基于數學理解的教學實踐路徑建構

數學不是孤立的知識點集合，而是一個高度結構化、邏輯連貫的體系.只有真正理解概念背后的原理，學生才能靈活運用知識.因此，在教學中教師要注重數學理解.王瑞霖、綦春霞指出用專家評定法確立數學理解層次結構的理論模型，包括表象理解、解釋理解、建立聯系、思想運用、創造生成五個層次.[1該理論模型不僅具有顯著的理論指導價值，更展現出突出的教學實踐可操作性.基于此，本文以\"認識長方體和正方體\"教學為例，對其展開詳細的論述與研究，

1表象理解

表象理解作為數學認知的初級形態，在概念形成過程中具有奠基性作用.通過建立充分的表象理解，學習者能夠突破具體實物表征的局限，形成對數學對象的多元化認知，這為后續抽象思維的發展奠定了必要的認知基礎.在教學實踐中，教師需要系統激活學生的前認知經驗，引導其構建概念的“視覺一空間\"表征，這是實現\"表象理解\"的關鍵教學任務.

以“認識長方體和正方體\"教學為例，教師采用生活化教學策略，要求學生在課前收集長方體與正方體實物，如牙膏盒、藥盒、魔方等.課堂導人環節，教師通過對比性問題“長方體與已學平面圖形的本質差異是什么\"引發認知沖突，促使學生自主發現立體圖形與平面圖形的差異.隨后，教師運用微視頻媒介系統呈現長方體的幾何要素：通過動態可視化演示，明確\"面”“棱\"等核心概念，并建立“6個面、8個頂點、12條棱\"的定量認知.為強化感知體驗，教師組織學生開展“觀察一觸摸—辨識”的實物操作活動，要求對牙膏盒的幾何特征進行具身認知，從而構建完整的長方體心理表象.

該教學過程體現了表象理解培養的典型路徑：首先，通過生活情境建立概念的現實關聯；其次，運用多媒體技術實現幾何要素的直觀呈現；最后，借助操作性活動深化感知體驗.這種多層次的教學設計不僅幫助學生建立了準確的長方體視覺表征，更通過具身參與的方式促進了空間觀念的初步形成，為后續的解釋理解等深層認知活動創造了必要的認知條件.

2解釋理解

解釋理解強調超越對數學對象的表象認識，通過多元化的探究活動，讓學生了解數學知識產生和發展的過程，從而讓學生經歷從具體到抽象、從淺顯到本質的認知過程.在教學中，教師可引導學生通過追本溯源、深度挖掘，把握數學概念的本質特征，進而探索數學概念的核心意義，獲得對數學概念的深度理解.

（1）探究長方體面的特征，

教師為學生提供長方體和格子圖（如圖1），讓學生把長方體的面畫到格子圖上，并標上所畫圖形的邊長.

圖1

師：同學們手上都有了一個長方體模型，現在請先用尺子量一下長方體的各條棱長，再把長方體前、后、左、右、上、下六個面畫到格子圖上，并標注出所畫圖形的邊長.（學生動手完成）

師：好的，同學們都畫得很好，那么有什么發現嗎？

生1：長方體的前面和后面、左面和右面、上面和下面完全相同.

師：這位同學回答得非常棒！也就是說，長方體相對的面完全相同.那么，請同學們討論一下，不相對的面是否相同呢？

生2：當長方體的一組相對面是正方形時，其余四個面完全相同.

師：非常好！那我們一起總結一下長方體的面的特征.

總結：長方體有6個面，相對的面完全相同.當長方體的一組相對面是正方形時，其他四個面完全相同.

【設計意圖】教學中，教師通過讓學生畫出長方體的“面”，從而將立體圖形轉化為平面圖形，激活了學生已有的認知經驗，符合學生的認知規律，延緩了學生的認知坡度.學生通過畫圖和分析，得出長方體面的特征.從一般的長方體到特殊的長方體，循序漸進，學生在操作、觀察、總結中獲得了對長方體面的深度理解，完成了解釋理解.

（2）探究長方體的棱和頂點.

師：現在我有一個長方體模型，同學們能數一數這個長方體有幾條棱嗎？

生3：一共有12條棱

師：回答得很好！你能告訴老師你是怎么數的嗎？

生4：先數上面的4條棱，再數中間的4條棱，最后數下面的4條棱.

師：很棒！那么，還有沒有其他的數法呢？

生5：先數橫著的4條棱，再數豎著的4條棱，最后數前后方向的4條棱

師：這位同學回答得也很好.那么，現在請同學們討論一下這兩種數法哪一個好點.

生6：第二種數法更好，因為它把棱分成了三組，每一組中有4條棱，這4條棱長度相等.

