基于MPCK理念的中學數學教學設計研究

引言

自黨的十八大以來，以習近平同志為核心的黨中央始終將教育發展視為國家繁榮昌盛的基石，高度重視并將其確立為優先戰略重點.在這一宏觀政策的引領和推動下，數學教學也發生了深刻變革，不再僅僅側重于知識的灌輸，而是更加注重學生的綜合素養和綜合能力的培養.而作為一種重要的教學設計理念，MPCK（數學學科教學知識）強調教師在數學教學中需要綜合運用數學學科知識（MK）、一般教學法知識（PK）和數學學習知識（CK）.這一理念認為，教師的MPCK能夠直接影響數學教學設計的質量，進而影響數學教學效果.在中學數學教學中，“最短路徑問題”作為一個典型的應用題，學習該問題不僅能夠培養學生的數學思維和問題解決能力，還能夠讓學生體會到數學知識在實際生活中的應用價值.

“最短路徑問題”在數學教學中至關重要.結合之前所學的幾何知識，比如“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短\"等等，學生通過該課程可學會用數學的方式將實際問題轉化為數學問題并求解，培養其模型觀念，初步感知數學建模的基本過程.教學設計時，教師需深請授課內容知識背景，并結合學生的認知結構，靈活地選用教學方法，從而達成有效教學.

本文聚焦于MPCK理念下的中學數學教學設計，以“最短路徑問題\"為例，剖析如何整合MK、PK、CK設計教學流程，以及如何借助教學實踐培養學生的數學核心素養.

MPCK理論概述

1986年，美國斯坦福大學教授、教育家舒爾曼首次提出教師專業知識結構理論，把教師的專業知識分為7類，核心是學科教學內容知識，簡稱PCK[1.基于PCK理論，黃毅英等研究者結合數學學科特性，提出數學學科教學知識（MPCK）[2].他們將數學教師開展常規教學所必須具備的知識分為三類：數學學科知識（MathematicsKnowledge，MK）；一般教學法知識（PedagogicalKnowledge，PK）；有關數學學習的知識（ContentKnowledge，CK）.為了明晰MPCK內涵，郭內使用圖1來表示三類知識與MPCK的關系，強調教師教學經驗增長會使這三類知識范圍擴大，進而豐富MPCK.在教學實踐中，教師需綜合運用MK、PK、CK，才能更有效地實現知識從科學形態到教育形態的轉化[3].

圖1

根據學者研究，分析教學中教師的MPCK各成分的維度如下：

MK包含了4個維度，數學觀念、數學學科內容知識、數學思想方法以及數學史知識；PK包含4個維度，教育觀念、教育理論知識、課程知識以及教學知識；CK包含4個維度，學生發展的知識、學生學習的認知因素與非認知因素知識以及學習環境的知識[4

MPCK視角下最短路徑問題教學設計

本文以“最短路徑問題\"為例，詳細分析并設計基于MPCK視角的教學過程.

1.設計合理教學目標

從MK的角度看[5]，在《義務教育數學課程標準（2022年版）》中，本節課屬于綜合與實踐這一部分，需要學生能夠綜合運用所學的數學知識與技能去解決一些生活和社會中的問題.在初中階段，學生已經掌握了諸如“兩點之間，線段最短\"\"連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短”，以及軸對稱、平移、旋轉等基本圖形變換知識.因此本節課的教學目標是引導學生能夠運用這些已有的數學知識，將實際生活中的問題轉化為數學模型進行解決[6.

從PK的角度看，本節課適宜采用情境式教學法，鼓勵學生通過跨學科的學習探索問題.因此該設計使用\"討論法\"開展教學，鼓勵學生將現實生活中的情境抽象為數學中的點、線、面之間的關系，將尋找最短路徑的問題抽象為研究數學中的線段長度和最小值問題.接著，利用軸對稱性，將復雜的問題簡化為“兩點之間，線段最短\"的基本原理.

從CK的角度看，最短路徑問題是關于尋找最優解的典型例子.雖然初中生具備較強的觀察、操作和猜想能力，但他們可能較少在幾何學中接觸最值問題，因此在抽象思維和語言表達方面有所欠缺.教學過程中教師應充分利用動畫或直觀圖形幫助學生實踐探究，逐步理解并總結出解決最短路徑問題的方法.此外，教師還需根據學生的個體差異進行靈活調整，考慮每個學生的發展水平，確保教學內容既具有挑戰性，又易于理解和接受.

