創設生活情境 優化課堂教學

“平面直角坐標系\"屬于數軸的延伸，是人類思維由一維空間拓展到二維空間的體現，同時它還是探索空間關系的基礎.平面直角坐標系的形成源于現實生活，它所描述的是點和坐標一一對應的關系，是促成幾何與代數關聯的重要載體.因此，本研究基于現實生活情境，以“平面直角坐標系”的磨課為例，引導學生由淺入深地感知平面直角坐標系的形成歷程，對其建立直觀感知，并對“有序數對表示點的位置”產生深刻理解，達成知識與技能目標，促進學生推理能力、幾何直觀、空間觀念、數據觀念等數學核心素養的發展.

磨課過程簡錄

1.舊知回顧，喚醒已有認知

原始設計 教師在課堂導入環節引導學生思考：生活中常用什么辦法對某個物體的位置進行描述？

例如教室內某個同學所處的位置該如何描述？隨著問題的解決，抽象出（2，3）這一描述法，在此基礎上要求學生自主分析（2，3）和（3，2）是否指同一個位置？

分析在小學階段，學生已經接觸過“有序自然數對”，以學生在教室內的位置這一情境喚醒學生對知識點的回憶，可提升學生的語言表達能力，問題“（2，3）和（3，2）是否指同一個位置？\"引發了學生的認知沖突，為接下來的教學奠定基礎.

優化設計保留原設計.

2.基于經驗，分析具體位置

原始設計教師用PPT展示一幅簡潔的地圖（見圖1），要求學生通過觀察地圖，分析圖書館的具體位置.

學生通過對圖片的觀察，提出圖書館處于北京西路北30米與中山北路西50米的交匯處.在學生回答的基礎上，教師要求學生思考下列問題：百貨商店位于北京東路南側20米與中山南路東側30米的交匯處，可否從圖1中找到它的具體位置？

分析按照以上方法執教，學生雖然能夠順利應用有序數對來描述對應地標所處的位置，但這個生活情境已經經過初步抽象，學生看到的圖片與真實的生活有所差別.圖1已經明確地將兩條路抽象成了兩條直線，學生缺乏從原始情境中抽象數軸的過程.教學實踐表明，學生雖能準確回答教師所提出的問題，但對坐標系的由來并沒有完全理解.為了解決這個問題，教師決定從學生的生活實際出發，展示一幅真實地圖作為教學背景，讓學生在開放的生活情境中自主抽象出平面直角坐標系，切身體會生活實際與數學的關聯.

優化設計教師展示圖2，要求學生自主觀察地圖，分析點弘陽·旭日華庭西區（用點A表示）與浦口外國語學校（用點B表示）的具體位置，學生自主觀察圖片并將位置信息書寫在草稿紙上，教師對學生的觀察與書寫過程加以巡視，并從中擇取素材投影展示，供所有學生討論交流

圖2

投影1點A的位置處于點B的東北側.

師：你們所呈現的這一結論，有沒有交代清楚點A的具體位置？

生1：沒有，這種說法只是提供了大致的一個方位，具體位置還需要經過測量才能確定.事實上，點A的位置處于點B的北偏東 52^°

師：如果要精確地描述出點A的具體位置，需要如何改進？

生2：還需要明確測量出點A與點B之間的實際距離，測量結論為400米.

師：基于此，能否詳盡地描述點A的具體位置？

生3：可以，點A與點B之間的距離為400米，且點A處于點B北偏東52的位置.

投影2點A處于該地區麗島路的北側，高新南路的東側位置.

師：這種描述方法，有沒有將點A的位置描述清楚？

生4：沒有，這種說法只交代了點A的大致方位，但從這種描述中并不能獲得精準的定位.

師：若想將這一位置描述清楚，可作如何改進？

生5：若想獲得精準的定位，需要分別計算出點A與麗島路、高新南路之間確切的距離.結合地圖可測得它們之間的距離分別為100米與175米，

師：由此可否完整地描述出點A的具體位置？

生6：可以，點A處于麗島路北側100米，高新南路東175米的交匯處.