師：很好！這樣長度相等的三組棱，每組中的4條棱稱之為相對的棱.現在，哪位同學來總結一下長方體棱的特征？

生7：長方體有12條棱，按照長度分為3組，每組中相對的4條棱長度相等.

師：接下來，請同學們用長方體模型數一數長方 體有幾個頂點.

生8：先數上面有4個頂點，再數下面也有4個頂點，一共8個頂點.

生9：先數左邊有4個頂點，再數右邊也有4個頂點，一共8個頂點.

師：同學們回答得都很好！也就是說，長方體有8個頂點.

【設計意圖教學中，教師讓學生經歷了看一看、想一想、數一數的活動，引導學生運用有序思維，展開思考和探究，在動手、動口和動腦中發現長方體棱和頂點的特征，獲得對長方體棱和頂點的本質理解.

（3）認識長方體的長、寬、高.

在這節課中，教師首先拋出問題，引導學生思考與討論，再通過追問，促進學生對長方體的深度認識

師：同學們，上節課我們知道了長方體有8個頂點、12條棱.如果去掉長方體的1條棱，你還能想象出長方體原來的樣子嗎？同學們可以根據模型展開想象，并進行猜想，再觀察長方體模型進行驗證.

師：如果再去掉3條棱呢？如果只保留相交于一個頂點的3條棱，你還能想象出長方體原來的樣子嗎？

生10：由1條棱就可以想象出與它相對的其余3條棱.因此，只要知曉相交于一個頂點的3條棱，就可以想象出長方體原來的樣子.

師：這位同學回答得非常好！也就是說，我們只要知道長方體相交于一個頂點的3條棱，就可以將長方體還原，這樣的3條棱稱為長方體的長、寬、高.

【設計意圖】通過減少長方體棱的數量，讓學生想象長方體原來的樣子，有利于發展學生的空間想象力，同時也自然而然地引出長方體長、寬、高的概念，使學生對長方體的長、寬、高有了本質上的理解.

3建立聯系

鄭毓信教授指出，數學教學不應求全而應求聯.[2數學是一門具有邏輯性的學科，數學知識的編排具有一定的系統性，新知識往往是在舊知識的枝丫上生長出來的.這就要求教師要關注知識的關聯，引導學生在更加寬廣的背景下把握知識本質，建構網狀的知識結構，并能夠將學生熟悉的經驗和方法遷移到新的知識學習當中，真正做到舉一反三，融會貫通.就本節課而言，知識聯系可以從下面兩個維度考慮.

一是長方體與平面圖形之間的聯系.長方體是一個三維立體圖形，它由六個面組成，一般情況下每個面都是長方形，但是在特殊情況下，相對的兩個面可以是正方形，即長方體的表面展開圖包含長方形或正方形；此外，認識長方體和正方體，為接下來探討長方體和正方體的展開圖、長方體的表面積和棱長總和、長方體的體積等知識奠定了知識基礎，同時也為以后學習圓柱和圓錐等知識做好了準備，這些都屬于長方體與前后知識的基本聯系，

二是在長方體和正方體之間建立聯系.這是本節課要完成的重要教學任務，首先，教師出示一個長、寬、高分別為 9cm，6cm，4cm 的長方體，然后通過多媒體，將其轉變為長、寬、高分別為 9cm，4cm 、4cm 的長方體，最后轉變為長、寬、高都是 4cm 的正方體.在此過程中，學生認識到正方體是由長方體轉化過來的，當長方體的長、寬、高相同時，長方體就變成了正方體.然后，教師引導學生按照探究長方體特征的方法，借助正方體模型和格子圖進一步探究正方體的特征.接著，教師引導學生對比長方體和正方體的異同點.有的學生說，長方體和正方體都有6個面、12條棱、8個頂點，不同的是，長方體相對的面完全相同，相對的棱長度相等，而正方體的6個面完全相同，12條棱長度相等.有的學生說，當長方體的長、寬、高都相等時，長方體就變成了正方體，因此，正方體是特殊的長方體.有的學生說，根據正方體是特殊的長方體，不用數就可以得出正方體也有6個面、12條棱、8個頂點.最后，教師引導學生回顧以前學過的類似長方體和正方體關系的知識，由此拓展學生對相關知識的聯系.

【設計意圖】教學中，教師先讓學生經歷長方體一步步轉變為正方體的過程，讓學生初步體會到正方體是特殊的長方體；然后，通過對比長方體和正方體的異同點，讓學生深入理解了長方體與正方體，加強了知識之間的聯系；最后，引導學生回憶以前學過的類似長方體和正方體關系的知識，幫助學生在更大范圍內建構知識體系，真正實現學生對知識網絡的深度建構.

