“雙減\"背景下初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的研究

“雙減\"背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)重視從“量\"向“質(zhì)\"轉(zhuǎn)型，在減輕學(xué)生學(xué)業(yè)負擔(dān)的同時，提高課堂教學(xué)效率[1].在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其在概念、公式、法則等知識的教學(xué)中，教師往往采用直接講授的方式進行教學(xué)，忽視知識的形成過程與知識之間的聯(lián)系，使學(xué)生對知識的理解不夠深刻、全面、系統(tǒng)，進而影響學(xué)生知識體系的建構(gòu)、遷移能力的提升以及“減負增效”教學(xué)目標(biāo)的落實.基于此，在實踐教學(xué)中，教師應(yīng)以深度學(xué)習(xí)理論為支撐，創(chuàng)造機會讓學(xué)生主動參與知識的建構(gòu)過程，從而使教學(xué)從“教知識\"轉(zhuǎn)向“教思維”，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí).筆者在教學(xué)“完全平方公式\"時，以學(xué)生已有知識經(jīng)驗為出發(fā)點，著重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷公式的生成、推導(dǎo)、應(yīng)用等過程，讓學(xué)生將舊知與新知建立聯(lián)系，進而幫助學(xué)生更好地理解知識，完善知識結(jié)構(gòu)，提高學(xué)習(xí)效益

教學(xué)背景

本課知識內(nèi)容既是多項式乘多項式的運用，又是后續(xù)因式分解中公式法的基礎(chǔ)，同時也為分式化簡和研究一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用.教學(xué)中，部分教師忽視公式形成過程，直接引導(dǎo)學(xué)生將抽象的代數(shù)公式轉(zhuǎn)化為另一個抽象的代數(shù)公式，這樣不僅不利于學(xué)生理解和記憶，而且會影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和課堂教學(xué)效果.在實踐教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩個視角去發(fā)現(xiàn)和推理公式，以此感悟數(shù)形結(jié)合、代數(shù)推理等數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用價值，揭露公式間的內(nèi)在聯(lián)系和本質(zhì)，有效規(guī)避張冠李戴情況的發(fā)生，讓學(xué)生真正地掌握完全平方公式，進一步發(fā)展學(xué)生的推理能力和運算能力.

在學(xué)習(xí)本課內(nèi)容前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了整式乘法和平方差公式，具有一定的邏輯推理能力，因此教學(xué)中教師應(yīng)放手讓學(xué)生去探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完全平方公式發(fā)現(xiàn)、推理、應(yīng)用的全過程，以此發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，鍛煉學(xué)生的綜合能力，為后續(xù)因式分解、配方法、一元二次方程、二次函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠基.

教學(xué)過程

1.以舊換新，感知公式

師：你能化簡下列式子嗎？

（1）（a+b）（c+d）;（2）（x+3）（x+3） 3）；（3） （2a+b）（2a+b）

題目給出后，學(xué)生結(jié)合多項式乘多項式的知識，給出答案： （1）ac+ ad+bc+bd ： （2）x²+6x+9 ： （3）4a²+ 4ab+b².

師：分析以上三個式子，說說它們之間具有怎樣的關(guān)系？

生3：可以將其視為特殊與一般的關(guān)系，（2）3）是（1）的特殊情況

師：你能具體說說特殊在哪里嗎？生4：若在（1）中設(shè) a=c=x，b=d= 3，則（1）可以轉(zhuǎn)為（2）的形式;同理，若在（1）中設(shè) a=c=2a，d=b ，則可以將（1）轉(zhuǎn)化為（3）的形式.

師：很好，其實（2）（3）也就是我們前面所學(xué)的多項式乘多項式的特殊情況.

師：對比觀察以上三個式子的化簡結(jié)果，說說它們有何不同之處呢？

生5：它們的項數(shù)不同，（1）有四項，（2）（3）有三項.

師：很好，請結(jié)合（2）（3）式子的特征，寫出兩組同類型的式子并化簡，

學(xué)生列舉實例并化簡，如 （p+1） ：（p+1）=p²+2p+1.

