巧用多元表征，展現(xiàn)數(shù)學(xué)思維

多元表征是指客觀認知對象在個體心理活動中的多種表現(xiàn)和記載的方式。這種方式可以分為外在表征和內(nèi)在表征兩種類型，其中外在表征是以言語、文字、符號、圖片、具體物、活動或?qū)嶋H情境等形式存在的表征，內(nèi)在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征，是外在表征在個體頭腦中的映射和編碼。多元表征能讓學(xué)生從多個視角、運用多種方法進行學(xué)習(xí)，不僅能彰顯數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵，賦予數(shù)學(xué)知識意義，還能調(diào)動學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生的多種感官協(xié)同活動，從而增強學(xué)生對知識的感受、體驗，深化學(xué)生對知識的理解。通過多元表征，同一個學(xué)習(xí)對象可以從不同視角來審視，讓學(xué)生立體建構(gòu)知識意義，有利于學(xué)生在不同情境中或不同條件下靈活遷移應(yīng)用。

筆者在教學(xué)“簡單的小數(shù)加減法”一課時，充分利用學(xué)生的多元表征，著力引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握加法筆算的方法，啟發(fā)他們把加法筆算的方法向減法遷移。

一、片段一：創(chuàng)設(shè)情境，引出問題

師：同學(xué)們，書籍是人類進步的階梯。（出示三本書的圖片）從圖中你們知道了哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：我知道了《太空漫步》的價格是1.2元，《數(shù)學(xué)家的故事》的價格是6.4元，《童話故事》的價格是4.9元。

師：根據(jù)這些數(shù)學(xué)信息，你們能提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生2：一本《太空漫步》和一本《數(shù)學(xué)家的故事》一共要多少元？

師：怎么列式？

生 。

師：還可以提出哪些數(shù)學(xué)問題？

生4：一本《數(shù)學(xué)家的故事》和一本《童話故事》一共要多少元？列式是 。一本《太空漫步》和一本《童話故事》一共要多少元？列式是 4.9。一本《太空漫步》比一本《數(shù)學(xué)家的故事》便宜多少元？列式是6.4-1.2。一本《太空漫步》比一本《童話故事》便宜多少元？列式是4.9-1.2。一本《數(shù)學(xué)家的故事》比一本《童話故事》貴多少元？列式是6.4-4.9。

師：同學(xué)們，這些加減法算式都有什么共同的特點？

生（齊聲答）：這些加減法算式都有小數(shù)。

師：這節(jié)課我們一起來研究小數(shù)加減法。

教學(xué)思考：在這個教學(xué)片段中，教師精心設(shè)計了一個“購買書籍”的情境，鼓勵學(xué)生從情境中提煉關(guān)鍵數(shù)學(xué)信息，并基于這些信息自主提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。這些問題涉及簡單的小數(shù)加法計算，如購買兩本書一共需要多少錢；也涉及簡單的小數(shù)減法計算，如購買兩本書相差多少錢；還可以是更復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，如比較不同購買方案下的總價差異，或是探討購買多本書時的最優(yōu)組合策略。在學(xué)生提出并解決了一系列數(shù)學(xué)問題后，教師引導(dǎo)他們對所列出的各種算式進行觀察和對比分析，總結(jié)這些算式的共同點。

二、片段二：多元表征，探究算法

1.利用估算和豎式表征算法

師：（出示算式： 同學(xué)們，我們在計算小數(shù)加法前，先來估計一下這個算式的和會在哪兩個數(shù)之間？

生1：我可以把1.2估計成1，把4.9估計成5，因為 1+5=6 ，所以 4.9的和大約是 6 我們也可以把這兩個小數(shù)估大，把1.2估計成2，把4.9估計成5，因為 2+5=7 ，所以 1.2+ 4.9的和要比7小。

