基于大概念的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)策略探究

在一個(gè)單元教學(xué)結(jié)束后，教師通常會(huì)布置知識(shí)梳理類作業(yè)。然而，這類作業(yè)往往變成知識(shí)羅列和記憶任務(wù)，顯得枯燥乏味。那么，知識(shí)梳理型作業(yè)究竟有沒(méi)有意義呢？李松林教授認(rèn)為，中小學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)上普遍存在三個(gè)問(wèn)題：一是“散”，在“知識(shí)點(diǎn)”學(xué)習(xí)中，學(xué)生較少在一個(gè)連續(xù)的整體中建構(gòu)知識(shí)，學(xué)到太多零散的知識(shí);二是“低”，教師較少?gòu)母邔哟紊细╊挛恢R(shí)，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)到太多低位的知識(shí)，難以從更高層次上理解下位知識(shí)；三是“淺”，在對(duì)知識(shí)的表層化理解下，學(xué)生學(xué)到太多符號(hào)化、形式化的知識(shí)，較少理解知識(shí)背后所蘊(yùn)含的邏輯思想和價(jià)值意義[1]。

學(xué)生學(xué)得“散”“低\"\"淺”，導(dǎo)致缺乏知識(shí)的遷移能力，這是強(qiáng)調(diào)基于大概念的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的實(shí)踐動(dòng)因。

任何有效的學(xué)習(xí)都需要借助特定的學(xué)習(xí)工具和思維方法[2]。基于大概念的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)，正是以大概念為學(xué)習(xí)憑借和手段推動(dòng)知識(shí)向能力和素養(yǎng)轉(zhuǎn)化。

素養(yǎng)導(dǎo)向的數(shù)學(xué)作業(yè)包括操作類、探索類、梳理類和項(xiàng)目化作業(yè)等多種形式。其中知識(shí)梳理類作業(yè)是在一個(gè)主題單元學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師要引導(dǎo)學(xué)生以大概念為核心梳理整合知識(shí)，自主加工“經(jīng)驗(yàn)”，生成具有結(jié)構(gòu)性、通融性和遷移性的數(shù)學(xué)知識(shí)圖。通過(guò)這樣的作業(yè)，讓學(xué)生的思維由局部走向整體，從而構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[3]。因此，教師應(yīng)將“建構(gòu)數(shù)學(xué)大概念”作為知識(shí)梳理型作業(yè)的核心任務(wù)，注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行結(jié)構(gòu)化理解知識(shí)，讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)整體性、高度性和深刻性的學(xué)習(xí)，促進(jìn)知識(shí)轉(zhuǎn)化為核心素養(yǎng)。下面，筆者以“平面圖形的面積整理復(fù)習(xí)\"為例，探討梳理類作業(yè)設(shè)計(jì)。

? 一、提煉大概念，促進(jìn)學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)化

“大概念\"是具有統(tǒng)攝性、高度抽象性和中心性的結(jié)論、基本原理和思維方法[4]。“大概念\"被視為整合知識(shí)的認(rèn)知框架，引導(dǎo)學(xué)生像專家一樣思考。

“平面圖形的面積整理復(fù)習(xí)”屬于“圖形與幾何\"板塊的“圖形認(rèn)識(shí)與測(cè)量”主題。從“圖形的運(yùn)動(dòng)\"和“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”兩者的整體關(guān)系來(lái)看，平面圖形并非靜態(tài)存在，而是動(dòng)態(tài)變化的過(guò)程與結(jié)果。每個(gè)圖形都可以看作是在先前圖形的基礎(chǔ)上，通過(guò)延長(zhǎng)、平移、分割、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)變化逐步“轉(zhuǎn)化\"而來(lái)。因此，“轉(zhuǎn)化\"思想是連接各種平面圖形面積計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)，也是實(shí)現(xiàn)知識(shí)整體化和結(jié)構(gòu)化的起點(diǎn)，具有“中心性”。