師：很好，結(jié)合以上探究過程，觀察這些式子具有怎樣的一般規(guī)律，你能用符號語言表示這個一般規(guī)律嗎？

學(xué)生通過觀察、交流、抽象，得到一般性規(guī)律，即 （a+b）²=a²+2ab+b²

設(shè)計意圖從學(xué)生已有整式乘法經(jīng)驗出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生主動思考、對比，體會不同式子間的區(qū)別與聯(lián)系，建立起完全平方公式與整式乘法的橋梁.在復(fù)習(xí)整式乘法的同時，促進了新知的生成，實現(xiàn)了知識的整體建構(gòu)，提高了學(xué)生的自主探究能力.在此過程中，教師重視滲透特殊與一般的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生用聯(lián)系和發(fā)展的眼光看待問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和應(yīng)用能力.

2.史實引入，推理論證

師：古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得被稱為“幾何之父”，他的著作《幾何原本》是世界上最早公理化的數(shù)學(xué)著作，是數(shù)學(xué)史上的一部經(jīng)典之作.在這本書中，有這樣一個表述：如果任意兩分一條線段，則在整個線段上的正方形等于各個小線段上的正方形的和加上由兩個小線段構(gòu)成的矩形二倍.說說你是如何理解這句話的？

題目給出后，部分學(xué)生很難理解這句話的意思，教師鼓勵學(xué)生動手畫一畫，借助圖形進行理解.學(xué)生通過動手操作得到圖1所示的圖形.

圖1

師：結(jié)合圖1，你能解釋上面那句話嗎？

生6：將一條線段分為長為 a 和b的兩段，以 （a+b） 為邊長的正方形的面積等于以 ^a，b 為邊長的兩個小正方形的面積加上以 a 為長， b 為寬的兩個長方形的面積.

師：很好，結(jié)合以上描述，你能用符號語言表述嗎？

生7： （a+b）²=a²+2ab+b².

師：很好，借助圖形的面積得到這一結(jié)論，進一步驗證了上面的一般規(guī)律.

設(shè)計意圖教師鼓勵學(xué)生動手操作，讓學(xué)生從幾何視角出發(fā)，借助圖形面積得到完全平方公式，體會“數(shù)形結(jié)合”思想方法的應(yīng)用價值，幫助學(xué)生更好地理解和記憶完全平方公式.同時，在此過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生用圖形語言、文字語言和符號語言進行描述，有利于鍛煉學(xué)生的歸納概括能力和表達能力，發(fā)展學(xué)生抽象能力、幾何直觀、推理能力等核心素養(yǎng).另外，教師重視滲透數(shù)學(xué)文化，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)展歷程，有效吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的探究興趣

3.公式論證，深入探究

師：結(jié)合以上知識經(jīng)驗，你能化簡 （a-b）² 嗎？

生8 ：（a-b）²=[a+（-b）]² ，將（ ^a+ b）²=a²+2ab+b² 中的b用 -b 代換即可，所以有 （a-b）²=a²-2ab+b².

師：你能分別用代數(shù)和幾何的方法進行推理嗎？

生9：將 （a-b）² 看作 （a-b）（a-b） 0運用多項式乘法法則進行推導(dǎo)，所以 （a-b）²=（a-b）（a-b）=a²-2ab+b².

生10：類比以上推導(dǎo)過程，我們可以借助圖形的面積來解釋.如圖2，邊長為 （a-b） 的正方形的面積可以表示為 （a-b）² ，也可以表示為邊長為a的大正方形的面積減去2個長和寬分別為 ^a，b 的長方形面積，再加上邊長為b的正方形面積，即 a²-2ab+b² 所以有 （a-b）²=a²-2ab+b².

圖2

師：非常好，我們將前面探究所得到的公式 （a±b）²=a²±2ab+b² 稱為完全平方公式.

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩方面驗證公式，以此加深對公式的理解和記憶，提高學(xué)生的邏輯推理能力.在此過程中，教師將課堂交給學(xué)生，鼓勵學(xué)生去思考、驗證，讓學(xué)生充分體驗成功的喜悅，提高參與學(xué)習(xí)的積極性和主動性，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).

4.公式辨析，把握本質(zhì)

問題1判斷表1各式能否用完全平方公式計算得到？如果可以，請指出其中的a和b，并給出計算結(jié)果.

