幾何畫板在數學概念生成教學中的應用

新課程理念下，在數學概念教學中，教師愈發重視概念的生成以及生成過程中蘊含的數學思想方法。“重結果輕過程”“重抽象輕直觀\"的傳統教學模式不利于學生對抽象數學概念的理解，容易讓學生對數學概念的學習產生畏懼心理，從而喪失學習興趣。那么，教師應如何構建數學概念教學呢？

二、剖析教學內容

“垂線”作為幾何領域的重要概念之一，對學生幾何知識的建構影響較大，學生學習這部分內容的難點主要表現在對概念本質的深度理解。基于此，筆者就“認識垂線\"這一內容進行了三次教學實踐，并在教學后及時反思得失。

三、簡析教學過程

1所示的學習成果）

問題2：觀察圖1中這五種情況，你們能對這五種圖形進行分類嗎？說一說自己的分類標準以及分法。（學生認為可以按照相交和不相交進行分類，即分成兩類 ②④⑤ 和 ①③ ））

問題3：本節課研究兩條直線的位置關系，我們可以想一想，直線有何特征？現在大家有沒有一些新觀點？（事實上，通過想象或者延長，容易發現 ③ 實則是相交的圖形）

一、幾何畫板概述

幾何畫板是一種教學輔助工具，它通過點、線、圓這些基本圖形工具精準繪制各種圖形，并通過圖形間的變換精巧計算線段長度、角度大小以及點的坐標等[1]。學生在初次接觸幾何概念時常常存在理解上的障礙，幾何畫板的巧妙應用可以有效化解他們理解上的障礙，深化他們對數學概念的理解，從而有效突破學習的難點。那么，教師如何將幾何畫板巧妙運用于數學概念生成教學中，從而引導學生進行數學概念的深度建構呢？

1.第一次試教

（1）環節1：實踐引出概念

問題1：請取出2根游戲棒，將它們輕輕放在桌子上，此時它們就會在桌面形成一種位置關系。我們可以將2根游戲棒視為兩條直線，那能形成的位置關系有哪幾種？請嘗試后展示成果。（學生開展活動，很快生成圖

問題4：我們繼續深入觀察圖1，有沒有其他發現？（其中 ②③⑤ 相交構成的是2個銳角和2個鈍角， ④ 構成了4個直角）

教師總結：真是觀察仔細的好孩子！兩條直線相交成直角時（出示相關概念）

問題5：你們會創造垂線嗎？同桌兩人一組，利用手中的游戲棒試一試。 （學生進行操作）

圖1

問題6：誰能從日常生活出發列舉一些相互垂直的實例？（學生爭先恐后地給出例子）

（2）環節2：實驗探究概念

問題7：如圖2所示， P 點為島上碼頭，現需要在對面陸地建造一個碼頭，將地址選在哪個位置才能使兩個碼頭間航程最短？（選擇與直線垂直的線段，即垂足的位置。學生嘗試后予以驗證）

圖2

圖3

問題8：那從點 P 朝著已知直線還能作出比這條垂線段更短的線段嗎？ （不能）

教師總結：不錯，這條垂線段最短，從直線外一點到這條直線作垂線，所得線段的長度就是這個點到直線的距離。

（3）環節3：練習鞏固概念

練習1：運用相互垂直的概念判斷圖形（具體略）。

練習2：運用點到直線距離的概念找出直線外一點至已知直線的垂直線段，并測量距離（具體略）。

（4）環節4：聯系生活運用

問題9：門檻的兩條邊為什么相互垂直？鉛垂線的作用是什么？生活中身高如何測量？跳遠距離如何測量？

（5）環節5：反思提煉概念

問題10：回顧這節課，你們收獲了什么？有什么體會？

教學反思：第一次教學時，教師從操作活動入手，喚醒學生的已有知識，引導學生通過自主探究逐步引出相關概念。教師將實踐導人作為探究起點，有利于學生參與到概念探究的活動中。整節課教學設計較為完整，雖然教師基本完成了教學目標，但在引導學生的深入思考方面仍存在問題：一是此處的導人模式是否合適？垂直與平行這兩個知識點的教學順序如何？事實上，學生已經積累了一些關于垂直的感性認識，因此從垂直逐步過渡到平行的教學對于降低學生理解的難度和形成合理認知結構大有裨益；二是本節課中“垂線段最短\"的相關驗證并不完善，盡管課堂教學看似緊湊，但留給學生進行深度思考的時間與空間并不充足。尤其是當學生無法畫出比垂線段更短的線段之后，教師則直接拋出結論的做法，導致學生無法進行深度學習。因此，教師應充分利用幾何畫板進行驗證，讓學生在觀察、思考和探索中切實感知。

2.第二次試教

（1）環節1：情境導入，感知新知

情境導入；大家一起來欣賞我們的校園，一起來看一看校園里的直線。（教師課件出示教材中的情境圖）根據上述情境圖抽象出圖3所示的直線，觀察這三組直線，你們發現了什么？它們有何關系？（學生給出結論“都相交”，教師順勢出示“相交\"的概念）