學(xué)生在解決各種數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)通常面臨兩類問(wèn)題：一類是直接運(yùn)用已有知識(shí)便可順利解答問(wèn)題;另一類是陌生問(wèn)題，或者不能直接運(yùn)用已有知識(shí)解答的問(wèn)題，需要綜合地運(yùn)用已有知識(shí)或創(chuàng)造性地解答才能解決問(wèn)題。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中遇到的很多問(wèn)題都可以歸為第二類問(wèn)題，并且要不斷地把第二類問(wèn)題轉(zhuǎn)化為第一類問(wèn)題[5]。可見(jiàn)，解決問(wèn)題的過(guò)程是不斷轉(zhuǎn)化求解的過(guò)程，“轉(zhuǎn)化\"思想具有廣泛的“遷移性”。

綜上所述，“轉(zhuǎn)化\"思想因其“中心性\"和“可遷移性”，非常適合作為“平面圖形的面積整理復(fù)習(xí)”作業(yè)任務(wù)的大概念。

二、表征大概念，把脈不同思維層次

“轉(zhuǎn)化\"思想既是數(shù)學(xué)大概念，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)“運(yùn)用合情推理得到結(jié)論\"的具體體現(xiàn)。表征大概念是將核心素養(yǎng)的培養(yǎng)轉(zhuǎn)化為可預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。

在進(jìn)行作業(yè)目標(biāo)設(shè)計(jì)之前，教師要深人分析學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備，明確學(xué)生已經(jīng)掌握了什么、存在哪些困惑。SOLO分類理論可以分析不同思維層級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，從而使教師根據(jù)學(xué)生的能力和需求整體設(shè)計(jì)作業(yè)目標(biāo)。如表1所示，這樣的作業(yè)目標(biāo)設(shè)計(jì)有助于學(xué)生在知識(shí)梳理過(guò)程中，從單純的知識(shí)技能逐步提升到對(duì)學(xué)科大概念的深刻理解，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)進(jìn)階。

三、內(nèi)化大概念，優(yōu)化作業(yè)導(dǎo)學(xué)技術(shù)

知識(shí)梳理類作業(yè)是一種\"長(zhǎng)程作業(yè)”，涵蓋“課前、課中、課后\"三個(gè)階段：課前作業(yè)，通過(guò)問(wèn)題鏈設(shè)定具體任務(wù)，呈現(xiàn)學(xué)生不同的學(xué)習(xí)起點(diǎn)；課中作業(yè)反饋，注重大概念的建構(gòu)支持，促進(jìn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化理解；課后問(wèn)題解決，學(xué)生以“大概念”為思維工具，在自主遷移中將知識(shí)轉(zhuǎn)化為核心素養(yǎng)。

大概念內(nèi)化是指基于大概念確定一個(gè)核心問(wèn)題，圍繞核心問(wèn)題設(shè)計(jì)逐步提升思維層級(jí)的問(wèn)題鏈。教師可以通過(guò)問(wèn)題鏈任務(wù)，逐步引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷大概念的建構(gòu)過(guò)程。比如，“平面圖形面積整理復(fù)習(xí)\"知識(shí)梳理類作業(yè)可設(shè)計(jì)成問(wèn)題鏈任務(wù)。

問(wèn)題1：你知道哪些平面圖形的面積計(jì)算公式？

問(wèn)題2：這些平面圖形有聯(lián)系嗎？你能用什么方式將一種圖形轉(zhuǎn)化為另一種圖形？

表1不同思維水平層次的學(xué)習(xí)起點(diǎn)與作業(yè)目標(biāo)

問(wèn)題3：你能用“轉(zhuǎn)化\"的思想方法解決什么問(wèn)題？

課前的導(dǎo)學(xué)作業(yè)將大概念內(nèi)隱于問(wèn)題鏈中，借助問(wèn)題逐步推進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生，促進(jìn)知識(shí)的深度理解，從而實(shí)現(xiàn)大概念的內(nèi)化。

