調和Bergman 空間上小Hankel算子的乘積

中圖分類號：0174 文獻標識碼：A 文章編號：1673-260X（2025）08-0015-05

設 D 是復平面上的單位圓盤， T 是單位圓周，H²（T） 表示Hardy空間。在經典的Hardy空間 H²（T） 上，Brown等[證明了Toeplitz 算子 T_f 有界當且僅當其符號函數 f 是有界的， T_f 是緊的當且僅當它是零算子，并且證明了 T_f 與 T_g 的乘積仍是一個Toeplitz算子當且僅當 f 是共軛解析的或者 g 是解析的。兩個以有界函數為符號的Toeplitz算子是可交換的當且僅當兩個符號函數都是解析的，或者兩個符號函數都是共軛解析的，或者兩個符號函數的一個非平凡的線性組合是常數。以上這些非常漂亮的結論將復分析理論與算子理論恰如其分地聯系在一起，開啟了算子理論研究中的分析方法，刺激人們開始研究Hardy空間及其他函數空間上的算子理論和算子代數。很多 H²（T） 上的關于Toeplitz算子的結果已經被推至多圓盤Hardy空間 H²（Tⁿ） 和單位球Hardy空間 H²（B_n） 上。

作為Hardy空間及其Toeplitz算子的孿生姊妹，Bergman空間及其Toeplitz算子無論從理論還是實際應用都受到學者們的關注。但學者們發現，Bergman空間及其Toeplitz算子比Hardy空間及其Toeplitz算子復雜得多。比如，Bergman空間沒有類似于Hardy空間的Blasche乘積和內外因子分解；Bergman空間上的 Toeplitz算子沒有類似于Hardy空間上Toeplitz算子那樣的完美矩陣表示，使得對其研究不能依賴代數方法，更需要函數論工具；Hardy空間上有界Toeplitz算子的符號函數一定是本性有界函數，但Bergman空間上存在大量有界Toeplitz算子其符號函數是無界函數。這些差異極大提升了學者們對Bergman空間上Toeplitz算子的研究興趣。同時，因為Toeplitz算子理論的中心問題是用Toeplitz算子的符號函數性質去刻畫算子的性質，這建立了算子理論和函數論的天然聯系，使得函數論和復分析的問題與算子理論的問題相互推動和促進。這使得Bergman空間及其Toeplitz算子成為泛函分析領域的研究熱點之一。關于Bergman空間上的Toeplitz算子已經形成一套相對豐富的理論，但仍有很多重要的問題沒有得到徹底解決。

調和Bergman空間是比Bergman空間更廣泛、結構更復雜的函數空間。但由于調和Bergman空間自身不是個代數，使得對此空間上Toeplitz算子的研究變得困難，雖然直至目前關于調和Bergman空間上的Toeplitz算子有了一些研究結果，但很多已有結論表明這類算子與Bergman空間上Toeplitz算子有很大區別和差異。如：Choe等在 L_h²（D） 中刻畫了符號為調和函數且其中一個為多項式的兩個

Toeplitz算子的交換性。特別地，文中證明了只有符號函數線性相關的兩個解析Toeplitz算子才是交換的，但在Bergman空間上兩個解析Toeplitz算子本身就是交換的。

設 是Lebesgue 面積測度。 L²（D，dA） 是 D 上平方可積函數全體所成集合按內積：

構成的Hilbert空間。經典的Bergman空間 L_a²（D） 是L²（D，dA） 中解析函數全體構成的函數空間，是 L²（D， dA ）的閉子空間其再生核為：

