以建立個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)設(shè)計(jì)

1引言

在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生習(xí)得幾何命題后常陷人僵化應(yīng)用的困境，如遇變式問題難辨命題適用條件、綜合問題難有效調(diào)用知識(shí)，究其原因，多為個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)導(dǎo)致.因數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)（推理能力、幾何直觀等）的形成與問題解決緊密相關(guān)，故應(yīng)構(gòu)建個(gè)體CPFS結(jié)構(gòu)為主題的單元教學(xué)，或是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效模式.

2基本結(jié)構(gòu)

CPFS結(jié)構(gòu)理論揭示數(shù)學(xué)認(rèn)知呈層級(jí)化組織，本質(zhì)是認(rèn)知系統(tǒng)中知識(shí)的結(jié)構(gòu)化表征體系，其框架含概念域（概念等價(jià)定義圖式）、概念系（抽象關(guān)系聯(lián)結(jié)的概念網(wǎng)絡(luò)）、命題域（命題等價(jià)形式圖式）、命題系（邏輯推理鏈命題網(wǎng)絡(luò)）四要素，命名源于相關(guān)英文首字母組合.

CPFS導(dǎo)向的單元教學(xué)設(shè)計(jì)以某概念或命題為中心，探究其等價(jià)形式或關(guān)聯(lián)概念、命題以解決一類問題，突破教材單元限制重組知識(shí)模塊，助力學(xué)生構(gòu)建網(wǎng)狀認(rèn)知結(jié)構(gòu).教學(xué)過程為：（1）教師引導(dǎo)梳理核心內(nèi)容等價(jià)形式及關(guān)聯(lián)知識(shí)，填結(jié)構(gòu)表；（2）呈現(xiàn)相關(guān)問題組；（3）師生共解；（4）引導(dǎo)反思增補(bǔ)結(jié)構(gòu)表，推動(dòng)認(rèn)知向結(jié)構(gòu)化理解躍遷.

3教學(xué)案例

3.1 梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)表

梳理與證明角相等的定理，如表1所示為平面

幾何范圍內(nèi)與角相等的部分命題.

表1

3.2 建立概念圖

將表1中的17個(gè)命題進(jìn)行分類，建立概念圖，如圖1所示為“角相等”概念圖.

圖1

3.3 題組訓(xùn)練

問題1 如圖2所示，在四邊形ABCD中， ∠A+ ∠C=180^°，AD=CD，BCgt;BA ，求證： BD 平分 ∠ABC

問題2在等腰直角 ΔABC 中， ∠C=90^° ，AM是 BC 邊上的中線， CN⊥AM 交 AB 于 N ，求證：∠NMB=∠CMA

問題3如圖3所示，在平行四邊形ABCD中，AC⊥AD ，過點(diǎn) A 作 AE⊥BD ，垂足為 E ，再過點(diǎn)c 作 CF⊥CD 交直線 AE 于點(diǎn) F ，連接 CE ，求證：∠ACE=∠F ：

圖2

圖3

問題4如圖4所示，四邊形ABCD是平行四邊形，連接 AC，BD 交于點(diǎn) _O，DE 平分 ∠ADB 交AC 于點(diǎn) E，BF 平分 ∠CBD 交 AC 于點(diǎn) F ，連接 BE 、DF .求證： ∠1=∠2

問題5 如圖5所示，在平行四邊形 ABCD 中，

ADgt;AB ，過點(diǎn) A，B，D 作圓，取圓上一點(diǎn) E ，連接CE 交圓于點(diǎn) F ，連接 ED，EB，EA ，使 ∠CED= ∠BEA ，連接 FD .求證： ∠ECD=∠EAD

圖4

圖5

3.4 問題探究

問題1的解法

分析1要證明 BD 平分 ∠ABC ，即證明BD是 ∠ABC 的角平分線，那么可以利用角平分線的判定定理，即過點(diǎn) D 向角兩邊作垂線段，如圖6所示，得到 ΔDEC 和 ΔDFA ，證明兩個(gè)三角形全等后可得兩條垂線段相等，即可證明BD平分 ∠ABC

證明過點(diǎn) D 向射線 BC 、射線 BA 作垂線，垂足分別為 E，F(xiàn) .由題意得， ∠DEC=∠DFA=90^°，DA= I ∠DAB+∠C=180^° ∠DAB+∠DAF=180^° ，所以 ∠C=∠DAF ，可得 ΔDEC?ΔDFA ，故 DE= DF ，因此 BD 平分 ∠ABC

分析2要證 ∠ABD=∠DBC ，首先考慮這兩個(gè)角分別在哪兩個(gè)三角形中，因?yàn)?∠ABD 是ΔABD 的一個(gè)角， ∠DBC 是 ΔDBC 的一個(gè)角，這兩個(gè)三角形中 DA=DC . ∠A+∠C=180^° ，因此可以 DC 為一邊構(gòu)造三角形全等于 ΔDAB ，如圖7所示，從而依據(jù)等邊對(duì)等角得出結(jié)論.