因此通過以上分析，制定教學目標7如下：（1）學生能夠熟練運用相關知識，精準確定平面內一條直線同側兩點到直線上一點距離之和為最小值時該點的所在位置.（2）引導學生將生活情境抽象為數學問題，借助軸對稱的相關性質探究最短路徑問題.（3）借助直觀教學與小組探究活動，引導學生探究總結最短路徑問題的解法.

2.設計合理的情境，引導學生探究核心問題

根據MK理論，本節內容既基于學生之前所學知識，又為后續學習打下了基礎，因此在此環節中，教師應設置合理的情境，既包括之前所學，又能循序漸進地引出本節課的內容，根據PK理論，數學本身就是一門歷史悠久的科學，古往今來，從結繩記事開始，數學就在人們的生活中常常露面.而最短路徑在距今1300多年前的詩詞中就有所體現，可以通過跨學科知識以及結合當前的社會熱點問題作為情境引入，讓學生感受學習本節內容的必要性.根據CK理論，引導學生開展小組討論合作探究，讓學生自主將現實中的具體問題抽象為數學問題，并運用所學知識解決

情境一唐代杰出詩人李頒在其名作《古從軍行》中有一句：“白日登高望烽火，黃昏飲馬傍交河”，此句暗藏了經典的“將軍飲馬問題”詩中的將軍于瞭望烽火后自山腳下點A啟程，前往河邊飲水，再穿越至河對岸點B安營扎寨.那么，將軍如何行走可使總路程最短？

圖2

（1）總路程最短的判斷標準是什么？（2）依據題目所給條件，你能畫出題目中所蘊含的平面示意圖嗎[8]？（如圖2所示）（3）這個問題可以抽象成什么數學問題？如何表述？（4）請問馬兒在何處飲水總路程最短呢？

情境二不幸的是，將軍在戰斗中失利，我方營地撤到了河流的另一側，但“你為我披荊斬棘，我愿為你解渴潤喉\"的精神并未改變.即便如此，將軍仍計劃帶馬至河邊飲水.若將軍從山腳下點A出發，沿河飲水，再回到新營地點 B^′ ，應如何行動以確保總路程最短？

（1）情境一與情境二有什么相似之處？（2）依據題目所給條件，你能畫出題目中所蘊含的平面示意圖嗎？（如圖3所示）（3）依據軸對稱的相關理論以及性質，你能否找出滿足題目條件的點 B^′？ （4）我們如何運用已有的知識去證明A C+CB^′ 的總和是最小值？（5）當我們證明A C+CB^′ 是最小值時，為什么要在直線上任取一點C^′ （與點C不重合），證明A C+BC′ +BC^′ ？

情境三將軍以一己之力，讓敵軍節節敗退，為了表達對忠誠伙伴的感激，將軍決定從營地A出發，帶著戰馬前往草地邊緣 ∴l₁ 覓食，繼而在河邊 Φ_l2 取水，最后返回營地.為了實現總路程最短，他應當如何規劃這條路線？

圖4

（1）情境三與情境一、情境二有什么相似之處呢？（2）依據題目所給條件，你能畫出題目中所蘊含的平面示意圖嗎？（如圖4所示）（3）如何利用所學知識解決問題？（4）總結情境一、情境二與情境三之間的異同點.

從MK的視角來看，教師在引入新課時關注本章知識與已有知識的聯系，同時通過合理的問題情境啟發學生學習.其中情境一引導學生體會如何將實際問題轉化為數學問題，培養學生的模型觀念，初步感知數學建模的基本過程，并能夠回憶“兩點之間，線段最短”的相關知識點；情境二通過將“同側\"難于解決的問題轉化為“異側\"容易解決的問題，滲透轉化的數學思想，并且利用動畫讓學生清晰感知最短路徑.情境三則是對情境一、情境二的合理變式，使得數學知識與生活情境巧妙地融合在一起.以上三種情境結合認知科學理論，循序漸進地讓學生感知該題型特點，有助于學生形成自己的知識體系.

從PK的視角來看，本部分內容將學生所學運用于實際，教師以“將軍飲馬問題”為載體，開展“最短路徑問題”教學.通過合理變化情境，設計一系列連貫的問題串，引導學生積極思考.同時，借助圖形和動畫直觀演示，幫助學生更好地理解問題.這樣的教學不僅能夠順利實現從舊知到新知的過渡，還能有效激發學生的學習興趣.