四、建構(gòu)大概念，聚焦數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)化

學(xué)生建構(gòu)大概念的過(guò)程是經(jīng)歷新舊知識(shí)相互“同化\"和“順化\"的過(guò)程。知識(shí)同化是將新信息納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；知識(shí)順化是為了接納新信息或解決矛盾，學(xué)生自主調(diào)整或重構(gòu)自身的已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，在課中的作業(yè)反饋環(huán)節(jié)教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)三個(gè)步驟開(kāi)展：整體反饋一并聯(lián)分享一優(yōu)化迭代。通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生能夠在交流與反思中深化對(duì)大概念的理解。

1．整體反饋，讓每個(gè)作品都被看見(jiàn)

整體反饋時(shí)，教師可以讓學(xué)生先分組討論，再選擇典型作品進(jìn)行全班展示交流。典型作品包括三種，如圖1、圖2、圖3所示。

圖1

圖2

圖3

在全班交流過(guò)程中，教師可以采用跟進(jìn)提問(wèn)的互動(dòng)方式，比如：“這些平面圖形的關(guān)系整理都正確嗎？\"\"你能理解這些表達(dá)方法嗎？\"“你的方法和他們有哪些相似之處和不同之處？\"通過(guò)這些問(wèn)題，教師能引導(dǎo)學(xué)生對(duì)不同的方法進(jìn)行對(duì)比和分析，將其納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，在知識(shí)同化中實(shí)現(xiàn)大概念的建構(gòu)。

2.并聯(lián)分享，讓每個(gè)方法都被理解

高質(zhì)量的學(xué)習(xí)需要教師組織學(xué)生進(jìn)行交流、思辨和比較概括，促進(jìn)學(xué)生從單純的“口動(dòng)\"和“眼動(dòng)\"轉(zhuǎn)向積極的“腦動(dòng)”。教師還要通過(guò)并聯(lián)呈現(xiàn)不同思維層級(jí)的作品，鼓勵(lì)學(xué)生分享自己的方法，表達(dá)背后的思考。

師：請(qǐng)用上“我看明白了“我要補(bǔ)充…\"“我想提問(wèn)…”\"我有發(fā)現(xiàn)\"等語(yǔ)言來(lái)評(píng)一評(píng)這些方法。先和同桌討論后再發(fā)言。

生1：圖1從正方形開(kāi)始，通過(guò)延長(zhǎng)邊得到長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形傾斜對(duì)邊變成平行四邊形，縮短長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)得到梯形，分割平行四邊形對(duì)角線得到三角形，圓形通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，這些圖形可以互相轉(zhuǎn)化。

生2：圖2以長(zhǎng)方形為基礎(chǔ)圖形，其他5個(gè)平面圖形通過(guò)割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，轉(zhuǎn)化過(guò)程中形狀變了但面積不變。

生3：圖3中梯形的下底和高不變，上底沿著原來(lái)的水平方向拉伸，當(dāng)上底、高和下底都相等的時(shí)候，就變成了正方形；當(dāng)上底的長(zhǎng)度縮短為一個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，就變成了三角形；當(dāng)上底和下底相等的時(shí)候，就變成了平行四邊形或長(zhǎng)方形。

生4：我發(fā)現(xiàn)梯形可以通過(guò)拉伸和縮短上底的長(zhǎng)度變成其他平面圖形，因此這些平面圖形的面積公式可以表示為 。

師：這些方法的共同點(diǎn)是，每種平面圖形都可以通過(guò)延長(zhǎng)、平移、分割、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)變化從另一種圖形得到。簡(jiǎn)而言之，這些圖形之間可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)變化互相轉(zhuǎn)化。

通過(guò)延長(zhǎng)、平移、分割等方式實(shí)現(xiàn)不等面積的轉(zhuǎn)化，或通過(guò)割補(bǔ)、平移、旋轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)等面積的轉(zhuǎn)化，能讓學(xué)生感悟從“形”的聯(lián)系延伸到公式的統(tǒng)一。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生打通了平面圖形面積計(jì)算之間的壁壘，感受到化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)魅力，在數(shù)形結(jié)合中進(jìn)一步建構(gòu)\"轉(zhuǎn)化\"這一大概念。