師：通過估算，我們發(fā)現(xiàn) 的和在6和7之間。那要怎樣才能計算出它的準確結(jié)果呢？

生2：我們可以豎式計算或者口算。

師：同學(xué)們，請拿出學(xué)習(xí)單，豎式計算 。（出示學(xué)生的豎式計算）誰來說說計算時要注意什么？

生3：計算的時候要注意數(shù)位對齊，滿十向前進一。我們還不能忘記在橫式上寫上最后的得數(shù)。

師：這位同學(xué)說數(shù)位要對齊，就是做到了相同數(shù)位對齊。

教學(xué)思考：在這個教學(xué)片段中，教師充分展現(xiàn)了培養(yǎng)學(xué)生估算意識和嚴謹計算能力相結(jié)合的教學(xué)策略。首先，面對一道小數(shù)加法題目，教師并沒有直接讓學(xué)生進行精確計算，而是先引導(dǎo)他們運用估算的方法確定結(jié)果的大致范圍；然后，在估算的基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生采用豎式方法進行精確的計算，強調(diào)小數(shù)點對齊的重要性，并提醒學(xué)生要做到相同數(shù)位相加；最后，教師提醒學(xué)生在完成小數(shù)加法豎式后，不能忘記在橫式上寫上答案。通過這樣的教學(xué)設(shè)計，不僅使學(xué)生能夠在解決實際問題時靈活運用估算策略，提高了他們的解題效率和應(yīng)對復(fù)雜問題的能力，而且加深了學(xué)生對小數(shù)加法法則的理解和掌握，培養(yǎng)了他們在精確計算過程中的推理意識。

2.利用不同學(xué)具表征算理

師：同學(xué)們，我們不僅要會算，而且還要知道為什么要這樣算。回憶一下我們是怎么學(xué)習(xí)數(shù)的運算的，在一年級的時候?qū)W習(xí)了100以內(nèi)的整數(shù)加減法，知道了計算時要相同數(shù)位對齊，從低位算起。今天這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一位小數(shù)加減法計算，知道了要小數(shù)點對齊。現(xiàn)在老師為每個小組都準備了人民幣、方格圖、計數(shù)器等學(xué)具，請選擇其中一種學(xué)具，通過擺一擺、畫一畫，解釋計算 的算理。

生4：（邊說邊擺）我是借助人民幣學(xué)具來解釋的，把 看成1.2元加4.9元，1.2元用1張1元和2張1角來表示，4.9元用4張1元和9張1角來表示，1張1元加4張1元等于5張1元；然后用2張1角加9張1角等于11張1角，也就是1元1角；最后用5元加1元1角就是6元1角，用小數(shù)表示是6.1元。

師：同學(xué)們，這位同學(xué)的解釋非常完整，老師想知道剛才你怎么把人民幣加起來的？

生4：我是用元加元，角加角，也就是相同的單位相加。

生5：（邊說邊指）我是用方格圖學(xué)具來解釋的，用1個正方形表示1；然后把這個正方形平均分成10條，每份就表示 0.11.2 就是1個正方形和2個小長方形來表示，4.9就是4個正方形和9個小長方形來表示，所以合起來就是5個正方形和11個小長方形，其中11個小長方形就是1個正方形和1個小長方形，也就是6個正方形和1個小長方形。

生6：（邊說邊撥）我是用計數(shù)器學(xué)具來解釋的，1.2就在個位上撥1顆珠子表示1個1，在十分位上撥2顆珠子表示2個0.1;4.9就在個位上撥4顆珠子表示4個1，在十分位上撥9顆珠子表示9個0.1。1.2和4.9合起來是個位上有5顆珠子表示5個1，十分位上有11顆珠子表示11個0.1，其中11個0.1是1個1和1個

0.1，加起來是6個1和1個0.1。

師：你剛才表達的思路非常清晰，老師想知道你是哪部分珠子和哪部分珠子相加的？

生6：個位和個位加，十分位和十分位加。

師：我們用三種不同的方法解釋了為什么要這樣算，雖然這三種方法不同，但是它們有什么共同點？

生7：它們都是在計算同一道小數(shù)加法，所以最后的得數(shù)相同；而且小數(shù)點都對齊了，用相同的計數(shù)單位相加。

師：同學(xué)們，我們發(fā)現(xiàn)小數(shù)加法豎式計算中一個重要的法寶是小數(shù)點對齊，只要小數(shù)點對齊了就能做到相同數(shù)位對齊，也就做到了計數(shù)單位相同。