師：非常好！當我們對某個物體的位置進行描述時，需要借助一些參照物來刻畫方向與距離.與之類似，點B的具體位置該怎樣描述呢？

教學對比評析優化后的教學過程與原教學相比，學生的參與積極性顯著提高.真實的生活情境讓學生對物體的位置描述有了更加客觀的認識，由此發現參照物的重要性，為探索平面直角坐標系時描述點的位置做鋪墊

3.親歷抽象，發展數學思維

原始設計帶領學生觀察圖1，若將兩條主干道視為兩根垂直的直線，它們的交叉點為垂足，可否用有序數對來描述圖書館與百貨商店的具體位置？在問題的驅動下，學生分別提出用有序數對（50，30），（30，20）來表示這兩個地方.

師：對于這兩種表示方法，有沒有同學存在不同意見？

有學生提出這兩個數對都不具備唯一性.教師順應學生的思維，要求學生說一說該如何表示才能讓其具有唯一性？學生分別提出（-50，30）與（20，-30）的表示方法，并強調這兩條互相垂直的直線與之前探索過的“數軸\"具有高度相似性，準確來說就是兩條互相垂直，原點為垂足的數軸.基于此，師生共同抽象出平面直角坐標系的概念，并分別提煉出坐標橫軸（x軸）坐標縱軸（y軸）的概念，學生通過自主繪制平面直角坐標系（見圖3），揭露有序數對與坐標的關系以及坐標系的四個象限.

分析圖1本就是一張抽象過的圖，因此在提煉平面直角坐標系時比較流暢，但此過程沒有回顧數軸的三要素，整個教學節奏較快，難以達到深度學習的目的.若能減緩抽象平面直角坐標系的過程，則能讓學生親歷坐標系的“再發現”與“再創造”，促成深度學習.

優化設計觀察圖2，若將圖中的麗島路與高新南路視為互為垂直關系的兩根直線，那么如何在圖中分別找到點A與點B的位置？請嘗試用數對來描述這兩個點的位置.

學生自主作圖并小組合作，教師加強巡視，適當指導，并選擇學生的成果進行投影展示.巡視過程中發現學生在確定點A，B的位置時比較隨意，教師針對這一問題進行點撥.最終學生成功繪制出圖4，并對繪制過程進行討論交流.

圖4

師：圖中的點A，B可以用有序數對來描述嗎？

生7：可以，點A為（175，100），點B為（125，130）.

對于這一結論，立即有學生提出反對意見，因為這種表述方法能確定的點并不止一個，因此需利用正負號對點的具體位置加以區分，如點 B 可用（-125，-130）來表示.經過互動交流，學生表示必須給直線添加上方向，才好確定正負號的位置，由此構成圖5.

圖5

師：圖5所呈現的兩根直線與什么類似？

生8：與數軸類似，可以將其理解為原點重疊、互相垂直的兩個數軸

師：非常好！這就是我們本節課所研究的重點知識一平面直角坐標系，其中處于水平方向的為坐標橫軸（ x 軸），處于豎直方向的為坐標縱軸（ ?y 軸）.接下來，我們一起繪制平面直角坐標系，請大家觀察圖6中的點 P ，說一說該點的表示方法

圖6

隨之抽象出有序數對 （a，b） ，并將其定義為點P的坐標

教學對比分析對比兩次教學過程，發現優化后的教學設計需要學生自主從真實生活情境中抽象出坐標系，這一過程與數學家們最初發現坐標系的過程具有相似性，且與學生的認知發展規律相匹配.分別用數對來描述點A，B時，需將距離轉化為點相對應的數，學生從自身的生活經驗著手，切身體會到方向、單位長度的重要性，由此形成用數學的眼光觀察世界的能力.由此可見，真實情境的設計與問題的提出，能有效激發并促進學生主動參與教學活動.

