感悟“面積”，寓感于“量”

史寧中教授認為：“度量作為數學的本質，是人們創造出來認識數學、認識現實世界的工具。\"在基礎教育階段，度量都是一條重要的學習主線，如時間、人民幣、質量、長度、面積、角度、體積等。“量感\"的內涵比“度量\"更豐富，旨在引導學生感知度量的意義、工具及方法，能針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量，并養成用定量的方法認識與解決問題的習慣。“量感\"的學習內容有序分布在一年級到六年級的教材中，部分教師認為，量感是“規定\"知識，可以直接告訴學生，忽視讓學生經歷知識產生的過程。基于此，教師應引導學生通過具身操作，發展學生對“量\"的感知能力。

“長方形和正方形的面積”的教學重點是讓學生理解面積概念、掌握面積測量方法以及了解面積單位與長度單位之間的差異。本節課是單元教學的起始課，筆者嘗試從學生實際出發，借助學生熟悉的情境，通過觀察、比較、測量等具身活動，讓學生在獲得感性認識的基礎上建立面積的表象，感受面積的大小，并明晰面積單位與長度單位之間的區別，從而使學生在實踐中發展\"量感”。

一、具身操作，建立“面積”表象

知識是客觀的、普遍的、超越個體經驗的，然而部分教師在教學過程中，存在以“知識教育\"代替“身體教育”忽視學生個體經驗和身體價值的問題。具身認知理論強調學生的身體在求知過程中的本體價值，讓學生在具身操作中獲得對客觀知識的認知。“量感\"并非學生與生俱來的，需要學生在不斷“悟\"的過程中逐步積累經驗，形成量感，這與具身認知理論的要求不謀而合。因此，在“長方形和正方形面積”的起始課中，教師可以基于具身認知理論，重視學生的具身操作，讓學生通過身體參與、身體動作和體驗學習，積累經驗，建立對面積的表象，為發展量感做準備。

1.活動一：游戲體驗，感受圖形的大小

如圖1，4名學生進行涂色比賽，你們覺得這樣公平嗎？

圖1

設計意圖：通過涂色比賽的公平性與否，引發學生對“面\"大小比較的初步思考。學生覺得游戲不公平，圖形小的涂色時間就少，圖形大的涂色的時間就多。教師引導學生通過圖形的\"大小”之分，由具體到抽象，引出“面\"的概念，為認識“面\"做好準備。

2.活動二：實物感知，認識物體表面的大小

（1）找一找：生活中有很多物體都有面，你們在教室里能找到哪些物體的表面？（2）摸一摸：摸摸黑板面、課桌面、椅子面和書本面。（3）說一說：為學生提供球、圓柱、長方體等學具，摸摸它們的表面，說一說它們的表面有什么不同。

設計意圖：教師以學生身邊熟悉的事物作為研究對象，讓學生動手比畫、觸摸，用觸覺體驗“面\"的真實存在，感悟“面\"的規則、不規則、平面、曲面。在此基礎上，教師讓學生試著用語言對面積進行簡單的描述，用語言促進感知，有效建立面積的正確表象和空間觀念。

二、“三探大小”，形成“度量”概念

面積單位是發展量感的關鍵要素，在教學中，教師應引導學生對面積單位形成相對深刻的感知，能正確識別數量的屬性特征，并能選擇合適的度量單位進行度量。在學生初步認識了面積的概念之后，教師通過設計“三探大小\"的教學活動，讓學生掌握比較面積大小的方法，感知統一度量的必要性和應然性，形成“度量\"的概念，由感悟“量\"走向“量感\"的形成。

