經歷“數學化”：學生數學建模的有效路徑

建立數學模型是數學教學的重要目標。所謂“模型\"是一種“研究事物性質的模擬物\"（張奠宙語）。廣義地說，一切數學學科知識都可以看成是數學模型；狹義地看，只有反映特定問題或數學關系的結構才能被稱為數學模型。數學模型是溝通生活、數學、應用之間的橋梁，引導學生數學建模是數學教學的重要使命與責任。史寧中教授認為，“學生的數學核心素養主要就是抽象、推理和建模”。因此，教師要引導學生進行數學建模，讓學生將現實問題或現象抽象成數學問題并進行解釋、應用。引導學生數學建模的過程就是引導學生經歷數學化的過程，數學建模能有效提升學生的學習力，發展學生的數學核心素養[1]。

一、發現問題：數學建模的基礎

在教學中，教師要引導學生應用“數學的眼光\"“數學的大腦”去發現學習、生活中的數學現象。發現問題是數學建模的基礎。在教學中，教師可以應用多媒體課件，向學生展示相關的生活現象等，引導學生提出相關的數學問題。在教學中，教師可以讓學生親身經歷相關事件的發生、發展過程，引導學生積極、主動探究，讓學生從生活化的現象、材料中獲得相關數學信息等。這樣的發現過程能有效引導學生提出相關數學問題，推動學生的數學模型建構。

數學模型是對相關生活現象的數學化提煉、抽象和概括。在小學數學教學中，教師要引導學生解讀、分析生活現象，喚醒學生的已有經驗，引導學生用數學知識去提煉、抽象和概括。比如，教學“簡易方程\"這一部分內容時，筆者讓學生借助生活中的天平開展數學實驗。“在天平的左邊有一定克數的砝碼，在天平的右邊應加上多少克的砝碼才能讓天平保持平衡\"\"在天平的左邊拿掉一定克數的砝碼，在天平的右邊應怎樣做才能讓天平保持平衡\"“在天平的左邊加上一倍的砝碼，在天平的右邊應怎樣做才能保持天平的平衡\"等。教師要通過引導學生觀察、操作天平，讓學生感悟“天平原理”，即“天平的左右兩邊同時加上、減去或乘除同一質量，天平仍然保持平衡”。在“天平原理\"的啟示下，教師引導學生主動建構“等式的性質”，讓學生在實驗、探究的過程中感悟天平平衡的內在原理，從而為自主建構、創造“等式的性質\"奠定堅實的基礎。

在教學中，教師要有意識地將抽象性數學學科知識融人生活現象之中，并引導學生提出相關問題，讓學生在觀察、思考、探究中建構數學模型。

二、提出假設：數學建模的關鍵

建構數學模型的過程中，教師要引導學生積極主動地提出模型假設。模型假設是指根據情境問題的特質以及解決問題的需要，用數學語言提出解決問題的相關假設等。模型假設是模型建構的一種準備，是對現實原型的一種翻譯、表征。借助數學模型假設，能讓相關的數學問題簡潔化、清晰化。在提出數學模型假設的過程中，教師要引導學生區分常量和變量，分析已知條件和未知條件，分析相關關系式等。只有這樣，學生提出的模型假設才具有現實、客觀的意義。

提出模型假設不是讓學生隨意地、任意地假設，而是讓學生基于已有的關系式，通過分析得出合理性假定、推斷等。模型假設是建立現實世界與數學間關聯的重要步驟，在教學中，教師可以引導學生借助相關工具、方法來提出模型假設，驗證模型假設等。如教學“乘法分配律\"這一部分內容時，筆者呈現了與學生生活相關的例子，比如：四年級有6個班，五年級有4個班，每個班在體育大課間活動時領24根跳繩，四五年級一共需要領多少根跳繩？這樣的實際問題能催生學生基于不同的知識經驗而形成不同的解決問題的策略：一是先求四五年級一共有多少個班，再求四五年級一共需要領多少根跳繩；二是先求四年級一共需要領多少根跳繩，五年級一共需要領多少根跳繩，再求四五年級一共需要領多少根跳繩。通過生活中的例子引導學生對“乘法分配律\"提出猜想，在此基礎上讓學生圍繞猜想開展多樣化的驗證，能使學生從不同視角證明“猜想\"的正確性。比如，圖形驗證，“計算長方形的周長時可以先算兩個長、兩個寬，再算周長；也可以先算一個長、一個寬，再算周長”;舉例驗證，教師可以讓學生分別舉出整數、小數的例子，并用計算器驗證等。因此，教師要引導學生積極主動地用符號表征猜想，從而建構、創造“乘法分配律\"的模型。

數學模型的建構需要教師引導學生大膽猜想。數學猜想是數學模型建構的先導，往往能打開數學模型建構的窗戶，開辟數學模型建構的道路。有了猜想，學生就會積極主動地驗證（證明或證偽）。從某種意義上說，數學模型的建構，往往是學生在模型的猜想和多種數學工具、方法等的共同作用下發現事物內在聯系的過程。因此，數學猜想能讓學生積極主動地經歷數學化，有助于學生數學學習力的隱性提升，有助于學生數學核心素養的悄然生成[2]。

