融合APOS與HPM理論：解鎖初中數學概念教學新路徑

1理論基石：APOS與HPM理論解析

1.1 APOS理論深度剖析

APOS理論包含活動、過程、對象、圖式四個階段.活動階段，學生通過具體操作活動，親身體驗數學概念的形成基礎，這一過程讓學生初步接觸概念，為后續理解做鋪墊.過程階段，學生在活動基礎上，對操作步驟和思維過程進行內化，在頭腦中構建概念的形成過程，實現從具體到抽象的過渡.對象階段，學生將概念視為一個獨立對象，對其進行各種運算和推理，加深對概念本質的理解.圖式階段，學生把所學概念與已有知識結構相融合，形成完整的知識體系，實現知識的遷移與運用.四個階段的教學應該有條不紊，逐步深人，不可跨越.也就是說，教學不應該局限于具體的、直觀的階段，而應該通過深入地思考和實踐，將數學概念轉化為抽象的知識.

在數學概念教學中，APOS理論具有獨特價值.它遵循學生的認知規律，從具體活動逐步引導學生深人理解概念，有助于學生更好地掌握抽象的數學概念，提升數學思維能力.

1.2 HPM理論內涵闡釋

HPM理念致力于將數學史與數學教育緊密結合，旨在通過融入數學史來提升數學教育的質量，并促進學生數學核心素養的發展.在數學教學觀念方面，它促使教師轉變教學視角，不再局限于單純的知識傳授，而是將數學知識置于歷史發展的長河中，讓學生了解數學知識的來龍去脈，拓寬教學視野，

對于學科核心素養的落實，HPM理論發揮著重要作用.通過引入數學史，學生能在歷史背景中感受數學家的思維方式和探究精神，培養邏輯推理、數學抽象等核心素養.同時，數學思想文化的滲透也得以實現，學生在學習過程中，領悟數學知識背后蘊含的文化價值，體會數學在人類文明發展中的重要地位，增強對數學學科的認同感和學習興趣，

1.3 兩者融合的邏輯架構

APOS與HPM理論融合具有可行性與必要性.從可行性來看，APOS理論注重學生的認知過程，HPM理論強調數學史的教育價值，二者目標一致，都是為了促進學生更好地理解和掌握數學概念.數學史中的諸多實例和故事，能為APOS理論各階段提供豐富的素材，使學生在歷史情境中完成概念的認知構建.

在必要性方面，兩者相互補充.APOS理論為教學提供了清晰的認知路徑，但缺乏歷史文化的融入.HPM理論雖能豐富教學內容，卻缺少系統的認知指導.融合后，HPM理論的數學史素材可助力APOS理論各階段的實施，如在活動階段創設歷史情境，在過程階段展示概念的歷史演變；APOS理論則為HPM理論的應用提供框架，確保數學史素材的運用符合學生的認知規律，協同促進初中數學概念教學.

2初中數學概念教學現狀審視

2.1 傳統教學模式的困境

傳統初中數學概念教學模式存在諸多亟待解決的問題.一方面，教師往往忽視概念的形成過程，直接將概念灌輸給學生，學生只是機械地記憶，卻不理解概念的本質內涵.例如在講解“函數”概念時，教師可能直接給出函數的定義，讓學生背誦，卻沒有引導學生探究函數概念是如何在實際問題中產生和發展的.

另一方面，學生處于被動學習狀態.課堂上，教師占據主導地位，學生缺乏主動思考和探索的機會.以“一元二次方程”概念教學為例，教師通常直接講解一元二次方程的標準形式、各項系數等內容，學生被動接受，很少有機會參與到概念的構建過程中.

這種教學模式導致學生對數學概念理解不深，難以靈活運用概念解決問題.學生在面對稍有變化的題目時，便會不知所措，無法準確判斷題目所涉及的概念，學習效果不佳.