學(xué)生獨立思考后，教師展示學(xué)生的思考過程

生11：第1個可以用完全平方公式，其中 2a 是公式中的 ?_a，3b 是公式中的 ?_b ，所以計算結(jié)果是 4a²+12ab+9b² 師：很好，下一題呢？

表1

生12：可以用完全平方公式計算，將其看成 （4b-3a）（4b-3a） ，其中4b是公式中的 a，3a 是公式中的b，所以計算結(jié)果是 16b²-24ab+9a².

師：下一題呢？

生13：也可以用完全平方公式計算，其中- ?a 是公式中的 a，-2b 是公式中的 b ，所以有 a²+4ab+4b².

師：下一個.

生14：也可以用完全平方公式計算，原式可以變形為-（3a-5b）·（3a-5b），3a 是公式中的 ^a，5b 是公式中的b，所以計算結(jié)果為- （9a²-30ab+ 25b² ，即 -9a²+30ab-25b²

師：下一個.

生15：原式可以變形為 [a+（c+ d）][a+（c+d）] ，可以用完全平方公式計算，此時 是公式中的 Δ_b ，所以有 a²+2a ι（c+d）+（c+d）²=a²+2ac+

生16：也可以將 （a+c） 看成公式中的 是公式中的b，化簡結(jié)果相同.

師：很好，雖然計算過程有所不同，但其本質(zhì)是相同的.最后一題誰來說一說？

生17：原式可以變形為-（ 2c²+ 5d）（2c²+5d） ，可以用完全平方公式計算，其中 2c² 是公式中的 a，5d 是公式中的b，所以有- ?（2c²+5d）（2c²+5d） =-4c⁴-20c²d-25d². （204號

師：很好，通過以上問題的解決，你有怎樣的收獲？

生18：完全平方公式中的 a 和b可以表示單項式或多項式.

生19：變化的是字母，不變的是結(jié)構(gòu).

設(shè)計意圖通過對完全平方公式進行變形，讓學(xué)生從本質(zhì)上把握完全平方公式，理解公式中a和b的真正含義，以此提升學(xué)生的思辨能力，培養(yǎng)學(xué)生的運算素養(yǎng).

5.課內(nèi)鞏固，夯實基礎(chǔ)

例1請完成下列計算：

（1）1012； （2）99² ；（3 ）0.888²× 0.224+0.888³+0.112²×0.888. （204

題目給出后，教師鼓勵學(xué)生用簡便方法計算.學(xué)生靈活應(yīng)用完全平方公式解決了問題，如（1）題變形為（ ；（2）題變形為（100-1）2；（3）題變形為 0.888（0.888+0.112）²

例2如圖3，小明做作業(yè)時不小心將墨水滴到試卷上，已知該式子是一個完全平方式，你知道原題是什么嗎？

圖3

學(xué)生獨立思考，教師展示學(xué)生的思考過程.過程如下：若其是完全平方式，可能是 （x-3）² 或 （x+3）² ，所以被遮擋的部分可能是 ±6.

例3請在括號中填寫合適的數(shù)或式子，使其成為完全平方公式：

（1）a²++9=²; （2）4x²+8x+=²; （20（3）a²++9=² （4）5p²+（?）+（?）=（?）².

學(xué)生獨立求解，教師呈現(xiàn)學(xué)生的解題過程.最后一題為開放題，其答案不唯一，教師展示學(xué)生答案，并讓學(xué)生闡明理由.

例4公元9世紀(jì)，阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·花拉子米在解方程 x²+2x=35 時巧妙地借助了完全平方公式及正方形圖形得到了方程的一個正根.他構(gòu)造出如圖4所示的圖形，你能借助這個圖形及完全平方公式求方程 x²+ 2x-35=0 的正根嗎？

圖4

學(xué)生獨立思考后，教師與學(xué)生互動交流.