調和Bergman空間 L_h²（D） 是 L² 中調和函數全體所成的空間，且有如下關系：

顯然， _h² 也是再生Hilbert空間，再生核記為 R_z（w） 且

設 U：L²?L² 為 ，顯然 U 是酉算子。同時令 Q 是 L² 到 L_h² 上的正交投影，則有：

Qf（z）=f，R_z，?f∈L²

在 L_h² 上定義小 Hankel算子 為：

按此定義的小Hankel算子與Toeplitz算子相近。

對于算子的零乘積問題的研究有很長的歷史。在 Hardy 空間中首先是 Brown 等給出了若 T_fT_g=0 那么 f=0 或 g=0 的經典結論。那么一個自然的問題就是在Hardy 空間中如果 T_φ1T_φ2…T_φs=0 是否可以推出一定存在一個 i∈{1，2，…，n} 使得 φ_i=0 。針對這一公開問題，K.Y.Guo證明了若 T_φ1T_φ2…T_φs=0 那么一定存在 i∈{1，2，…，n} 使得 φ_i=0 。進一步在C.GU[4]中得到了如果 T_φ1T_φ2…T_φsT_φδ=0 則一定存在 i∈{1，2 …_n} 使得 φ_i=0 這一結論。A.Aleman 等在Hardy空間中徹底解決了更一般的情形，即若 T_φ1T_φ2…T_φn =0 那么至少存在一個 i 使得 φ_i=0 在Bergman空間中，P.Ahern等首先針對調和函數為符號的兩個Toeplitz算子給出了與Brown和Halmos類似的結論。進一步的，P.Ahern給出了如果 f 是任意有界函數 g 是徑向函數且 T_fT_g=0 ，那么 f=0 或 g=0 這樣更一般的結論。在單位球Bergman空間上，P.R.Choe等在假設符號函數在邊界開子集上連續的情況下得到與Aleman等類似的結論，同時在假設符號函數調和且可Lipschitz連續擴展至整個邊界的情況下，解決了幾個Toeplitz算子的零乘積問題。類似的結論被推至多圓盤的Bergman空間上]X.T.Dong等[在單位球的Bergman空間上刻畫了一個符號函數是分別擬齊次另一個符號函數是任意擬齊次的兩個Toeplitz算子的零乘積問題。在Z.H.Zhou中進一步刻畫了徑向函數為符合的多個Toeplitz算子的零乘積問題。

隨著研究的不斷深人，Bergman空間上算子零乘積問題的研究被推廣至有限秩乘積問題。ZCuckovic等刻畫了以擬齊次函數為符號的多個Toeplitz算子的有限秩乘積問題。P.R.Choe等[討論了調和函數為符號的Toeplitz算子的有限秩乘積。T.Le[4]則在單位球的加權Bergman空間上討論了多個Toeplitz算子的有限秩乘積。JingyuYang等[5]則在復雜的調和Bergman空間討論了擬齊次函數為符號的多個Toeplitz算子的有限秩乘積問題。

小Hankel算子是一類與Toeplitz算子相似的算子，在函數空間算子理論研究的過程中得到了學者們的廣泛關注，同時積累了一定的研究成果[16-20]。

本文是在已有調和Bergman空間相關研究的基礎上，進一步關注調和Bergman空間上擬齊次函數為符號的小Hankel算子的有限秩乘積問題，所得結論是對調和Bergman函數空間算子理論的豐富。

1預備知識

定義1設 φ∈L¹（[0，1]，rdr） ，那么 φ 的Mellin變換定義為：

定理 1^[21] 設 f 在 {z：Rez≥0} 上有界解析，在互不相同的點 z₁，z₂， …上取值為零，若 z₁，z₂， …滿足

iinf_n≥1{|z_n|}gt;0，

那么 f 在 {z：Rez≥0} 上恒等于零。

如果 φ∈L¹（[0，1]，rdr），（n_k）_k?0?N， 且滿足 ，那么 在 {z：Rez≥0} 上恒等于零，進而 φ=0 。

引理2設 p≥0，φ 是有界徑向函數，則有

證明：由小Hankel算子的定義可以直接計算得。

2小Hankel算子的有限秩問題

本部分主要在調和Bergman空間上討論擬齊次函數為符號的小Hankel算子的有限秩乘積問題

定理2設 p₁，p₂，…，p_m∈Z⁺，φ₁，φ₂，…，φ_m 是有界徑向函數，若 在 L_h² 上的秩有限，那么至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0

證明：令 S=h_e^（p*θφmh_{e^（p*θ）φm-1}…h_e^（p*θφ1 ，若 s 在 L_h² 上的秩有限，那么有集合 {S（z^k）：k≥0} 和 {S（z^-k）：kgt;0} 的秩都是有限的。