4.應用例題，提升數學認知

原始設計

例1要求學生分別寫出圖7中各個點的坐標，并思考各個象限上的點分別有什么特征，處于坐標軸上的點又具備怎樣的特點.

圖7

例2分別在平面直角坐標系內找出下列各點： ?A（4，1），B（1，-1） ，C（1，-5），D（-3，0）.

在學生完成找點的基礎上，思考平面直角坐標系上的任意點與坐標的關系，由此揭露“一一對應\"的本質.

分析此過程，在學生探尋完坐標之后，就要求學生自主分析各個象限以及坐標軸上點的特征，跨越度較大，學生缺失了一次“由形到數\"的建構經歷.

優化設計沿用原來的兩個例題，在學生完成例題的基礎上，要求學生交流尋找點坐標的具體方法，并引導學生在圖7內多畫一些點，自主總結點的位置與坐標之間的聯系，促使學生親歷\"由形到數\"的過程，由此提煉出坐標特征與點位置之間的關系.

教學對比分析增加學生自主探索點位置與坐標聯系的過程，不僅讓學生親歷了“數”與“形\"的互相轉化的過程，還讓學生對不同象限點的特征有了更進一步的理解.學生的思維隨著課堂的推進更加活躍，并主動提出接下來需要通過對坐標的分析，明確點的位置.如此設計可進一步發展學生的數學逆向思維，有效推動學力的發展

5.總結提煉，鞏固升華理解

要求學生從不同的視角評價本節課的教學，并談一談自己在課堂中的收獲與感悟.在學生自主表達的基礎上，教師利用微視頻播放平面直角坐標系的形成歷程，以及確定物體位置的其他方法，以進一步鞏固與提升學生的認知，強化學生的數學理解，由此進一步體會數學抽象的重要價值與意義.

此過程兩次設計一致.

教學思考

新課標強調了“三會\"能力培養的重要性，其中“會用數學的眼光觀察現實世界”是“三會\"的基礎，也是發展數學核心素養的必經之路.學生在課堂中的\"數學眼光\"主要體現在對實際情境的抽象能力上，即通過對現實情境的觀察抽象出相應的數學知識，發現其中蘊含的空間形式與數量關系.然而，學生要通過數學學習達到“三會”，不是一蹴而就的，這是一個長期積淀、逐步發展的過程，立足于“三會”的教學要注重學生實際[2.因此，教師在課堂上要根據學情與教情來創設情境，越是接近真實生活的情境，越能給學生以代入感，從而發展抽象能力.

本節課的原始設計，教師所呈現出的地圖已經經過初步抽象，學生就缺少了自主從真實情境中將馬路抽象成直線的過程.優化改進后的教學方案，則直接應用一張真實的地圖，讓學生主動觀察分析圖中點A，B的具體位置.學生因為親歷了將馬路抽象為直線的過程，對有序數對的理解更為深刻.隨著探索的深入，學生自主發現需要在抽象而來的圖象上添加箭頭以表示方向，此為區分平面內正負的重要依據，由此可見，真實的生活情境對培養學生的數學眼光具有重要價值.

總之，磨課對于教師的成長具有重要促進作用.在磨課過程中，磨的是教師的教學理念、習慣、耐心、恒信與愛心等.真實生活情境的介入，可讓學生在嘗試、辯證、思考中抽象出生活現象中的數學本質，讓課堂充滿生命力，這對發展數學核心素養具有促進意義.

參考文獻：

[1]周進榮.基于真實情境的數學問題創設的策略與思考一以“二元一次方程的教學為例[J].中學數學，2023（22）：6-7.

[2]黃翔，童莉，李明振，沈林.從“四基”“四能\"到\"三會”：一條培養學生數學核心素養的主線[J].數學教育學報，2019，28（5）：37-40.