圖6

圖7

證明 延長(zhǎng)BC至點(diǎn) E ，使得 CE=BA ，連接DE .因?yàn)?∠A+∠DCB=180^° ∠DCB+∠DCE= 180^° ，所以 ∠A=∠DCE ，又因?yàn)?DA=DC，AB=

CE ，故 ΔABD?ΔCED ，即 ∠E=∠ABD DE= DB ，所以 ∠E=∠DBC ，從而 ∠ABD=∠DBC ，得證.

分析3四邊形 ABCD 中， ∠A+∠C=180^° 因此 A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，如圖8所示，利用圓周角定理即可證得.

證明 由于四邊形ABCD中， ∠A+∠C= 180^° ，因此 A，B，C，D 四點(diǎn)共圓，因?yàn)?DA=DC ，所以弧 AD= 弧 DC ，因此， ∠ABD=∠CBD

圖8

問題2的解法

分析 根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形，如圖9所示，要證 ∠NMB=∠CMA ，其中 ∠NMB 在ΔNMB 中， ∠B=45^°，∠CMA 在 ΔCMA 中，∠ACM=90^° .這兩個(gè)三角形顯然不全等，但因?yàn)?5^° 是 90^° 的一半， CM=MB ，因此可以構(gòu)造全等三角形，只需作 ∠ACB 的角平分線即可.如圖10所示，此時(shí)證明全等還缺少一個(gè)條件，要么證明 CD= BN ，要么再證一對(duì)角相等，結(jié)合題干中的 CN⊥ AM ，可得 ∠CAD=∠BCN ，易證 ΔCAD? ΔBCN ，即 CD=BN ，從而即可證得 ΔCMD? ΔBMN ，即 ∠NMB=∠CMA

證明作 ∠ACB 的角平分線交 AM 于點(diǎn) D .因?yàn)?ΔABC 為等腰直角三角形， ∠ACB=90^° ，所以∠B=45^° .由于 CD 平分 ∠ACB ，所以 ∠ACD= ∠MCD=∠B=45^° .因?yàn)?CN⊥AM ，則 ∠BCN+ ∠ACN=90^°，∠CAD+∠ACN=90^° ，所以 ∠BCN= ∠CAD ，又因?yàn)?AC=BC ，故 ΔACD?ΔCBN ，即CD=BN ，由 CM=BM ，得到 ΔCMD?ΔBMN 即 ∠NMB=∠CMA

圖9

圖10

圖11

問題3的解法

分析要證 ∠ACE=∠F ，如圖11所示，取DC 與 AF 交于點(diǎn) G ，觀察到 ΔDEG 和 ΔFCG 構(gòu)成“8字”，得到 ∠F=∠EDC ，所以要證 ∠ACE= ∠EDC ，觀察這兩個(gè)角所在的三角形，取 AC 與 BE 的交點(diǎn)為 H ，可得 ΔCEH 和 ΔDCH 可能存在相似.這兩個(gè)三角形有一個(gè)公共角，要證它們相似，要么再找一對(duì)相等的角，要么證公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例.考慮到 DA⊥AC，AE⊥DH，ΔAEH 和ΔDAH 存在母子相似，從而得到邊的關(guān)系.又因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)角線互相平分，即可證得 ΔCEH～ΔDCH.

證明取 DC 與 AF 交于點(diǎn) G，AC 與 BE 交于點(diǎn) H .因?yàn)?AE⊥BD，CF⊥CD，∠DGE=∠FGC 所以 ∠F=∠EDC .由于 AC⊥AD，AE⊥BD ，易得 ΔAEH～ΔDAH ，故 AH²=EH?DH ，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 AH=CH ，即CH²=EH?DH ， 又由于 ∠CHE= 中∠DHC ，可得 ΔCEH～ΔDCH ，所以 ∠ACE= ∠EDC ，所以 ∠ACE=∠F

問題4的解法

分析 如圖4所示， ∠1 和 ∠2 是內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系，要證明它們相等，就要證明 BE//DF ，也就是要證明四邊形BFDE是平行四邊形，這時(shí)候只能從DE和 BF 入手，證明它們平行且相等.證明DE/BF ，可通過內(nèi)錯(cuò)角相等證得，證明 DE=BF ，可通過證明 ΔDOE?ΔBOF 或者 ΔADE?ΔCBF 得到.