2.2 學生學習概念的難點

學生在初中數學概念學習過程中面臨著不少困難.抽象概念理解障礙是較為突出的問題之一.初中數學中的一些概念，如“無理數\"“數軸”等，具有較高的抽象性，學生難以將其與實際生活聯系起來，導致理解困難.

概念混淆也是常見的問題.例如，“單項式”與“多項式”，學生容易在判斷一個式子屬于哪種類型時出錯，因為對兩者概念的本質區別把握不準.此外，“平方根”與“算術平方根”的概念，學生也常常混淆，在計算和應用時出現錯誤.

這些難點使得學生在數學學習中遇到阻礙，影響了他們對數學知識的系統性掌握，也打擊了學生學習數學的積極性和自信心.

2.3 融合理論的迫切需求

在“學為中心”的教育理念下，教師應當重視提升學生的自主學習能力和興趣，積極探究優化初中數學概念教學的策略，激發學生的學習興趣，逐步深化學生對概念的理解，讓學生在解決問題的過程中鞏固所學知識，提升數學應用能力.融合后的理論能夠有效解決現有問題.APOS理論的系統認知路徑，可引導學生逐步深人理解概念，彌補傳統教學忽視概念形成過程的缺陷.例如，通過活動階段的具體操作，讓學生親身體驗概念的產生，改變學生被動學習的局面.

HPM理論融人數學史，能將抽象的概念具象化，幫助學生克服理解障礙.以“無理數”概念為例，講述無理數的發現歷史，讓學生了解其產生背景，降低概念的抽象性.同時，數學史中的實例能清晰展示相似概念的差異，避免學生概念混淆.因此，融合這兩種理論是提升初中數學概念教學質量的關鍵.

3融合理論的教學模式構建

基于APOS與HPM理論融合的初中數學概念教學模式，旨在為學生提供一個系統、全面且富有深度的學習路徑，促進學生對數學概念的理解與掌握.該教學模式框架呈現出清晰的階段銜接與遞進關系，具體如下：

在“引入溯源”階段，教師借助HPM理論引入數學史素材，如在“勾股定理”教學中，講述古代中國、古希臘等不同文明對勾股定理的發現與早期研究，同時設計簡單的測量、拼圖等活動（對應APOS活動階段），讓學生初步感受概念.

“探究建構”階段，教師引導學生沿著數學史上數學家的思考路徑，如畢達哥拉斯對直角三角形三邊關系的探究過程，組織學生進行小組討論、自主探究（對應APOS過程階段），深入理解概念本質.

“鞏固拓展”階段，教師給出數學史中的相關問題和案例，讓學生運用概念進行解答（對應APOS對象階段），加深對概念的掌握.

“整合升華”階段，教師引導學生回顧數學史中概念的發展歷程，將其與其他相關概念建立聯系（對應APOS圖式階段），形成知識網絡.

通過這樣的教學模式框架，APOS與HPM理論相互滲透、協同作用，為初中數學概念教學提供有力支持，促進學生數學素養的提升.

4教學實踐案例展示

4.1“相似三角形”教學設計

課程設計以數學核心素養為導向，圍繞“三會四能”目標體系展開深度建構.教學設計打破傳統知識傳授模式，通過“歷史情境活化 $$ 實驗探究建模$$ 跨學科遷移 $$ 認知體系重構”四階進階路徑，將數學眼光、思維與表達的培養貫穿全流程.課程采用雙線融合策略：縱向以數學史為脈絡構建文化認知鏈條，橫向以APOS理論搭建概念發展支架，形成立體化學習網絡.

在課程導入階段，教師創新性設計“古今測高挑戰賽”情境：一方面復現泰勒斯木桿巧測金字塔的歷史場景，引導學生通過日影比例關系推算教學樓高度；另一方面引入無人機航拍測繪技術，借助數字影像分析現代測量原理.通過 AR 增強現實技術，將不同比例的三角板投影疊加于實景建筑，學生在虛實融合的場景中直觀感知相似三角形的縮放特性，完成從生活現象到幾何模型的數學抽象.這種時空對話式的導入設計，既培養學生用數學眼光發現現實問題的敏銳度，又建立數學工具古今演變的認知坐標系.