教學(xué)思考：在這個教學(xué)片段中，教師精心設(shè)計了一系列活動，讓學(xué)生深化對小數(shù)加法算理的理解。當學(xué)生掌握了小數(shù)加法的算法后，教師巧妙地引人人民幣、方格圖和計數(shù)器等學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生通過不同的方式來解釋小數(shù)加法的計算過程。有的學(xué)生通過模擬使用人民幣進行購物，體驗小數(shù)加法在實際生活中的運用，并認識到在小數(shù)加法運算時要保證相同的貨幣單位相加，這樣才能得出正確的結(jié)果；有的學(xué)生使用方格圖來解釋小數(shù)加法，通過把方格圖平均分，然后逐位相加，進一步理解了小數(shù)加法的算理，并發(fā)現(xiàn)這也是在相同計數(shù)單位下進行的運算；也有的學(xué)生利用計數(shù)器，通過撥珠子的方式來理解小數(shù)加法的計算過程，驗證了相同計數(shù)單位相加的原則。通過這三種不同的方法，學(xué)生不僅掌握了小數(shù)加法的算理和算法，更重要的是他們發(fā)現(xiàn)這三種方法的共同點：都是在相同計數(shù)單位下進行相加。這一發(fā)現(xiàn)不僅加深了學(xué)生對小數(shù)加法算理的理解，也為他們今后學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識奠定了堅實的基礎(chǔ)。

"三、片段三：鞏固練習(xí)，拓展應(yīng)用

師：（出示""同學(xué)們，請用豎式計算小數(shù)加法，并驗算自己的答案是否正確。

生1：我先算十分位上4加9等于13，在十分位上寫3并向個位進1；個位上6加4加1等于11，在個位上寫1，在十位上寫1，所以 6.4+4.9= 11.3。我是用交換兩個加數(shù)的方法來驗算的，也可以用“和減一個加數(shù)\"的方法進行驗算。

師：剛才我們不僅鞏固了小數(shù)加法的計算，還學(xué)會了小數(shù)加法的驗算方法。（出示4.9-1.2和6.4-4.9）同學(xué)們，請用豎式計算小數(shù)減法，并驗算自己的答案是否正確。

生2：4.9-1.2，用豎式我是這樣算的，先算十分位上9減2等于7，在十分位上寫7；個位上4減1等于3，在個位上寫3，所以 4.9-1.2=3.7 □6.4-4.9，用豎式我是這樣算的，先算十分位上4減9不夠減，向個位的6借1當10，14減9等于5，在十分位上寫5；個位上5減4等于1，在個位上寫1，所以""。我們可以用加法來驗算。

師：同學(xué)們，誰來總結(jié)一下小數(shù)加減法的計算方法是什么？

生3：首先將小數(shù)點對齊，這樣相同數(shù)位就會對齊，做到計數(shù)單位相同；然后相同數(shù)位相加減，不夠減時向前一位退一作十，相加滿十時要向前一位進一。

師：這位同學(xué)總結(jié)得非常完整，希望同學(xué)們能夠成為計算小能手。這節(jié)課只是打開了小數(shù)加減法的大門，以后我們還會學(xué)習(xí)更多有關(guān)小數(shù)加減法的知識。

教學(xué)思考：在這個教學(xué)片段中，教師呈現(xiàn)了課堂購書情境中的兩組計算練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生掌握小數(shù)加減法的計算。第一組練習(xí)是幫助學(xué)生鞏固小數(shù)加法的豎式計算和驗算方法；第二組練習(xí)是幫助學(xué)生鞏固小數(shù)減法的豎式計算和驗算方法。通過這兩組練習(xí)，學(xué)生既能夠不斷提升自己的計算能力，也能夠更加自信地應(yīng)對小數(shù)加法和減法的挑戰(zhàn)。

總之，多元表征不僅為學(xué)生提供了多樣化的學(xué)習(xí)方式，更重要的是它促進了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的多元化和深層次發(fā)展，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情。教師引導(dǎo)學(xué)生通過巧妙運用人民幣、方格圖、計數(shù)器等多元表征形式，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到充分的展現(xiàn)和鍛煉，不僅幫助他們掌握了小數(shù)加減法的算理和算法，而且?guī)椭麄儗W(xué)會了從不同角度、運用不同方法來解決問題，提升了他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。