初等數論教學中的一些問題與應對策略探討

初等數論作為數學與應用數學、信息與計算科學、計算機科學等相關專業的專業選修課程，既為數學專業的后續課程提供了豐富的實例與理論基礎，也為現代密碼學、信息安全等領域提供了基礎理論工具。具體而言，初等數論中的完全剩余系與既約剩余系等概念為近世代數課程中的環與群等內容建立了直觀的教學模型；同余理論則是RSA加密算法設計的核心理論依據。在中等教育中，數學競賽通過中國剩余定理、費馬小定理等核心結論的創造性應用，有效培養了學生的發散性思維與逆向推理能力，為我國尖端數學人才的選拔提供了重要支撐。此外，作為數學學科的基礎研究方向，初等數論為代數數論中的唯一因子分解問題等進一步研究提供了必要的知識儲備。通過系統學習初等數論課程，學生不僅能掌握整數理論的常見規律，更能培養嚴謹的邏輯推理與抽象能力，這對人工智能與大數據時代的技術人才培養具有重要支撐作用。

一、初等數論教學中的一些問題

該節討論初等數論教學中存在的學生需求多樣化、教學內容和教學方法，以及理論與實踐的聯系三個方面的問題。這些問題在其他數學課程教學中同樣存在，詳見相關研究[-4]。

（一）學生需求多樣化

在當前初等數論教學中，不同專業與不同職業規劃的學生對知識需求存在差異。本課程主要需求可歸納為以下四類：

基礎知識方面。初等數論作為數學與應用數學、計算機科學、信息科學等學科的基礎，是其發展的必要方法論和理論基礎。相關概念與定理是近世/抽象代數、密碼學、編碼理論等后續課程的先修內容，具有重要地位。學生需熟練掌握整除理論、同余理論、高次同余式解法、二次互反律內容與證明等重難點知識，通過優異成績滿足學業要求并證明自身能力。

繼續深造方面。擬從事數論或代數學研究的學生，需系統掌握初等數論知識及數論前沿理論。只有在深入理解同余理論、原根存在性定理等內容后，方能在代數數論、解析數論、密碼學及編碼理論等學科分支繼續深造。

應用能力方面。數學與應用數學、數學教育等專業學生，要求掌握基本知識后能靈活運用理論分析并解決中小學課程問題，例如用同余理論解釋能被3或9整除的整數性質。計算機科學、信息科學等專業學生，則需將數論知識應用于編程實踐，解決現實工程問題。

數學競賽方面。初等數論在中學生數學奧林匹克競賽中占據重要地位，并偶現于考研試題或大學生數學競賽。對此感興趣者需掌握佩爾方程、高次同余式解法等專題，以及構造性證明、反證法應用、無窮遞降法等精妙解題技巧，以破解競賽中的非常規問題。

（二）教學內容和教學方法

當前初等數論課程教學仍以教師講授為主，實踐證明該方式具有一定效果，但從培養學生動手動腦能力的角度觀察，仍存在明顯不足。當前教學內容與方法主要存在以下問題：

教學內容與教學時間不匹配。在相關專業中，初等數論作為專業選修或必修課程，因教學改革導致教學周期壓縮至每周2-3學時。然而課程核心知識點與理論未同步縮減，為完成教學任務，教師被迫加快授課進度。在整除理論、同余方程、二次互反律等關鍵章節中，基礎概念講解與例題分析時間被壓縮，導致學生缺乏素因子分解、歐幾里得算法應用、二次互反律證明思想等關鍵技能的充分練習，造成知識理解不深入。

教學內容與學科應用脫節。針對計算機科學、信息科學等專業，現有教材內容與專業實際需求關聯不足。例如密碼設計需要學生理解費馬-歐拉定理、原根存在性等工具的應用與實現邏輯，但教學仍停留在定理代數推導層面，未深入關聯應用場景。

教學方法不利于激發學習主動性。與多數課程相同，當前教學仍以單向講授為主一一教師演繹定理證明，學生被動記錄推導過程。這種模式雖保證知識體系完整，卻削弱了學生對數論思想與基本思路的探索動力，難以發展構造性證明、批判性思維等能力（如佩爾方程求解所需創新能力），最終導致課堂參與度低下、解題思維僵化等普遍問題。

（三）理論與實踐的聯系

初等數論課程的核心知識點與實際應用聯系薄弱，學生難以感知其現實意義與價值，導致學習動力不足。具體表現為以下三方面：

理論呈現過度抽象化。歐幾里得除法、費馬-歐拉定理、原根存在定理等核心內容在密碼學與算法設計中具有關鍵作用，但教材多以數學定理形式呈現，缺乏實踐場景結合。這種呈現方式雖便于專家理解，卻使初學者難以把握實際價值。例如，同余類的模逆元運算常被簡化為代數練習，未結合RSA密鑰生成過程講解。

教學導向偏離能力培養。與多數數學課程類似，當前教學過度關注定理證明完整性（如二次互反律推導），忽視證明思路提煉與問題解決能力訓練。學生雖能復現歐拉判據、高斯引理等推導步驟，卻無法提煉關鍵邏輯；既缺乏設計基于同余性質的加密方案能力，又難以將費馬小定理、佩爾方程解法遷移至競賽陌生題型。

學科間有效關聯缺失。初等數論在密碼學、計算機科學等領域的應用需依托具體情境呈現。例如，講解歐幾里得算法時若未引入編程求解最大公約數實踐，學生難以理解算法時間復雜度優化必要性；討論素數判定方法時若不結合加密技術對大素數生成的需求，無法激發探究高效檢測算法的興趣。