3.優(yōu)化迭代，讓每個(gè)學(xué)生都有 收獲

在作品分享過(guò)程中，教師不要急于評(píng)判學(xué)生不成熟的想法，因?yàn)檫@些“半成品”可能成為引導(dǎo)學(xué)生觸類旁

通的重要媒介。

師：這是一位同學(xué)的作品，他把圓的周長(zhǎng)看作三角形的底，半徑看作高，圓的面積公式表示為 （2πr）×r=πr² ，大家同意嗎？

生5：圓形是曲邊圖形，三角形是直邊圖形。雖然得到的公式正確，但推導(dǎo)過(guò)程有些牽強(qiáng)。

生6：我同意這個(gè)想法。我們以前把圓沿著半徑平均分割成 n 份，通過(guò)割補(bǔ)轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形來(lái)計(jì)算面積，化圓為方。每1小份可以看作一個(gè)小三角形（如圖4），其面積為 進(jìn)而得到圓的面積 S_⊥= （20 πr_o²

圖4

教師敏銳捕捉學(xué)生理解上的差異，在\"化曲為直\"中引導(dǎo)學(xué)生深刻感悟曲邊圖形和直邊圖形面積公式的和諧統(tǒng)一，自主調(diào)整知識(shí)結(jié)構(gòu)，在知識(shí)順化中強(qiáng)化“轉(zhuǎn)化\"大概念。

五、評(píng)價(jià)大概念，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

教師引導(dǎo)學(xué)生將大概念作為思維工具，通過(guò)解決不同思維層級(jí)的問(wèn)題，可以有效評(píng)價(jià)學(xué)生的素養(yǎng)達(dá)成情況。比如，針對(duì)學(xué)生的三種思維水平層次，將“平面圖形面積整理復(fù)習(xí)\"課后作業(yè)設(shè)計(jì)為三個(gè)問(wèn)題（如圖5）。

1.多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平

圖5

問(wèn)題1根據(jù)等底等高的長(zhǎng)方形和平行四邊形面積相等的原理，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為梯形面積，再利用已知數(shù)據(jù)計(jì)算。

2.關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平

問(wèn)題2通過(guò)割補(bǔ)法將不規(guī)則立體圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圓柱體，然后計(jì)算其體積。

3.拓展抽象結(jié)構(gòu)水平

問(wèn)題3利用“積的變化規(guī)律\"將算式轉(zhuǎn)化為 1.3×96+1.3×4 ，再運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

這些問(wèn)題旨在引導(dǎo)學(xué)生以“轉(zhuǎn)化\"這一大概念為思維工具，通過(guò)多維度的自主遷移，逐步深化對(duì)大概念的理解。這種理解最終內(nèi)化為學(xué)生能夠靈活運(yùn)用的思想、方法和觀念，使大概念成為知識(shí)轉(zhuǎn)化為核心素養(yǎng)的有效橋梁。

基于大概念的數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)能有效串聯(lián)學(xué)生零散的知識(shí)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建起對(duì)平面圖形的整體認(rèn)知。這種設(shè)計(jì)推動(dòng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“割裂\"走向“整體”，解題策略從“表層”走向“聚合”，大概念的建構(gòu)從“單一”走向\"立體”。

隨著教育理念的更新和教學(xué)實(shí)踐的復(fù)雜化，基于大概念的作業(yè)設(shè)計(jì)具有廣闊的發(fā)展空間。在跨學(xué)科項(xiàng)目化作業(yè)中，如何實(shí)現(xiàn)大概念與數(shù)學(xué)及其他學(xué)科的深度融合，是值得教師深入探索的問(wèn)題。

參考文獻(xiàn)：

[1］李松林.以大概念為核心的整合性教學(xué)[J].課程·教材·教法，2020（10）：56-61.

[2]余文森.新時(shí)代中國(guó)課堂教學(xué)改革與創(chuàng)新[M].北京：教育科學(xué)出版社，2024.

[3]袁曉萍.學(xué)會(huì)向?qū)W生借智慧2.0[M].杭州：浙江教育出版社，2023.

[4］王昕.基于大概念的小學(xué)階段圖形與幾何單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].集美大學(xué)，2023.

[5]王永春．小學(xué)數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法（第二版）[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2022.