尺比對，通過測量驗證想法。教師則順勢拋出垂線的概念）

（2）環節2：適時應用，內化新知

問題3：你們能試著運用相互垂直的概念判斷以下幾組直線是否相互垂直嗎？ （具體略）

問題4：試著列舉生活中相互垂直的實例。

（3）環節3：深度探究，體驗距離

① 試著從一點 P 到已知直線之間作一條垂直線段和四條不垂直線段，猜測一下這五條線段中哪一條長度最短，為什么？（學生嘗試、猜測，并通過測量驗證猜想）

② 你們能不能找到一條比垂直線段更短的線段呢？試著找一找，畫一畫。 （學生嘗試后，發現探尋無果）

③ 那是不是這條垂直線段一定最短？我們一起來借助“幾何畫板\"予以驗證。（教師利用幾何畫板演示，學生觀察后很快發現點離開垂足位置，無論是向左還是向右，該線段的長度都會變長）

X 1 ×

教師總結：事實上，數學界早已證實了這一數學發現，即從直線外一點到這條直線所畫直線中與這條直線垂直的線段最短。

（4）環節4：深度應用，強化認知

問題2：都是直角嗎？你們是如何判斷的？（學生通過三角尺上的直

問題1：你們還能發現什么？（后兩組中的兩條直線都相交成4個直角）

問題5：試著利用點到直線的距離這一概念，找一找直線外一點到已知直線的垂直線段，并測量距離。

（5）環節5：反思提煉，深化認識

問題6：回顧本節課，你們收獲了什么？（師生回顧反思提煉后，教師課件呈現古代的榫卯結構以及現代的摩天大樓，讓學生在數學文化的熏陶下，增強民族自豪感和數學學習信心）

教學反思：改進后的教學相對于第一次試教有了明顯的改善，教師引導學生逐步建構數學概念。通過剖析教學過程，筆者發現教學脈絡上存在瑕疵，導致學生沒有對垂直概念形成清晰的認識。比如，在判斷各組相交的4個角是不是直角時，教師直接通過推理計算的方法讓一些學生產生困惑；教學過程中沒有充分呈現“相互垂直是相交的一種特殊情況”；對于生活中相互垂直的實例，學生對“T\"形、“L\"形邊的位置關系沒有清晰的認識等。

3.第三次試教

（1）環節1：不斷變化“角”，感知位置關系

情境導入：同第二次試教，具體略。

圖5

問題1：如何判斷相交而成的4個角是不是直角？（學生指出可以通過三角尺上的直角比對，教師進行示范，學生模仿比對。然后，如圖4所示，教師通過幾何畫板為學生的觀察提供支持，讓學生通過利用幾何畫板進行驗證，自然認識到“垂直是相交中的一種特殊情況\"）

問題2：有沒有其他方法闡明兩條直線相交時，如果1個角為直角，則其他3個角都為直角？（師生探討后，逐步形成以下理解，即當1個角為直角時，由于與之相鄰的1個角構成平角，則有 180^°-90^°=90^° ，因此與之相鄰的角也是直角。以此類推，其他2個角均為直角。教師順勢拋出垂線的相關概念）

（2）環節2：親歷探究過程，明晰 概念本質

問題3：請試著從圖5所示的學具中找尋相互垂直的兩條直線。

E工L

學生輕松地找到了第一個學具中的相互垂直的兩條直線；在第二個和第三個學具中找相互垂直的兩條直線有些困難，因為它只相交成2個直角和1個直角。很快，有的學生提出可以將這些學具中的直邊都想象成無限延長的直線，延長后就構成了4個直角。教師充分肯定了該生的想法，讓學生利用幾何畫板進行驗證（見圖6）。

追問：如果改變兩條直線的長度，是否依然相互垂直？（學生不假思索地給出肯定結論，教師追加闡述，即兩條直線位置關系不變，僅是所畫長度改變，相應的兩條直線仍相互垂直）

問題4：誰能列舉一些日常生活中相互垂直的實例？

教學反思：第三次教學，教師讓學生親歷了學具中探尋相互垂直的活動，通過這一活動更好地溝通了數學概念與日常生活的聯系，讓學生對生活中的相互垂直有了一個充分且深入的理解，極好地促進了概念的生成。更重要的是，通過幾何畫板的巧妙輔助，學生順利將兩條直線的相互垂直轉化為兩條線段的相互垂直，從而明晰了概念本質，實現了深度建構。

四、結語

教學實踐充分表明，教師對知識本質的理解程度決定了課堂教學的深度，課堂開放的程度決定了知識生成的多元程度，教學工具運用的適切程度決定了學生思維的深度和廣度。

多次試教經歷給教師提供了廣闊的教學視角。教師要深人解讀教材、了解學生，科學運用教學工具助推課堂教學的深人。通過三次課堂教學的試教，筆者的收獲有：準確把握學生的現實起點是教學設計的基礎，教師要從學生的已有認知出發，充分發揮直觀手段的作用，促進學生對概念的自然建構；讓學生經歷探究過程是概念深度建構的關鍵，教師在教學設計時要“以學定教”，讓學生在深度探究中逐步形成對數學概念的深層次理解，建構更加完善的認知體系，發展數學思維。

參考文獻：

[1］姚新國.“幾何畫板\"在概念生成教學中的應用[J]．數學學習與研究，2011（9）：33-34.