一道物理實驗題引發的爭議與思考

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1003-6148(2025)8-0075-3

1 原題呈現

原題某實驗興趣小組設計了如圖1所示的實驗電路來測量電源的電動勢和內阻。

圖1原題電路圖

在滑動變阻器滑片從左向右緩慢滑動的過程中，測得若干組 U，I 值，從測得的第一組數據開始，若依次選用兩組連續的 U，I 值計算電源電動勢和內阻，則測得電動勢和內阻的測量誤差（選填“越來越大\"“越來越小\"或“保持不變\")。

參考答案解析由電路圖可知，該實驗設計方案的誤差來自電壓表的分流作用，在滑動變阻器的滑片從左向右緩慢滑動的過程中，滑動變阻器接入電路的阻值越來越小，其所在支路的電流越來越大，電壓表示數 U 越來越小，則電壓表上的電流 I 越來越小，電壓表的分流比例越來越小，所以電流表的示數 I 越來越接近真實的干路電流值，而電壓表示數 U 就是路端電壓，則根據相鄰兩組 U，I 的值測得的電動勢與內阻值誤差越來越小。

2 爭議分歧

這道題的答案引發了爭議：絕大多數老師支持答案的說法，認為測量誤差越來越小；也有老師認為答案不對，他們通過理論分析結合數學函數知識，認為正確結論應該是測量誤差保持不變。大家各執一詞，爭執不下。接下來，從理論分析和仿真實驗兩種思路展開探討。

3 理論分析

首先我們明確，這道題出題者的意圖應該是只考慮系統誤差，而不考慮偶然誤差（若考慮偶然誤差則一切皆有可能…)。根據題意，當滑動變阻器的滑片從左向右緩慢滑動的過程中，實驗者可以得到多組 (U，I) 值，如表1所示。

表1電壓表與電流表示數記錄表

考慮到實際情況中電壓表和電流表是有內阻的，不妨假設電壓表內阻為 R_V ，電流表內阻為R_A ，根據閉合電路歐姆定律，電壓表示數 U 與電流表示數 I 之間一定滿足 ，經過簡單變形可得 E，其中Rv、r、E 均為定值。由數學函數知識可知 U 與 I 滿足一次函數關系，則在移動滑動變阻器滑片的過程中，每一次電壓表與電流表的測量值 (U₁，I₁) ·這些點一定在同一條確定直線上(圖2)，而這條直線的解析式就是

圖2U-I圖像

根據題干的要求“若依次選用兩組連續的U，I 值計算電源電動勢和內阻”，不妨假設實驗者先利用 (U₁，I₁)(U₂，I₂) 這兩組數據進行計算，將兩組數據代入實驗所用公式 U=E^′-Ir^′ ，其中 E^′ 和 r^′ 分別為電動勢與內阻的測量值，即得到了方程組 按照題目的意思“計算電源電動勢和內阻”，即解這個二元一次方程組，經過消元可以得到r=U-U 而從圖像上來看，這個表達式的幾何意義正是圖2中直線斜率的絕對值。同理，實驗者再利用接下來的兩組數據(U₃，I₃)(U₄，I₄) 計算內阻得出的結果 然可以表示為圖2中直線斜率的絕對值，因此兩次內阻的測量值是保持不變的，測量值與真實值之間的差值(即測量誤差)也保持不變，以此類推，我們可以得出結論：無論滑動變阻器的滑片怎樣滑動，內阻的測量誤差始終保持不變。根據這個思路，每一次根據方程組計算所得電動勢的值均為圖2中直線的縱截距，因此電動勢的測量誤差也保持不變。

4 仿真實驗

通過實驗仿真軟件“中學電路虛擬實驗室”進行模擬實驗。設定電源由兩節干電池組成，電動勢為3V，內阻為 5Ω 。電流表選取0~0.6A量程，內阻為 0.5Ω ；電壓表選取 0～3V 量程，內阻為 2kΩ 。滑動變阻器的最大阻值為 20Ω ，額定電流為 2A 。連接電路如圖3所示。

圖3仿真實驗電路圖

實驗開始前，將滑動變阻器調到接入電路阻值最大，即觸點位置 0% 。點擊閉合開關，調節滑動變阻器觸點位置，可以發現電壓表和電流表指針均發生了偏轉。每隔滑動變阻器觸點位置的5% 記錄下此時電壓表示數 U 與電流表示數1，數據填寫在表2中。

依次將相鄰的兩組數據代入公式 U=E-Ir 中，利用方程組計算出電源的電動勢與內阻，并記錄在表3和表4中。

表2實驗中電壓表與電流表示數

表3內阻測量值

表4電動勢測量值

本實驗選取的電源電動勢為3V，內阻為5 Ω 可以根據表3和表4中的數據計算出每一次測量電動勢與內阻的測量誤差，記錄在表5中。

表5電動勢與內阻的測量誤差

通過表格中的數據可以發現，電動勢與內阻的測量值均小于真實值，這與考慮系統誤差得到的結果是吻合的（電流表相對于電源外接，電動勢與內阻測量值偏小）。但結合表5我們可以發現，無論是電動勢還是內阻，其測量值與真實值的差值并沒有體現出一直減小的趨勢。因此，可以確定參考答案是錯的。但也可以看出，測量誤差并不是定值，這與我們前面理論分析的結果矛盾嗎？其實是不矛盾的。本實驗中電壓表的內阻為 2kΩ ，遠大于電源的內阻 5Ω ，因此本實驗的誤差本身就非常小，再加上讀數時為保留5位有效數字，會對電表的讀數進行四舍五入處理，這樣一來，偶然誤差就是不可避免的，所以最后計算得到每組的測量誤差就不可能一模一樣。計算機仿真亦是如此，如果用真正的電壓表與電流表在實驗室中進行實驗，讀數帶來的偶然誤差就更大了。

5 糾正錯誤

那么，看似“無懈可擊”的參考答案，究竟錯在哪里呢？實際上，這種解釋只看到表象，沒有深入思考。究其本質，題目要求是要通過“兩組數據\"來“計算”出電動勢與內阻的值，而“計算”的過程就是聯立兩個方程進而解方程組的過程。從數學的角度來看，解二元一次方程組，就是求一條確定直線的斜率與縱截距的過程。所以，按照題目要求“取兩組數據計算電動勢與內阻”，正確的思路就是列方程組來求解，這樣一來根據上述分析電動勢與內阻的測量誤差就都保持不變了。

6 總結反思

經過理論分析和仿真實驗我們可以得出以下幾點結論：該題目所給的參考答案“測量誤差越來越小\"是錯誤的，其解析思路本身也是錯的；如果只考慮系統誤差，而不考慮讀數帶來的偶然誤差，那么正確答案應該是電動勢與內阻的測量誤差均不變，這也應該是出題者的本意。只考慮系統誤差的情況只是理論存在，實際并不可能。因為只要涉及電表讀數，無論多么精密，也一定會存在讀數上的偶然誤差，那么這個題目的答案應該就是無法確定了。

（欄目編輯 蔣小平)