深度學(xué)習(xí)視域下落實(shí)數(shù)概念的一致性的實(shí)踐研究

數(shù)與運(yùn)算作為小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的兩大主題之一，歷來(lái)備受教育者的深切關(guān)注。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2022年版）指出，小學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容，要引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)與運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。數(shù)與運(yùn)算的一致性是貫穿數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要大概念。然而，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育的實(shí)際教學(xué)中，教師們往往過(guò)于聚焦于知識(shí)點(diǎn)的灌輸，教學(xué)組織上過(guò)分追求運(yùn)算結(jié)果的得出，卻往往忽視了數(shù)與運(yùn)算一致性這一深層次概念的滲透和理解。

一、深究數(shù)學(xué)本質(zhì)，理解數(shù)概念的一致性

1.數(shù)的產(chǎn)生機(jī)制基本一致

史寧中教授指出：“事實(shí)上，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)本質(zhì)上是一個(gè)整體：從數(shù)形成與發(fā)展的角度而言，整數(shù)除法運(yùn)算出現(xiàn)不夠除的情形，產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)運(yùn)算不方便，產(chǎn)生了小數(shù)；從數(shù)組成的角度而言，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)均是基于“計(jì)數(shù)單位”建構(gòu)的?！?/p>

在日常生產(chǎn)與生活中，我們起初從物體的量中抽象出具體的數(shù)量，隨后進(jìn)一步提煉出整數(shù)。分?jǐn)?shù)則源于對(duì)比1少的物體的量進(jìn)行表達(dá)，它們同樣經(jīng)歷了從具體到抽象的轉(zhuǎn)化。小數(shù)的產(chǎn)生基于十進(jìn)制記數(shù)法的使用和分?jǐn)?shù)概念的完善。分母為10、100、1000的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)表示。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生機(jī)制是基本一致的，都來(lái)源于對(duì)數(shù)量表達(dá)的需求。

2.“計(jì)數(shù)單位”的核心概念地位一致

“計(jì)數(shù)單位”是數(shù)與運(yùn)算的核心概念。在研讀教材和參考資料的過(guò)程中，我們注意到，不同數(shù)域的“計(jì)數(shù)單位”均源自對(duì)“一”的累加或細(xì)分。在整數(shù)領(lǐng)域中，“一”作為最基本的計(jì)數(shù)單位，源自日常生活的基本需求。而“十”“百”“千”等更高級(jí)別的計(jì)數(shù)單位，則是通過(guò)十進(jìn)制的“滿十進(jìn)一”原則，由“一”不斷累加而成。在分?jǐn)?shù)和小數(shù)領(lǐng)域中，計(jì)數(shù)單位“幾分之一”是基于對(duì)“一”的細(xì)分而產(chǎn)生的。隨著計(jì)數(shù)需求的不斷擴(kuò)展，新的計(jì)數(shù)單位不斷涌現(xiàn)。每一個(gè)新“計(jì)數(shù)單位”都不是孤立存在的。它必須與以往的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系，形成更為龐大的知識(shí)體系。更高的計(jì)數(shù)單位與低的計(jì)數(shù)單位相互聯(lián)系，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相互轉(zhuǎn)化，小數(shù)與整數(shù)相互聯(lián)結(jié)，共同構(gòu)建了代數(shù)知識(shí)的龐大網(wǎng)絡(luò)。

3.計(jì)數(shù)機(jī)制一致，數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)

吳正憲老師提出：“盡管自然數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的意義不盡相同，但對(duì)于數(shù)學(xué)而言，這些數(shù)的表達(dá)是具有共性的，即借助計(jì)數(shù)單位的表達(dá)，更確切地說(shuō)，無(wú)論是口語(yǔ)表達(dá)還是符號(hào)表達(dá)，數(shù)都是“多少個(gè)計(jì)數(shù)單位”的述說(shuō)?！?/p>