師：結(jié)合已知條件，你想到了什么？

生20：結(jié)合圖形可知，正方形的面積為 （x+1）² ，即 x²+2x+1 ，而原方程可以變形為 x²+2x+1=35+1 ，即邊長為（x+1） 的正方形的面積為36，所以正方形的邊長為6，故 _?x=5 業(yè)

師：很好，類比以上構(gòu)造方法，請構(gòu)造出符合方程 x²+6x-7=0 的一個正根的正方形

（學(xué)生積極操作、交流）

生21：如圖5，將邊長為 x 和邊長為3的正方形外加兩個長為3，寬為 的長方形拼在一起，組成的大正方形的面積為 x²+2×3×x+3² ，即 x²+6x+9 業(yè)將原方程變形得到 x²+6x+9=16 ，即邊長為 （x+3） 的正方形的面積為16，所以 x+3=4 ，故

圖5

師：將其轉(zhuǎn)化為完全平方公式的形式，然后直接開平方的計算方法，我們稱為“配方法”，在后面學(xué)習(xí)解一元二次方程時，我們會重點研究這種方法.

設(shè)計意圖此環(huán)節(jié)教師將完全平方公式進行變形，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次地分析和解決問題，以此加深學(xué)生對知識的理解，規(guī)避機械的記憶和套用，有效拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生的知識遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，促進學(xué)生全面發(fā)展.在研究例4時，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個角度進行推理，不僅能讓學(xué)生充分體會數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用價值和數(shù)學(xué)知識之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系，還能讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系和發(fā)展的眼光看待問題，促進知識的遷移應(yīng)用以及學(xué)生分析和解決問題能力的提升.

6.歸納反思，升華認知

師：通過本課內(nèi)容的學(xué)習(xí)，請大家思考這樣幾個問題：（1）本節(jié)課我們學(xué)到了哪些知識？你有哪些收獲？（2）本節(jié)課知識與我們之前所學(xué)的哪些知識內(nèi)容有著密切的聯(lián)系？（3）在研究本課知識內(nèi)容時，我們運用了怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

學(xué)生獨立歸納后，組織學(xué)生進行組內(nèi)交流，教師進行點評和完善

設(shè)計意圖通過創(chuàng)設(shè)問題，引導(dǎo)學(xué)生從知識、思想、方法、經(jīng)驗等方面進行歸納總結(jié)，以此加深對知識的理解，感悟知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐漸完善個體知識結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng).

教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)公式不僅僅是解題的重要工具，它的背后還承載著重要的數(shù)學(xué)思想.數(shù)學(xué)公式教學(xué)應(yīng)超越“工具主義”，轉(zhuǎn)向理解、應(yīng)用、創(chuàng)造.“雙減”背景下，教師需要減少機械訓(xùn)練，增加思維活動，讓公式成為構(gòu)建數(shù)學(xué)認知網(wǎng)絡(luò)的“樞紐點”，而非記憶負擔(dān).

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)從教師的“教\"轉(zhuǎn)向?qū)W生的“學(xué)”，創(chuàng)造機會讓學(xué)生主動參與公式發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、應(yīng)用的過程，既要讓學(xué)生知道它“從哪里來”，又要讓學(xué)生知道它“要去向哪里”，讓學(xué)生認識公式的本質(zhì)，以此達成深度學(xué)習(xí).在本課教學(xué)中，教師從學(xué)生已學(xué)的多項式乘多項式出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)蘊含其中的規(guī)律，并讓學(xué)生從“代數(shù)\"和“幾何\"兩個角度進行推理驗證，這樣不僅加深了學(xué)生對于公式的理解和記憶，而且促進了學(xué)生推理能力、幾何直觀、運算能力等核心素養(yǎng)的提升.另外，應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師將完全平方公式進行變形，有效增加了思維含量，讓學(xué)生多角度理解公式，以此促進深度學(xué)習(xí)，切實提高課堂教學(xué)的效率.

總之，深度學(xué)習(xí)不是記憶性學(xué)習(xí)，而是理解性學(xué)習(xí)、過程性學(xué)習(xí).教學(xué)中，教師要將知識進行整合，合理地創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將新舊知識進行聯(lián)系，讓學(xué)生借助已有知識經(jīng)驗主動探究新知，實現(xiàn)知識遷移，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題的能力，落實學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

參考文獻：

[1]盧林巧.新時代“雙減\"背景下如何提高初中數(shù)學(xué)課堂效率[J].亞太教育，2022（18）：126-128.