二、初等數論教學中的問題解決策略

針對初等數論教學中的上述三方面問題，可采取以下三方面策略。需說明的是，作為數學專業課程，其教學問題對策可部分借鑒其他課程類似解決方案，參見文獻[1-4]。

（一）個性化教學

針對初等數論學習者需求的多樣性，可結合專業培養要求、職業規劃等因素，選取符合學生特點的教學內容并制定適配的教學策略，以此激發學習興趣、培養實踐能力，滿足差異化需求。以下為具體策略示例：

因材施教需根據學生專業背景、發展目標及學習能力分層設計。對計算機科學、信息科學等專業學生，可強化數論在算法設計（如歐幾里得算法）、RSA加密算法應用等領域的教學；對數學教育方向學生，可側重費馬小定理的靈活運用、佩爾方程解法等與基礎教育銜接緊密的內容；針對計劃繼續深造的學生，可增加連分數理論、超越數論等進階理論學習，引導其探索深入課題；對基礎薄弱學生，需加強基本定義與重要定理的常規題型訓練，提升學習信心與實踐能力。

情境式教學策略。初等數論在密碼學、編碼理論及數學競賽等領域具有實際應用價值，可通過構建情境化教學場景進行教學。例如，以密碼學中的RSA加密技術為典型案例，結合網絡技術與多媒體資源；選取數學奧林匹克競賽問題求解過程作為情境素材。此類方法可增強學生對數論實用性的認同感，深化抽象理論理解，為進階學習奠定基礎。

（二）多元化教學

為激發學生對初等數論的求知欲與學習興趣，可采用多樣化教學策略，如小組合作教學法、問題/案例導

向教學法等。

小組合作教學法。該教學法通過團隊協作提升學生合作與競爭能力，適用于數論大作業及科研訓練項目。教師可依據學生能力差異分組，引導各小組分工完成數論大作業任務、合適的科研課題或密碼學應用環節。學生在解決共同任務過程中需相互學習、有效溝通并形成組間良性競爭。此方法既能加深知識理解，又能培養溝通協作能力，同時提供科研訓練機會。

問題/案例導向教學法。針對計算機科學專業，可引入編程案例（如RSA加密算法實現、歐幾里得算法求最大公約數）；對計劃深造者，可定制研究問題引導學術探索。該方法促進數論概念與專業挑戰結合，在提升跨學科能力時深化理論認知。

（三）理論與實踐相結合教學

初等數論作為一門實用性很強的課程，廣泛應用于中小學數學教育、基礎數學研究及計算機科學實踐。加強初等數論與其他專業課程及工業實踐的聯系具有可行性。以下列教學策略為例：

數學競賽參與與試題分析。通過分析全國中學生數學聯賽、國際奧林匹克數學競賽等數論類競賽試題的解題思路，或參與大學生數學競賽、信息安全競賽等涉及數論的競賽，學生不僅能掌握更巧妙的數論問題解決方法，理解數論在實際數學問題中的應用場景，還能積累算法設計經驗。

實踐與科研訓練。參與基于初等數論的密碼學、編碼理論算法編程實踐，可促進理論與應用結合。通過互聯網資源或與數論方向專家交流討論，了解數論應用與研究前沿進展，開展適合本科生的研究課題，在實踐中發現和解決問題，有助于提升數論應用能力。

在初等數論教學中融入上述策略時，需同步調整學習效果評估體系。當前以期末考試為主的評估方式與新教學策略匹配度不足，可引入實踐類評估指標，如密碼學或編碼理論相關編程設計、學術論文寫作、競賽問題分析等，全面評估知識掌握水平與創新能力。任課教師需結合形成性評估動態監控學習進度，通過結合形成性評價與期末考試成績，更全面地評估學習效果。

三、結語

通過個性化教學、多元化教學以及理論與實踐相結合教學策略，在完善教學評價體系等教改措施的前提下，理論上來說初等數論課程的教學質量和教學效果可以得到改進甚至提升。學生對初等數論的學習興趣與熱情也可以得到增強，相關理論知識在實踐中也會得到應用。此外，授課教師也完成了從講授者的角色轉變為引導者的角色，學生也從學習者變成了探索者和創新者，這將有效的改進初等數論教學效果，推動初等數論課程的教學改革。

最后，初等數論課程教學改革毋庸置疑也是一項長期而艱巨的任務，需要任課教師不斷探索和實踐。可以預見的是，通過不斷改進和完善，初等數論課程教學改革可以更好地適應時代的發展，更好的服務于學生未來的職業發展。

參考文獻：

[1]教育部關于進一步深化本科教學改革全面提高教學質量的若干意見[J].中國大學教學，2007（03）：9-11.

[2]郭欣，劉元芳.制度建設是提升大學人才培養質量的基石一一學習《教育部關于全面提高高等教育質量的若干意見》[J].江蘇高教，2012（06）：95-97.

[3]吳巖.一流本科一流專業一流人才[].中國大學教學，2017（11）：4-12+17.

[4]韓永杰.高等數學教學中的一些挑戰與對策[].科技風，2024（21）：17-19.

基金項目：

2024 年國家自然科學基金項目，項目名稱：若干q-級數的漸近性及其應用 （項目編號：12301423）

2025年廣西高等教育本科教學改革工程項目，項目名稱：廣西師范大學人工智能背景下的統計學專業課程實踐教學改革探索與實踐（項目編號：2025JGA143）

作者簡介：周年紅（1991.12-），男，漢族，貴州畢節人，博士，講師，研究方向：數論與組合數學。