4思想運用

數學思想是數學知識和方法在更高維度上的抽象和概括，它蘊含在數學知識產生和發展的過程之中.在教學中，伴隨著對數學對象理解的不斷深入，學生的理解不僅觸及知識本質，還會將數學思想融入數學理解過程中，從而實現對數學的深度理解，

在學生深度認識長方體和正方體特征、聯系的基礎上，教師還應引導學生挖掘知識背后的思想方法.例如，認識長方體的過程體現了模型思想.模型思想指的是從現實世界中的對象出發，充分運用觀察、實驗、操作、歸納等方法，將現實世界的特定對象轉化為數學對象模型的方法.在教學中，教師引導學生從生活中常見的長方體事物出發，讓學生初步獲得長方體的表象，然后再引導學生通過豐富的數學活動探究長方體面、棱、頂點的數量和特征，從而獲得對長方體本質特征的理解，建構起長方體的數學模型

本節課是學生第一次深入探究立體圖形的特征，是學生認知視野從二維圖形向三維圖形的重要跨越，對于學生來說具有一定的認知難度.為了延緩學生的認知坡度，教師引導學生將長方體的面畫出來，借助格子紙將對長方體的探究轉化為對長方體的面、棱和頂點的探究，建構起線、面、體之間的內在關系，符合學生的認知基礎，讓學生的思維在二維和三維之間不斷切換，從而體現了轉化思想.

教師引導學生對長方體的面（長和寬）、棱（長度）進行探究，將數與形聯系起來，這又體現了數學中的數形結合思想.

在教學中，教師挖掘知識背后的數學思想方法，讓學生站在數學思想方法的高度審視數學知識，從而真正做到“用數學的思維思考現實世界”，幫助學生獲得對知識的深度理解，助力學生數學核心素養的形成和發展，

5創造生成

應用意識是數學核心素養的重要體現.數學理解作為一種高階思維活動，其必然指向知識的應用.在教學中，教師設計開放性的問題情境，引導學生運用已有知識和經驗，對數學材料進行加工和創造，從而促進問題的順利解決，這正是學生對數學知識創造生成的有力證明.

（1）選一選，它是下面哪個長方體的三條棱.

【設計意圖】設計本題旨在考查學生是否理解了長方體長、寬、高的概念，它不僅要求學生具有一定的空間想象力，還要求學生進行簡單的推理，讓學生認識到只要給出從一個頂點出發的三條棱的信息，就能確定這個長方體，從而培養了學生綜合運用知識解決問題的能力.

（2）判斷下面的展開圖能不能拼成一個長方體.

【設計意圖】本題依托長方體展開圖和立體圖形之間的關系，在二維空間和三維空間中搭建橋梁.通過空間想象，讓學生更加深刻地認識到長方體相對的面完全相同，進而鞏固了長方體面的特征，培養學生的空間觀念，促進學生對知識的深度理解，

（3）一個不規則的實物，至少需要切幾刀才能做成一個近似長方體？

【設計意圖】本題通過讓學生想一想、切一切，不僅進一步鞏固了長方體面的特征，還讓學生經歷運用割補法將不規則物體轉化成近似長方體的過程，從而提升學生的空間觀念，為進一步學習立體圖形奠定基礎.

（4）木工李師傅要把長、寬、高分別是 6cm 、3cm，4cm 的長方體空盒鋸成兩半，使其成為兩個長方體，可以怎樣鋸？鋸開后需要補上兩個什么樣的長方形？

有的學生提出，可以從與長垂直的方向鋸開（如圖2），需要補上兩個長是 4cm 、寬是 3cm 的長方形.

圖2

有的學生提出，可以從垂直于寬的方向鋸開（如圖3），這時需要補上兩個長是 6cm 、寬是 4cm 的長方形.

圖3

有的學生提出，可以從垂直于高的方向鋸開（如圖4），這時需要補上兩個長是 6cm 、寬是 3cm 的長方形.

圖4

【設計意圖】學生從不同的角度看，會得出三種不同的切割方法，進而得出三種不同的結果.本題不僅要求學生對長方體的特征有深刻的理解，同時要求學生有較強的空間想象力，在促進學生對知識深度理解的同時，有利于培養學生創造性思維.

6結語

在教學實踐中，教師要從學生的認知特點和思維規律出發，按照“表象理解一解釋理解一建立聯系一思想運用一創造生成”的順序，讓學生循序漸進、由表及里地學習知識，這不僅有利于促進學生對知識的深度理解，還能發展學生的核心素養，

參考文獻

[1盧曉麗.初中生對平均數理解模型的認知調查—以石家莊市某中學為例D].石家莊：河北師范大學，2020.

[2]蘇宇.“雙減”背景下小學數學“長作業”設計研究[J].數學之友，2025（6）：68-71.