從CK的視角來看，從學生已有的認知結構出發，培養學生將實際問題抽象為數學問題的能力，旨在發展學生的抽象能力、模型觀念等數學核心素養.

3.引導角色轉變，學生自主出題

從MK的角度，為了讓學生能夠清楚知道最短路徑的核心問題及解決思路，教師需要設計合理的問題層層遞進地明晰本節課的知識點；從PK的角度，為了讓學生能夠轉變角色，教師需要采用啟發式的問答法，積極鼓勵學生作答；從CK的角度，教師可引導學生進行探究式的自主學習，通過情境創設與問題引導，鼓勵學生提出自己的疑問，主動建構自己的問題框架.

此時學生剛從情境問題中體會到最短路徑問題知識，但是在一系列相關問題串的啟發下，仍扮演被動思考的角色.此時，教師可詢問學生對此情境是否還有其他發現，將學生從“被動\"向“主動\"牽引，引導學生再觀察、再思考，激發學生的好奇心與探索欲.

在原本的情境中，我們討論了將軍帶小馬去往河邊飲水又回軍營的路徑問題.在解題過程中我們運用了“兩點之間，線段最短”“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短\"以及軸對稱、平移、旋轉等圖形變換知識，除此之外，題目中還有哪些可發掘的有價值的信息呢？（1）面對復雜的情境題，我們該如何應對呢？如何可以使得我們的思考簡單一些呢？（2）這道題目對你而言難在哪里？復雜在哪里？（3）我們所抽象出來的圖形有什么特點？（4）結合所作圖形，從剛才的\"復雜點”入手，我們可以有哪些方法解決這些問題呢？（5）如果你作為最短路徑問題的出題者，會怎么做呢？

經過以上問題鏈可以引導學生自行總結題目中的重難點.對于該問題所建立的數學模型學生已有了清晰的認識，針對最短路徑問題一“將軍飲馬問題”，包括\"兩點一線\"（通過情境一與情境二可總結）“一線兩點\"（通過情境三可總結）等形式，學生可以運用軸對稱的知識去解決.以上問題鏈能夠幫助學生領會探究問題的核心思路與常用手段，讓學生領略到軸對稱在攻克最短路徑問題時的關鍵作用，從而領悟到轉化思想所蘊含的寶貴價值，再進一步深化學生對先前課堂上所呈現問題情境的認知與體悟.

從MK的視角來看，本節課難點在于如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.在之前情境的學習中，教師引導學生將處于同側的兩點利用軸對稱轉化為異側的兩點，再利用“兩點之間，線段最短\"求出答案.在這一環節，教師引導學生感知問題情境，總結最短路徑問題常見形式，讓學生明晰最短路徑問題的核心內容以及基本特征.

從PK的視角來看，教師通過引導性的問題，從復雜情境著手，讓學生思考這類題的難點所在，再對整理出來的圖形進行比較，思考用到了哪些知識點，且不同情境中圖形的共同與不同之處，進而探尋解決這些難點的方法.教師沒有直接告訴學生最短路徑問題的主要形式，而是通過相關問題讓學生在思考中尋找答案，自我總結，這充分發展了學生的數學思維.再通過轉換角色讓學生成為“出題人”，從而進一步深化對該問題的理解.

從CK的視角來看，學生在問題情境的教學中已經對最短路徑問題有了初步的認識，而本節課的重難點在于學生能否自行利用所學解決最短路徑問題.在這一環節，教師教學的關鍵是通過問題串的引導，讓學生自行總結最短路徑問題的特性，并通過轉換角色加深學生對知識的理解.

以下是學生所出的部分題目：

（1）茶文化源遠流長，歷久彌新，融合在數學知識中的它們則更具有魅力.流觴曲水，風雅一世.永和九年暮春之初的那場蘭亭聚會讓人銘記不忘.假如你坐上時光機，穿越回那場文學盛會.穿過崇山峻嶺，前面是一片竹林.伐竹取道，豁然開朗，你的眼前出現一條寬約5米的小溪，清流急湍，映帶左右.你離這條小溪約8米，而書圣王羲之在距離溪10米左右.如果你此時迫切地想見到他，請選擇最短的道路并計算其長度.（你們的橫截距離為12米）.

