼近學生生活的問題情境，將抽象的數學知識具象化，有助于激發學生的好奇心和求知欲。由于木板的面積是10，不是平方數，如何確定大正方形的邊長是解決問題的根本。借助該情境問題，明確研究的對象內容，為教學活動的開展做好準備。

2.經歷探索發現，實現知識的動態呈現

借助數形結合，指導學生多感官參與數學活動。圍繞問題，學生經歷操作探索、發現規律、驗證猜想、歸納表述等一系列數學學習過程，從多種角度理解二次根式的性質并加以驗證應用，發展了抽象能力、幾何直觀、空間觀念，培養了用數學的眼光觀察現實世界的能力。

操作1：如圖2，將方格紙片（每個小正方形的邊長都為1）中的涂色部分剪開，拼成一個正方形，粘貼在白紙上。

圖2

圖3

【設計意圖】方格紙片中涂色部分的面積為4，拼成的正方形面積就是4。因為4是一個平方數，由此確定拼成的正方形的邊長為2，如圖3所示，從而驗證 2²=4 O

操作2：如圖4，對于這組方格紙片中的涂色部分，分別將它們剪開，再逐一拼成正方形，粘貼在白紙上。

圖4

針對這組紙片，涂色部分的面積均不是平方數。筆者設計操作過程：首先計算正方形的面積，根據面積確定正方形的邊長；其次，利用勾股定理，設計符合條件的基本圖形，構造正方形的邊長；最后進行裁剪拼放（如圖5）。學生在操作過程中，獲得一組等式： ，并結合拼圖加以驗證（如圖5）。

圖5

【設計意圖】學生借助拼圖，利用數形結合，在操作探索、分析判斷的過程中，經歷反思、修正、強化，獲得利用小正方形拼大正方形的一般步驟，發展了數據觀念、模型觀念、計算能力、推理能力，培養了用數學的思維思考現實世界的能力。

3.理解新知建構，體悟數學的思想方法

結合上述操作探索后形成的直觀經驗，觀察獲得一組等式，如果將這組等式中具有特殊意義的具體數字，統一用字母 a 表示，這組等式便轉化成一個具有一般意義的代數式 ，即二次根式的性質。在此基礎上，從一元發展到二元，可以推導出 ，體現了從特殊到一般的數學思想，并且動態呈現了二次根式性質的發生、發展過程。在操作探索的過程中，學生通過對研究對象進行信息收集、整理加工和分析處理，抓住數學的本質，理解新知的建構。

結合板書（如圖6），筆者引導學生分析基本圖形：在剪拼正方形的過程中，每種裁剪需要的基本圖形都有4個直角三角形，其斜邊就是剪拼出來的正方形的邊長。當直角三角形的兩條直角邊的邊長不相等時，還需要一個小正方形，其邊長為直角三角形的兩條直角邊的邊長差。根據分析結果，筆者又引導學生動手操作，探索論證

操作3：如圖7所示的紙片，由邊長為 a 的一個正方形和邊長為 b 的一個正方形組成，其中 agt;b 。你能把它分割剪拼成一個大正方形嗎？如果能，拼成的大正方形的面積和邊長分別是多少？請將拼成的大正方形粘貼在白紙上。

圖7

先計算出剪拼后的正方形面積為 a²+ b² ，根據面積確定剪拼后的正方形邊長為 。利用勾股定理，設計符合條件的直角三角形，其直角邊分別為 Φ_a 與 b ，實現正方形邊長的構造。由于 agt;b ，所以還需要一個小正方形，其邊長為 a-b 。根據分析思路，對紙片進行裁剪，拼出大正方形（如圖8），從而驗證二次根式的性質。

圖8

【設計意圖】該操作可以具象化二次根式的幾何意義，通過幾何直觀支撐代數抽象，將二次根式的性質與圖形變換緊密結合，幫助學生突破“二次根式僅是代數符號”的認知局限，形成“數形統一”的數學觀。同時，在操作過程中，知識的動態呈現促進了學生的思維發展。

4.解決實際問題，感受數學的學科價值

最后，利用探索過程中總結得到的方法，回歸情境問題，應用數學建模剖析問題，進而完成鋸拼（如圖9）。解決情境問題的過程，是幫助學生鞏固知識的過程，也是將數學建模的抽象理論實例化、活潑化的過程

圖9

【設計意圖】通過解決實際問題，幫助學生學會思考、學會學習，發展學生的創新意識、應用意識與實踐能力，培養學生高階思維以及用數學的語言表達現實世界的能力。

三、教學反思

數學學習不僅要學得知識，更為重要的是在學習中獲得數學活動經驗、數學思維品質和數學思想方法等，即發展數學核心素養。通過數形結合感知二次根式性質的動態呈現，課堂教學從“教理解\"轉向“教智慧”；學生從感性認識發展到理性思考，從感知表象發展到概括本質，從學知識發展到學方法，進而提升數學核心素養。

（作者為正高級教師，江蘇省特級教師，“蘇教名家”培養工程培養對象，江蘇省初中數學名師工作室主持人，現為昆山市葛江中學黨總支書記）