在數(shù)的計(jì)數(shù)機(jī)制和數(shù)的表達(dá)中，“計(jì)數(shù)單位”扮演著無(wú)可替代的核心角色。數(shù)都是通過(guò)“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) + 計(jì)數(shù)單位”的形式來(lái)呈現(xiàn)的。如：634表達(dá)的是6個(gè)百、3個(gè)十和4個(gè)一組合而成的結(jié)果， 表示3個(gè) 的和，而0.34則表示為3個(gè)0.1和4個(gè)0.01的和。計(jì)數(shù)單位作為計(jì)數(shù)的核心，在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)領(lǐng)域都發(fā)揮著相同的作用。無(wú)論是在哪個(gè)數(shù)域，計(jì)數(shù)機(jī)制都是通過(guò)數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)來(lái)表達(dá)所含有的計(jì)數(shù)單位的數(shù)量。計(jì)數(shù)機(jī)制的一致性造就了運(yùn)算的一致性。正因?yàn)檎麛?shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都是以“計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù) + 計(jì)數(shù)單位”的形式呈現(xiàn)，所以它們的四則運(yùn)算都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或細(xì)分。

二、開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，探究數(shù)概念的一致性

基于以上思考，在整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中，依據(jù)深度學(xué)習(xí)理念，落實(shí)數(shù)概念的一致性，建構(gòu)數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)，以期學(xué)生能夠深度理解和靈活運(yùn)用數(shù)的概念。實(shí)踐探索數(shù)的一致性的落實(shí)要點(diǎn)：

1.以真實(shí)情境重展數(shù)的產(chǎn)生

深度學(xué)習(xí)倡導(dǎo)聯(lián)想與結(jié)構(gòu)，讓“人類認(rèn)識(shí)成果”與“學(xué)生個(gè)體體驗(yàn)”得以相互轉(zhuǎn)化。數(shù)的產(chǎn)生與生活密切相關(guān)，因此在設(shè)計(jì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的相關(guān)學(xué)習(xí)時(shí)，均可借助真實(shí)情境，設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，達(dá)到“聯(lián)結(jié)”的目的。如，二年級(jí)《1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》，學(xué)生在前期學(xué)習(xí)100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，已經(jīng)積累了一根一根、十根十根地?cái)?shù)小棒的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。本主題的學(xué)習(xí)從數(shù)黃豆的真實(shí)情境中設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，延續(xù)和發(fā)展數(shù)數(shù)方法。一百一百地?cái)?shù)，10個(gè)一百就是一千，從而把計(jì)數(shù)單位“千”與“百”“十”建立聯(lián)系。體現(xiàn)“數(shù)是數(shù)出來(lái)的”這一觀念。又如，在分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)中，設(shè)計(jì)分一張比薩餅活動(dòng)，讓學(xué)習(xí)者體會(huì)整數(shù)無(wú)法完全表達(dá)均分的量。為了表達(dá)比“1”更小的數(shù)，便產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。

學(xué)生在真實(shí)情境中的學(xué)習(xí)活動(dòng)中感悟、聯(lián)想、結(jié)構(gòu)化，豐富其知識(shí)體系。在情境化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)被喚醒、改造，再次歷經(jīng)數(shù)產(chǎn)生的過(guò)程。這一過(guò)程中，他們將學(xué)習(xí)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)與結(jié)構(gòu)內(nèi)化為個(gè)人化的再關(guān)聯(lián)與再構(gòu)建，從而對(duì)知識(shí)內(nèi)容實(shí)現(xiàn)深度的理解。

2.以操作活動(dòng)落實(shí)計(jì)數(shù)機(jī)制核心

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體而不是被動(dòng)的接收者。設(shè)計(jì)操作的學(xué)習(xí)活動(dòng)，可以讓學(xué)生重新經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)現(xiàn)和發(fā)展的過(guò)程。