證明 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以∠ADO=∠CBO，OD=OB. 由于 DE 平分 ∠ADB .BF平分 ∠CBD ，故 =∠OBF ，因此 DE//BF .又因?yàn)?∠DOE=∠BOF ∠ODE=∠OBF，OD=OB ，得到 ΔDOE?ΔBOF 即 DE=BF ，因此四邊形BFDE是平行四邊形，所以BE//DF ，故 ∠1=∠2

問題5的解法

分析該問題基于圓的背景，因此需要考慮到圓中與角相關(guān)的定理，包括圓周角定理、圓的四等定理等. ∠CED 和 ∠BEA 都是圓周角，那么弧 AB= 弧 DF ，即弦 AB= 弦 DF .考慮到四邊形ABCD是平行四邊形，所以 CD=AB ，故 CD=DF ，等邊對(duì)等角， ∠ECD=∠DFC. 由于 ∠DFC 和 ∠DFE 互補(bǔ)，再依據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得到 ∠DFE 和∠EAD 互補(bǔ)，因此 ∠DFC=∠EAD ，最終證得∠ECD=∠EAD

證明因?yàn)?∠CED=∠BEA ，所以弧 AB= 弧DF ，即 AB=DF .因?yàn)樗倪呅?ABCD 是平行四邊形，所以 AB=CD ，故 CD=DF ，所以 ∠ECD= ∠DFC 又因?yàn)?∠DFC+∠DFE=180^°，∠ ∠DFE+ ∠EAD=180^° ，所以 ∠DFC=∠EAD ，得到 ∠ECD =∠EAD ：

3.5 總結(jié)反思

學(xué)生在上述問題中遇到的挑戰(zhàn)，主要源于兩個(gè)維度的能力缺失：一是知識(shí)體系建構(gòu)維度，表現(xiàn)為離散的命題尚未形成有機(jī)聯(lián)結(jié)的網(wǎng)絡(luò)，盡管學(xué)生具備相關(guān)的命題儲(chǔ)備，但這些命題仍處于孤立狀態(tài)，缺乏整合，因此學(xué)生無(wú)法在問題情境中實(shí)現(xiàn)有效調(diào)用.二是方法論維度，突出反映在策略調(diào)適能力的不足.有的學(xué)生過度依賴單一方法，不能根據(jù)問題特征靈活調(diào)整解決方法.一旦面對(duì)復(fù)雜情境，便會(huì)由于方法論層面的適應(yīng)性欠缺而陷入困境.

3.5.1 建立完整的定理體系

證明兩個(gè)角相等的基本思想方法為四類：（1）若兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中，優(yōu)先考慮證明該三角形為等腰三角形；（2）若兩個(gè)角不在同一個(gè)三角形中，則主要考慮證明全等或相似，特殊情況下考慮使用角平分線定理；（3）轉(zhuǎn)化思想或稱為等量代換，也就是利用第三個(gè)角進(jìn)行證明.這一方法需要考慮問題的背景，若問題基于圓，那么應(yīng)該考慮圓中與角相等有關(guān)的定理；（4）數(shù)形結(jié)合思想.有些幾何問題可以通過引入未知數(shù)建立代數(shù)式或方程來證明角相等.

3.5.2 拓寬方法的選擇路徑

綜合的幾何問題并不是只用單一的方法.可能會(huì)需要同一方法多次使用，如問題2使用了兩次全等方法.也可能會(huì)需要聯(lián)合使用不同的方法，例如問題3使用了等量代換和相似兩種方法.

4結(jié)語(yǔ)

教學(xué)中，問題設(shè)計(jì)要貫徹綜合性原則，跨越教材單元邊界整合有內(nèi)在關(guān)聯(lián)命題，涵蓋多元方法路徑，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知躍遷.教學(xué)時(shí)以學(xué)生為主體激發(fā)主動(dòng)思考，在其認(rèn)知建構(gòu)初始和問題解決中，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)斷裂點(diǎn)并完善.同時(shí)，教學(xué)設(shè)計(jì)要培養(yǎng)學(xué)生元認(rèn)知能力，通過階段性反饋強(qiáng)化其思維監(jiān)控，指導(dǎo)反思修補(bǔ)知識(shí)薄弱點(diǎn)，讓學(xué)生從模仿技巧到把握本質(zhì)規(guī)律.

參考文獻(xiàn)：

[1]喻平，單博.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2003（1）：12—16.

[2喻平.數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式J」數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（5）：1-8+15.