對于 S（z^k），S（z^-k） 根據定義直接計算得：

當 m 是奇數時，

當 ?_m 是偶數時，

由 {S（z^k）：k?0} 的秩有限可推知：

（1）當 m 是奇數時，一定存在 使得

S（z^k）=0，?k?n₀

等式（1）等價于

令 l=min ，則 （2）式可變型為

由于 {2k+l+2}_k≥n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 0

（2）當 ?_m 是偶數時，與上述論證過程類似由S（z^k）=0 ?k?n_0° 可證得至少存在一個 i∈{1，2，… m} 使得 φ_i=0 。

另一方面由 {S（z^-k）：kgt;0} 的秩是有限的可推知：

（1）當 m 是奇數時，一定存在 使得

S（z^?）=0，?k?n₀

等式（3）等價于

（4） 令 l=max{p，2p₁-p₂，…，2p₁-2p₂+…-2p_m-1+p_m} ，則

（4）式可變型為：

由于 {2k-l+2}_k≥n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 。

（2）當 m 是偶數時，與上述論證過程類似由S（z^-k）=0 ?k?n_0° 可證得至少存在一個 i∈{1，2，… m} 使得 φ_i=0 。證畢。

定理3設 p₁，p₂，…，p_m∈Z⁺，φ₁，φ₂，…，φ_m 是有界徑向函數，若 h_e^ψφh_{e^-ψφ-1θφm-1}…h_e^ψφθh_e^-φ1θφ1 在 L_h² 上的秩有限，那么至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 。

證明：令 S=h_e^φ∞θφmh_{e^-ipa-1θφm-1}…h_e^ip2θφ2h_e^-ip1θφ1 ，根據定義有：

當 ?_m 是偶數時，

當 m 是奇數時，

與定理2討論方法類似，由 {S（z^k）：k?0} 的秩是有限的推知一定存在 使得：

S（z^k）=0，?k?n₀

此時無論 m 是奇數還是偶數（5）式都等價于

+^....2p_m-1-p_m+2）=0，?k?n₀

令 l=max{p₁，2p₁+p₂，…，2p₁+2p₂+…+2p_m-1+p_m} 那么（6）式可變形為：

由于 {2k-l+2}_k?n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 ，類似地，由{S（z^-k）：k?0} 的秩有限有一定存在 使得：

S（z^-k）=0，?k?n₀

此等式等價于：

+…+2p_m-1+p_m+2）=0，?k≥n₀

從而令 l=max{p₁，2p₁+p₂，…，2p₁+2p₂+…+2p_m-1+p_m} ，則（8）式等價于：

由于 {2k+l+2}_k?n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 ，證畢。

定理4設 p₁，p₂，…，p_m∈Z⁺，φ₁，φ₂，…，φ_m 是有界徑向函數，若 h_e^-ψ*θφmh_{e^-ψm+1θφm-1}???h_e^-ψ*θφ1 在 L_h² 上的秩有限，那么至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0

證明：令 S=h_e^-ψ∞θh_e^-ψ∞θ…h_e^-ψ1θφ1 ，當 ?_m 是偶數時，根據定義直接計算得

當 m 是奇數時，有

進一步的，當 m 是偶數時，由 {S（z^k）：k?0} 的秩是有限的有一定存在 使得：

S（z^k）=0，?k?n₀

即：

+amp;…2p_m-1+p_m+2）=0，?k?n₀

令 l=max{p₁，2p₁-p₂，…，2p₁-2p₂+…-2p_m-1+p_m} ，（10）式可變形為：

由于 {2k-l+2}_k≥n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 。

由 {S（z^?）：k?0} 的秩是有限的推出，一定存在 使得：

S（z^-k）=0，?k?n₀

即：

+…+2p_m-1-p_m+2）=0，?k?n_0°

與定理1證明一樣，令 l=min{p₁，2p₁-p₂，…，2p₁- 2p₂+…-2p_m-1+p_m} ，則（11）式等價于：

由于 {2k+l+2}_k≥n0 是幾何列，所以由定理1推知至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0

同理當 m 是奇數時，也可由 s 在 L_h² 上的秩有限推得至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 ，證畢。