1.活動一：操作實驗，比較面積大小

師：仔細觀看圖1中的四個圖形，你們猜想哪個圖形的面積大？（學生說出自己的想法）

師：你們為什么不猜是 ① 號呢？

生（齊聲答）：因為 ① 號一眼就能看出來較小。

師：“看\"這個詞用得真好，一眼就能看出來，這就是我們平常所說的“觀察法”。我想知道 ② 和 ③ 究竟誰大誰小呢？

生1： ② 號的長方形面積大。

生2： ③ 號的長方形面積大。

師：顯然光靠猜測是不行的，必須有科學的依據。下面請進行小組合作，充分利用你們手中的學具進行驗證。

組1：我們組采用的是擺硬幣的方法， ③ 號長方形里可以擺55枚硬幣，② 號長方形里可以擺48枚硬幣，所以 ③ 號長方形的面積大。

組2：我們組采用的是剪一剪、拼一拼的方法。

組3：我們小組用數格子的方法，如圖2所示，發現 ③ 號圖形的面積大，因為它有55格， ② 號圖形只有48格。

圖2

師：大家剛才用不同的方法得出了 ③ 號長方形面積大的結論，你們認為在這些方法中，哪種方法更好呢？

生（齊聲答）：數格子的方法。

設計意圖：教師引導學生比較四個圖形面積的大小，引出觀察法、數格子等方法，促進學生對面積概念的深度理解。

2.活動二：認知沖突，感知統一面積單位的必要性

師：剛才我們學了數格子的方法，請大家比一比這幅圖中的兩個圖形（如圖3），看一看誰的面積大？誰的面積小？

圖3

生3：我覺得 ② 號圖有32個方格， ① 號圖只有16個方格，所以是 ② 號圖形的面積大。

師：大家覺得他說得對嗎？

生4：我覺得不對，兩個圖形看著差不多大小，它們有可能一樣大。

生5： ① 中的方格大， ② 中的方格小，所以我認為不能直接比較，它們兩個的大小沒法判斷，可能不相等，也有可能相等。

師：到底是個什么情況，誰來幫我理一理？

生6：應該是有三種情況，當方格的大小一樣時，應該是 ② 號圖形的面積大；當 ② 中的方格小時， ① 和 ② 中圖形的面積可能一樣大，也有可能是 ① 大。

師：所以，為了度量的需要，我們在表示面積時需要轉化成相同的圖形，也就是統一成相同的度量標準，這樣就能通過數圖形的個數比較面積的大小。

設計意圖：教師引導學生采用自主探究的方法，引發學生的認知沖突，讓學生慢慢思考、充分交流，進而感悟度量標準不同時不能直接比較面積的大小。

3.活動三：向深沉潛，感受統一單位的應然性

教師要求學生進行小組合作探討，如圖4所示，哪個圖形的面積最大？為什么？

圖4

學生通過數方格發現， ① 號圖形占了14格， ② 號圖形占了12格， ③ 號圖形占了14格， ④ 號圖形占了16格，所以 ④ 號圖形的面積最大， ① 號和 ③ 號面積一樣大。

設計意圖：教師通過探究活動，讓學生體會用數格子的辦法來比較兩個圖形面積的大小，明確用于計量面積的小方格就是“面積單位”。

）三、類比學習，了解面積“單位”

通過前面的學習，學生意識到研究物體面積大小時，需要有統一的標準。因此，在這一環節中，教師應引導學生經歷從數面積到計算面積單位個數的過程，讓學生根據實際需要選擇合適的面積單位估測面積的大小，創造性地運用合適的單位面積作為工具，初步建立面積維度的量感。

在沒有學習面積單位之前，筆者根據課前測發現部分學生已經知曉平方厘米、平方分米、平方米三個長度單位，但對面積單位的大小不清晰。因此，教師要引導學生經歷動手操作的過程，讓學生對面積的單位形成深刻認知。在教學中，教師要讓學生理解：用不同的標準去測量一個物體的表面，會得到不同的結果，并不能明確表示一個物體的面積，因此需要有統一的標準作為面積單位來表示。

師：我們在研究物體面積大小時，需要有統一的標準。數學家就制定了這樣的統一標準，稱作面積單位。你們知道面積單位有哪些？（板書：平方厘米、平方分米、平方米）

1.活動一：加強對1平方厘米的感知

（1）比一比：請大家拿出課前剪好的正方形紙片，這樣大小的正方形面積是1平方厘米。1平方厘米有多大，你們能用手比一比嗎？（課件呈現：邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米，1平方厘米可以寫成 1cm²

（2）找一找：你們覺得1平方厘米適合測量哪些物體的面積？在桌面上找一找。

（3）摸一摸：請大家摸一摸，1平方厘米有多大？預設：（糾錯）我看到有的同學這樣摸（摸邊），對嗎？應該怎么摸？我們再來摸一摸。

（4）量一量：那數學書封面到底有多少大呢？請同學們以4人小組合作，用老師發給你們的小紙片來測量一下數學書封面的面積。

（5）說一說：（出示課件，如圖5）說一說它們的面積是多少。

圖5

師：紅色長方形的面積是多少？

生1：紅色長方形的面積是16平方厘米。

師：為什么說紅色長方形的面積是16平方厘米？

生2：因為它是由16個1平方厘米的方格組成。

師：那藍色長方形的面積呢？圖形中沒有標出格子怎么辦？

生3：我們可以用1平方厘米的小正方形去擺。

師：下面請你們動手試一試，并與同桌進行交流。

學生發現：如圖6所示，在藍色長方形中擺小正方形，1行可以擺3個，可以擺5行，一共可以擺15個小正方形，也就是15平方厘米。

圖6

設計意圖：教師引導學生通過裁剪三個面積單位的紙片，初步感受面積單位；在課堂上通過比一比、找一找袋子里的1平方厘米的正方形和生活中的1平方厘米的活動，幫助學生在頭腦中建立1平方厘米到底有多大的表象，發展學生的量感和空間觀念。

2.活動二：類比探究1平方分米和1平方米

師：如果我們要測量課桌面的大小、教室地面的大小，用1平方厘米作單位合適嗎？

教師引導學生結合認識1平方厘米的過程，讓學生通過找一找、想一想、摸一摸等活動充分感知1平方分米和1平方米的面積大小，并引導學生主動建構概念，在實際測量時學會選擇合適的面積單位測量物體的面積，逐步培養學生對面積單位的量感。

總之，量感是學生對量的感悟，量感的形成與培養是一個長期的過程。從學習長度到面積，是學生空間觀念發展的一次飛躍，也是培養學生量感的一次契機。在教學中，教師應把抽象的量感與具體的體驗相結合，給予學生充分觀察、操作、探究和體驗的機會，讓學生在親歷度量中逐步形成量感，在想象推理中發展量感，在估測與對比中增強量感，使其在積累豐富活動經驗的基礎上，將量感內化為穩定的表象，并形成量化思維，最終發展核心素養。