在計(jì)數(shù)機(jī)制這一關(guān)鍵問(wèn)題上，可以采用多元表征方式，以不同的表征方式來(lái)學(xué)習(xí)和理解計(jì)數(shù)知識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)的機(jī)制就是數(shù)有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位。如，在整數(shù)的數(shù)數(shù)中，采用體積模型表征，出示一些方塊 （如圖1），問(wèn)：有多少個(gè)小方塊？可以一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)完所有的方塊，但是最快最好的方法，是先一百一百地?cái)?shù)整百的數(shù)，再一十一十地?cái)?shù)整十的數(shù)，最后一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)完。這里的百、十、一，是這個(gè)整數(shù)的計(jì)數(shù)單位。分?jǐn)?shù)的數(shù)數(shù)，出示一個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)（如圖2），使用面積模型表征分?jǐn)?shù)。露出部分是一個(gè)整體的， ，這個(gè)整體是什么樣子的？二人小組合作擺一擺，并數(shù)一數(shù)剩余部分是這個(gè)整體的幾分之幾。學(xué)生通過(guò)操作發(fā)現(xiàn)，這個(gè)整體可以是一個(gè)圖形，也可以是一些圖形。剩余部分?jǐn)?shù)一數(shù)，1個(gè) 2個(gè)5、3個(gè)1 4個(gè)1 剩余部分是這1 .個(gè)整體的。 。這里的 ，是這個(gè)分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位。小數(shù)的數(shù)數(shù)，使用數(shù)線模型表征小數(shù)。設(shè)置操作任務(wù)：把一條線段看作1米（如圖3），你能找到0.3米嗎？學(xué)習(xí)者量一量、畫(huà)一畫(huà)，把1米平均分成10份，每份是整體的十分之一，也就是0.1米。0.3就是有3個(gè)這樣的0.1，不管是從左邊取，還是從中間取，只要取夠了3個(gè)0.1，就是0.3。這里的0.1，是這個(gè)小數(shù)的計(jì)數(shù)單位。

通過(guò)操作活動(dòng)，學(xué)習(xí)者經(jīng)歷數(shù)數(shù)的過(guò)程，體會(huì)到不管是整數(shù)、分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，計(jì)數(shù)機(jī)制的核心就是數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，凸顯計(jì)數(shù)單位的重要地位，依此構(gòu)建整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)計(jì)數(shù)機(jī)的一致性。

3.以實(shí)踐任務(wù)驅(qū)動(dòng)遷移與運(yùn)用

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)的理解，是知識(shí)內(nèi)化的過(guò)程。而知識(shí)的遷移與運(yùn)用，則是將內(nèi)在知識(shí)外化的過(guò)程，它讓我們能夠靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題。只有完成了這兩個(gè)過(guò)程，我們才能真正實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解。

為了推進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，我們?cè)O(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，指引學(xué)生主動(dòng)調(diào)動(dòng)知識(shí)解決問(wèn)題。

這些任務(wù)促進(jìn)學(xué)生更加深入地理解知識(shí)，提升對(duì)數(shù)學(xué)的情感態(tài)度，提升審美能力和創(chuàng)造力。

綜上所述，對(duì)于數(shù)的一致性在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)如何落實(shí)的問(wèn)題，課題組引領(lǐng)教師學(xué)習(xí)理論知識(shí)，深究數(shù)學(xué)本質(zhì)。繼而引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，聯(lián)系真實(shí)情境、設(shè)計(jì)操作活動(dòng)和實(shí)踐任務(wù)，探究數(shù)概念的一致性，讓學(xué)生深入理解數(shù)的概念和運(yùn)算的本質(zhì)，從而構(gòu)建起一個(gè)連貫的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。未來(lái)的教學(xué)實(shí)踐應(yīng)繼續(xù)探索和完善這些策略，以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)，即培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維和創(chuàng)新能力。

圖1

圖2

圖3

【注：本文系廣州市教育局“教育科研創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)項(xiàng)目”課題“基于深度學(xué)習(xí)理念的大單元教學(xué)”（課題編號(hào)：202214012）的研究成果之一】

責(zé)任編輯龍建剛