3結語

本文主要運用了徑向函數的Mellin變換這一有力工具，在調和 Bergman空間L2上討論hmh_e^ψωθ…h_e^ψφ1，h_e^ψωθh_e^-ψωθh_{e^-ψω-1θφn-1}…h_e^ψθθφ2h_e^ψθθφ1，h_e^-ψωθφnh_{e^-ψωθφn-1} …h_e^-?1θ 三種類型的有限秩乘積問題，得到了與Aleman等結論類似的相對漂亮的結果，即若上述三類乘積算子的調和Bergman空間 L_h² 上是有限秩的，那么至少存在一個 i∈{1，2，…，m} 使得 φ_i=0 。本文得到的這些結論豐富了調和Bergman空間的算子理論，是非常有意義的工作。

參考文獻：

[1]A. Brown， P. R. Halmos. Algebraic properties of Toeplitz operators U]. J. Rein Angew. Math. 1963/1964，213：89-102.

[2]Choe B R， Lee Y J. Commuting Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[J]. Michigan Math.J. 1999，46：163-174.

[3]K.Y.Guo. A problem on product of Toeplitz operators[]. Proc. Amer.Math. Soc.1996，124：869- 871.

[4]C. Gu. Products of several Toeplitz operators[]. J Funct.Anal. 20007：483-527.

[5]A.Aleman， D. Vokotiacutec， Zero products of Toeplitz operators[J]. Duke Math. 2009，148：373- 403.

[6]P.Ahern，Z.Cuckovic.A. Theorem ofBrownHalmostypefor Bergman space Teoplitz operators[J]. J Funct Anal， 2001，187：200-210.

[7]P.Ahern， Z. Cuckovic. Some examples related to Brown-Halmos theorem for the Bergman space U]. Acta Sci Math， 2004，70：373-378.

[8]P.R. Choe， H. Koo. Zero-products of Toeplitz operators with harmonic symbolsU]. J Funct Anal， 2006，233：307-334.

[9]P.R.Choe，H. Koo，Y. J.Lee. Zero-products of Toeplitz operators with n-harmonic symbols U]. Integral Equations Operator Theory，2007，57： 43-66.

[10]X. T. Dong， Z. H. Zhou. Algebraic properties ofToeplitz operators with separately qusihomogeneoussymbolson the Bergman space of the unit Ball []. J Operator Theory， 2011，66：193-207.

[11]Z. H. Zhou， X. T. Dong. Algebraic properties of Toeplitz operators with radial symbols on the Bergman space of the unit Ball U]. Integral Equations Operator Theory，2009，64：137-154.

[12]Z Cuckovic， I Louhichi. Finite rank commutators andsemicommutatorsof quasihomogeneous Toeplitz operators[J]. Compl Anal Oper Theory， 2008，2：429-439.

[13]P.R.Choe，H. Koo，Y. J.Lee. Finite rank Toeplitz products with harmonic symbols J]l. J Math Anal Appl， 2008，343：81-98.

[14]T. Le.Finite-rankproductsofToeplitz operators in several complex variables[J]. Integral Equations and Operator Theory，2009，63：547 - 555.

[15]Jingyu YANG， Yufeng LU， Xiaoying WANG. Algebraic properties of Toeplitz operators on the harmonic Bergman space[].J Math Res， 2016，36（04）：495-503.

[16]Kunyu GUO，Dechao ZHENG. Toeplitz algebra and Hankel algebra on the harmonic Bergman space []. J Math Anal， 2002，276：213- 230.

[17]Jun YANG. Toeplitz and Hankel operators with radial symbolon on the Bergman space [J]. Appl Math Sci， 2012，6：2865-2869.

[18]Jun YANG， Yan REN.Commuting Toeplitz and Hankel operators on the weighted Bergman space[J]. Int I Contemp Math Sci J， 2012，2035- 2040.

[19]Hongyan GUN， Yufeng LU. Algebraic properties of Toeplitz and small Hankel operators on the harmonic Bergman space[J]. Acta Math Sin， 2014，30（08）： 1395-1406.

[20]Jong CHEN， Q. NGUYEN. Toeplitz and Hankel operators withsymbols on Dirichlet space U]. J Math Anal， 2010，369（01）：368-376.

[21]R.Remmert， Classical Topics in complex Function Theory [M]. New York， Springer， 1998