核心探究環節采用“做數學”的沉浸式學習模式.學生分組操作“幾何實驗箱”，對可變形三角形框架進行角度鎖定與邊長縮放，實時記錄數據并生成動態比例圖表.通過對比全等變換與相似變換的參數差異，自主歸納“角度守恒、邊比協同”的數學規律.教師借助Geogebra軟件演示相似三角形家族譜系，當相似比k值變化時，系統自動生成周長比k、面積比 k² 的立體函數圖像，將抽象性質轉化為可視化的數學關系圖譜.在此過程中，學生經歷“猜想一驗證一論證”的完整思維鏈條，不僅掌握判定定理的邏輯內核，更深度理解相似比作為函數變量的數學本質.

能力遷移階段設置三級實踐任務：基礎層通過規范書寫證明過程強化符號語言表達能力；進階層解析山西應縣木塔的斗拱結構，利用相似三角形原理計算承重體系的力學分布；創新層開展“智慧校園縮微計劃”，運用3D建模軟件將實體建筑轉化為等比數字模型，并通過激光測繪驗證縮放精度.設置跨學科主題研討，如分析達·芬奇《維特魯威人》中的人體比例構圖，探討藝術美學與幾何原理的深度融合.此類真實項目驅動學習，使學生親歷數學工具從紙面演算到工程落地的完整轉化過程.

體系整合部分構建“一縱一橫”認知框架：縱向溯源從《九章算術》勾股測望到當代衛星遙感的技術迭代，梳理相似理論在人類認知體系中的進化軌跡；橫向通過概念拓撲圖聯結相似多邊形、位似變換及分形幾何等知識模塊，揭示比例原理在不同尺度空間的普適性.學生最終以“數學文化策展人”身份創作專題報告，對比解析古希臘幾何學與計算機圖形學的底層邏輯關聯，完成從知識掌握到文化理解的素養躍升.

4.2 設計理念解析

教學設計踐行“四能三會”素養培養機制：在“發現問題”維度，通過歷史難題與現代挑戰的認知沖突激發探究動機；“分析問題”環節依托數字化工具實現抽象關系的具象解構；“解決問題”階段強調數學建模與工程實踐的結合；“創新應用”層面鼓勵學科交叉的創造性轉化.三會素養滲透于各環節AR可視化訓練數學觀察的敏銳性，動態實驗培養嚴謹推理的思維品質，項目匯報錘煉精準表達的學術能力.

技術賦能構建新型學習生態：重塑\"觀察一猜想一驗證一創造”的科學探究范式，通過古今測量技術的對比反思，引導學生洞察數學原理超越時代的永恒價值，在文化傳承中培育創新基因.

評價體系實現教一學－評閉環：采用三維度評估量表，過程性評價關注實驗設計能力，表現性評價側重項目成果創新度，發展性評價追蹤數學思維進階軌跡，確保素養目標的實質性落地.

5結語

融合APOS與HPM理論的初中數學概念教學前景廣闊.未來研究方向可聚焦于如何進一步優化兩者融合的教學模式，深人探索不同數學概念教學中，APOS理論各階段與HPM理論的最佳結合點.在教學創新方面可借助信息技術，創設更具沉浸感的數學史情境，讓學生身臨其境地感受數學概念的發展歷程.還可開展跨學科項自式學習，將數學概念與歷史、物理等學科知識相融合，拓寬學生視野，提升綜合素養.相信隨著不斷探索，這種教學模式將為初中數學概念教學帶來更多活力與創新，

【本文系2024年度合肥市教育科學規劃立項課題“基于APOS一H理念的初中數學概念教學模式實踐研究\"（項目編號：HJG24205）的階段性研究成果】

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