四維協同：初中方程應用問題的學法指導策略

“應用一元一次方程解決實際問題”作為七年級的教學內容，是初中方程應用問題學習的重要基石，其學習方式與其他方程應用問題的教學方法基本相同。多年的教學實踐與研究顯示，“四維協同”策略在指導初中生利用一元一次方程解決實際問題中取得明顯實效。

一、雙階審題法：破解題意理解障礙的基本方法

理解題意是解決問題的基礎。面對一道方程應用問題，學生自行閱讀，通過雙階審題法準確理解題目的核心要素。

（一）復述重構法。學生通過三次復述，理解題意。初級復述：用口語化語言復述題意。這問題講的故事是說清楚題目的故事線。結構化復述：學生口述“已知…，要求…”，明確“已知條件 $$ 所求問題 $$ 隱含條件”的邏輯鏈條。變式復述：轉換敘述視角，如將“甲比乙快”轉換為“乙比甲慢”。

（二）術語破譯法。教師引導學生通過針對性的方法理解題目中的術語。在銷售問題中，“毛利潤”“打折”“標價”等術語可能較難理解，這時教師可鼓勵學生前往商場進行調查，以便理解這些術語的含義及數量間的關系。針對學生平時較少接觸或從未遇到的數學史料、前沿科技以及航天相關術語，教師應引導學生自主查閱資料或網絡搜索，掃清閱讀障礙。在遇到文言文題目中的術語，如古算題中的雞兔同籠、盈不足等時，鼓勵學生先嘗試自行翻譯，再閱讀譯文，從而提高理解文言文數學內容的能力。

二、五維分析法：構建等量關系模型的多元路徑

（一）基礎關系式建構法。1.理解基本等量關系。基本等量關系是指有固定公式的等量關系，比如，路程 O= 速度 × 時間，總價 O= 單價 x 數量。 ① 能根據基本等量關系解決問題。比如，已知速度和時間，會求路程。 ② 能根據基本等量關系舉例。比如，總價 單價 × 數量，舉例：某種蘋果每斤5元，買6斤需要多少元？ ③ 能在特定情境中靈活運用。如已知路程和時間，會求速度；知道路程和速度，能求時間。2.根據具體情境建立特定的關系式。例如，一棵樹苗當前高度為1米，每個月生長10厘米，經過幾個月后它能達到1.5米？學生根據情境得出等量關系：后來的高度Σ=Σ 當前高度 + 新長的高度。3.將文字語言轉譯為符號語言。如由“甲比乙多1”，得到“甲-乙 =1 ”“乙Σ=Σ 甲-1”“甲 乙 +1 ”。

（二）列表分析法。列表法是分析方程應用問題的重要方法。然而，列表分析能力并非所有學生都不學自通，也并非一朝一夕之功，這需要教師進行細致指導。指導步驟如下： ① 制作表格。依據題目對象和相關數量，設定表格的行列數，例如4列3行。 ② 寫對象和等量關系元素。在表格的第一列的第二至第四行中填寫對象，在第二至第四列的第一行填寫各個相關等量的元素。③ 填寫已知量。在相應的表格欄中填寫已知量。 ④ 填寫未知量。假設其中一個未知量為 x ，然后用含 Ψ_x 的代數式表示其他未知量，并把它們填入表格中。 ⑤ 寫出等量關系式。將已知量和未知量進行關聯，構建等量關系，從而列出方程。

（三）畫圖表征法。1.畫線段圖。例2：A，B兩地相距 200km 。甲車以 60km/h 的速度從A地開往B地，乙車以 90km/h 的速度沿同一路線同時從B地開往A地。問：兩車幾小時后相遇？為了解析兩輛車相遇的數量關系，可以繪制一幅線段圖，具體步驟如下： ① 畫出一條線段，在其兩端分別標注“A地”“B地”，在上方用大括號連接兩端點，注明距離 200km 。 ② 在左側線段端點標記“甲車”，并在“甲車”后面繪制一條指向B地的短箭頭，箭頭上方標注速度 60km/h ，行駛時間xh。用同樣的方法在右側線段端點處標記“乙車”相關信息。③ 在線段中間稍偏左處劃一條豎線，表示兩車相遇的地點。 ④ 在圖的下方列出等量關系式：甲車行駛路程 + 乙車行駛路程 =200 。 ⑤ 列出方程（略）。2.畫示意圖。例3：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？直接畫出雞與兔的真實圖像較為復雜。教師可引導學生使用圖示法，清晰且直觀地展示物體及其數量關系。例如，在O下方添加2條短豎線，代表一只雞；在口下方加4條短豎線，則代表一只兔。畫出2只雞和2只兔的示意圖，并用省略號表示它們的數量。隨后，在圖示中標明具體數量，這樣可幫助學生更好地理解數量之間的關系。3.畫韋恩圖。韋恩圖是一種用于展示元素集合重疊區域的圖表。利用維恩圖能有效地理錯綜復雜的數量關系，使其更加直觀明了。