三、模型分析：數學建模的核心

建構一個數學模型，不是一蹴而就的，而是一個不斷完善、優化的過程，這個過程離不開學生對模型的深入分析。數學模型分析是數學建模的核心，一個模型只有不斷經過分析與檢驗，才能不斷得到優化與完善。對數學模型的分析，既可以是一種抽象性分析，又可以是聯系實際的具象性分析。數學模型分析能讓學生認識到數學模型的本質，能讓學生把握數學模型中諸要素之間內在的數學關系。

比如，教學“行程問題\"時，筆者引導學生從行程問題中的兩個典型問題—“相遇問題\"和\"追及問題”入手，通過生活中的問題讓學生建構“相遇問題”的數學模型與“追擊問題”的數學模型，即“速度和 $| ＼times ＼rrangle$ 相遇時間 |= 路程和\"\"速度差 × 追擊時間 σ=σ 路程差”。在此基礎上，筆者引導學生對數學模型進行深入分析：首先，讓學生分析“相遇問題\"和“追及問題\"中的諸要素關系，如“在相遇問題中，兩方的速度不相等、路程也因此不相等，而時間相等\"“在追及問題中，兩方的速度不相等、路程一定不相等，而時間相等”;其次，讓學生分析“相遇問題”“追及問題”的類型，“相遇問題”可以分為“相向而行\"\"相背而行”，而“追及問題\"就是“同向而行”;最后，讓學生分析一些特殊的“相遇問題”，如\"操場上的相遇問題”，既可以認為是“相向而行”，又可以認為是“相背而行\"等。有了對數學模型的深人分析，學生在解決實際問題時就可以畫出線段示意圖分析實際數量關系，從而選擇恰當的數學模型。在應用數學模型解決問題時，教師要引導學生深入分析關鍵性、核心性的問題，如“是否是同時出發\"“行駛的方向是怎樣的”“是否相遇”“是相遇后就停止前行還是繼續行走”“是否追上了”等。學生通過對實際問題的分析，增強了應用數學模型靈活解決問題的能力。

數學模型分析是數學模型建構的重要組成部分。分析數學模型時，教師要引導學生找出數學模型中諸要素的內在關聯，為模型應用奠定堅實基礎[3]。

四、模型應用：數學應用的旨歸

數學模型應用是數學模型建構的落腳點。數學模型的價值往往體現在數學模型的實際應用中，數學模型應用是數學模型評價的重要標尺。一個好的數學模型應具有廣闊的應用前景和應用空間。教師要引導學生積極主動地應用數學模型，優化數學模型，讓數學模型應用成為學生數學學習的一種自覺。通過數學模型應用，增強學生的數學模型應用意識，能提升學生的數學模型應用能力，發展學生的數學模型應用素養。

教師要通過應用數學模型，讓學生感受、體驗數學模型強大的功能與實用的價值。比如，教學“解決問題的策略——假設\"時，筆者首先引導學生建構“雞兔同籠\"的數學模型“即假設全是雞或全是兔，根據總只數，推算應該有多少條腿；再根據假設替換成兔或雞，每替換一次相差多少條腿，推算一共替換了多少次，即有多少只雞或兔”。在此基礎上，教師引導學生應用這樣的數學模型去解決實際問題，如“大貨車、小貨車一起運貨問題”“乒乓球單打和雙打混合問題”“大箱子和小箱子一起裝鞋子問題\"等。通過應用數學模型，能讓學生感受、體驗數學模型的解釋力、應用力，體會數學模型廣闊的應用領域。在教學中，教師要引導學生多次應用數學模型，讓學生感受、體驗數學模型的準確性，讓學生積極主動地應用數學模型去解決各類復雜的生活問題，體會應用數學模型思考與探究的實用性和高效性（相較于原先的列舉法、列表法等）。

應用數學模型的教學中，教師要引導學生將數學模型中的數學知識轉化為自身的實踐經驗。在教學實踐中，教師還可以引導學生將多個數學模型組合應用，從而幫助學生解決更加復雜的問題。數學模型源于生活，服務于生活，因此，教師要引導學生歷經從生活原型到數學模型、從數學模型到生活化應用的過程，讓學生感受、體驗數學與生活的水乳交融關系。

數學模型是刻畫、描述生活問題、生活現象的重要方式。從生活原型出發，教師要引導學生將其橫向數學化、縱向數學化，從而讓學生建構、完善、優化數學模型。在建構數學模型之后，教師還要引導學生積極主動地將數學模型應用到生活實踐中，通過具體應用來檢驗、評價數學模型，讓學生感受、體驗數學模型的功能、作用、意義和價值。教師要更新數學教學觀念，提升學生的建模能力，優化學生的建模品質，發展學生的建模素養。

參考文獻：

[1]張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學數學研究[M].北京：高等教育出版社，2009.

[2]葉其孝.大學生數學建模競賽輔導教材（二）[M].長沙：湖南教育出版社，1997.

[3］張玉琴.挖掘數學模型經歷建模過程感悟模型思想[J]．小學教學參考，2021（29）：47-48.