（四）全域關照法（列出所有等量關系）。分析題目中的所有相關等量關系，能幫助學生更清晰地理清數量的本質，找到建立方程的切入點。例4：在班級秋游活動中，師生共購買了45張門票。學生票的單價為10元，成人票的單價為15元，師生總票款為475元。學生和老師分別有多少人？購買學生票和成人票的票款分別是多少？這道題涉及的相等關系有：票數 x 票價 總票款，學生的票數 + 成人票數 =45 ，學生票款 + 成人票款 Σ=Σ 475，它們為構建方程提供了關鍵依據。可從四個未知量中任選其中一個，將其設為 x ，而其余三個量可通過含有 x 的代數式來表示。接著，根據后面兩個等量關系中的一個，可建立一個方程。

（五）具身認知法（表演或實驗等動作表征）。在解析那些晦澀難懂的等量關系時，運用實驗法或表演法等動作表征能直觀理解題目的等量關系。如例2，要學生領會相遇問題中“甲車行駛時間 乙車行駛時間”，教師可讓學生上臺表演：兩名學生站在課室的兩端，面對面沿著直線行走，教師一聲令下“出發”，兩人同步前行；待他們相遇，教師立即宣布“停”。學生容易發現，從“出發”到“停”，雙方的時間長度是相等的。

三、雙法協同：解題思維訓練方法

分析法和綜合法是兩種基本的思維方式。分析法是從待求結論出發，逐步靠攏已知，每步尋找的是充分條件。綜合法是從已知條件出發，逐步推向未知，每步尋找的是必要條件。也可以把分析法和綜合法配合使用。例如，例5運用綜合法進行解題過程，可以這樣進行：已知總共購買了45張門票，可設學生票數有 x 張，則成人票數為（45-x） 張。根據每張學生票價格是10元，每張成人票價格是15元。

結合前面得出的學生票數x張和成人票數（ 45-x ）張，可算出學生票款和成人票款；最后利用師生總票款為475元可列方程（略）。具體實施時，教師要根據學生實際基礎、習題難易度、年級特點等開展學法指導，所選題目由易入難，學法指導由扶到放，方法使用訓練從專門到日常，指導學生過程從詳細到簡潔。

四、三維支架：個性化學習支持體系構建

（一）自主學習支架：從被動接受到主動建構。1.自主學習提升能力。對于新課，學生可采用“三次學習法”進行自學，即預習、課中學習、課后復習，每一個環節解決一部分問題。在這個過程中，學生不僅讓學習逐步走向深入、能力得到不斷提升，還積累學習的經驗和方法，同時提高自我克服學習困難的信心和勇氣。2.自我評價激勵進步。面對自己的一點點進步，學生主動記錄下來，“我學會了…”“我在…取得了進步”等，以增強自己的學習自信心。同時，當自己取得進步時，學生從同伴和老師所給予的正面評價中獲得前行的力量，成為自我激勵的重要依據。3.小步進階超越自己。面對當前水平，主動向上進階，方法是先解決憑自己努力可以解決的問題，再找更難一點點的題目來解決；或用好教師給的分層題目，先解決基礎題，再做提升題，再做拓展題，小步邁進，不斷進步。對于有一定基礎或能力較強的學生，教師可以通過分層教學，給予他們挑戰性任務，給予他們幫助學習基礎薄弱學生的機會，給予他們展示不同的想法的舞臺，鼓勵他們對習題進行變式或編題…讓他們得到能力提升。

（二）協作學習支架：從個體探索到群體智慧。建立互促共進的學習共同體，能有效彌補學生個人探索能力的不足，同時能在交流共學中實現共同進步。在遇到困難時，鼓勵學生先獨立思考、獨立探究，再進行合作交流，從小組和集體交流中獲益。比如，在解決行程問題時，自己不會畫圖或不能通過畫圖理清題目的數量關系，這時可以在交流中認真閱讀他人的畫圖作品，學會畫圖方法，明晰解題思路。鼓勵學生在學習中善于提出問題、大膽說出困惑，在同伴交流中促進更深層次的思考和合作。鼓勵學生積極尋求幫助，比如請同學幫忙出題考自己，請同學幫助指出解決問題過程中的存在問題，請同學提出學習建議或指點迷津等，從而促進個體能力提升、實現共同發展。

（三）技術賦能支架：從傳統課堂到智慧學習。1.通過數字資源提升能力。在聽課后，學生如果對解題方法和思路還有不明之處，可以觀看國家中小學智慧平臺的教學視頻資源或其他網上的教學資源，從而增進理解，學會解決實際問題的方法。亦可觀看教師或同學錄制的方程應用問題典型例題微課進行自學。2.借助信息化工具促進深度理解。教師借助幾何畫板等動態數學軟件進行演示，幫助學生理解復雜的情境問題及數量關系。比如，追及問題中存在某段時間相等，用動態軟件演示更容易發現這一等量關系。同時，如有條件，教師可借助在線題庫為不同層次的學生智能推送練習題，讓對應練習更好地促進個體進步進階。

【注：本文系廣東省教育研究院教育研究課題（GDJY-2022-M-b95）及清遠市第二十三批（2022年）教育科研立項課題（23-27）“指向關鍵能力的初中方程應用教學改進的實踐研究”階段性研究成果】

責任編輯邱麗