（2）古人喜歡結伴游玩，兩兩一對.李白今日約了三人：杜甫在 這條直線上運動消食，王維在y軸上散步，汪倫在B點的桃花潭上等候.請問李白如何規劃路線才能使路程最短？（如圖5所示，李白位于點 ，汪倫位于點 ，李白需到杜甫處并行走至王維與汪倫距離中點處飲酒等待并介紹兩人認識）

圖5

學生所構建的問題情境巧妙地結合了中國傳統文化，在問題（1）中學生巧妙地利用與書圣王羲之會面的情境通過兩點一線求出最短距離問題（2）通過設置李白、杜甫、王維、汪倫四人會面的獨特情境，為題目增添了趣味性.同時，問題（2）巧妙地結合了之前所學的平面直角坐標系，使內容更加豐富，在解決這一問題時，學生巧妙引入輔助線和輔助點，并運用多種方法求解，展現了較高的思維靈活性和創新意識.

通過這樣的操作，培養了學生的創新意識，提高了學生的數學素養和解決問題的能力，深化了學生對相關知識的理解.

4.梳理相關知識，總結歸納課堂基于MK理論，知識間存在內在的邏輯聯系，教師應引導學生構建課程知識框架，有效解決最短路徑問題，并通過自主創設題目加深對最短路徑概念的理解，以促進學生的深層次認知.基于PK理論，教師應鼓勵學生組建小組進行交流與探討，充分展現個人見解及新發現，激發學生的創新思維.基于CK理論，學生應根據教師提出的問題，反思學習體驗，不僅要從數學層面審視課程收獲，還應從生活實際出發，深化對課程內容的理解，

在情境一、情境二和情境三的引導下，學生自行總結出了最短路徑問題的常見形式.隨后，學生從這類題型的復雜點入手，逐步攻克難點，從而加深對問題的理解.在此基礎上，學生自主出題，以發散思維.此時，學生對最短路徑問題已經有了較為深入的理解.最后，學生歸納總結本堂課所學內容，構建完整的知識體系，從而實現系統掌握知識的學習目標.

（1）通過這堂課你學習了什么知識？有什么感受？（2）什么是最短路徑問題？它有哪些常見形式？能夠運用哪些已學知識解決這類問題？（3）探討本節課學習的價值所在？對于本節課的學習，你還有哪些疑問？

從MK視角來看，上述問題聚焦于課程的核心價值與挑戰，教師通過引導學生從數學與生活兩維度反思學習本節課的意義，不僅明晰了該課程在教材體系中的定位與作用，還促進了學生對本節課內容的深入思考.

從PK視角來看，學生在回顧本節課所學內容時，教師通過一系列問題串的引導，幫助學生逐步總結并積累最短路徑問題的關鍵知識點，從而在學生腦海中構建起完整的知識體系.

從CK視角來看，教師通過循序漸進的問題探究，激發學生學習興趣，讓學生學會自主地用數學的思維去思考問題，從而將本節課的知識深深烙印在腦海中，最終轉換為自己的知識.

結語

數學學科知識（MK）是教師專業知識中的核心內容之一.在確保熟練掌握數學知識點的基礎上，教師還需具備運用數學視角觀察世界的能力，敏銳捕捉并準確解析情境中的數學元素，巧妙地將數學知識融入各類情境之中.同時，教師應全面掌握數學思維方式，通過課堂教學潛移默化地傳授給學生，并指導學生運用數學思維方式參與教學活動.例如，在設計最短路徑問題時，教師從李頒代表作品《古從軍行》中“白日登高望烽火，黃昏飲馬傍交河\"挖掘出數學情境“將軍飲馬”，再采用相應變式，將\"異側\"的兩點通過軸對稱轉化為“同側”的兩點，以體現轉化的數學思想，最后讓學生對不同情境下的最短路徑問題進行總結.

一般教學法知識（PK）是教師專業知識的重要組成部分.教師要注意在課堂上采用合理的方法去培養學生的創新精神，同時提高學生發現問題、提出問題、分析問題及解決問題的能力.例如，在設計最短路徑問題時，教師合理地運用講授法、討論法等教學方法，通過問題串的引導讓學生深入學習，分析這類題的難點是什么，怎樣解決難點，利用所學結合課堂情境例子，自行提出最短路徑問題并加以解決.

有關數學學習的知識（CK）則涉及教師對學生數學知識掌握、數學學習活動經驗、數學學習心理等方面的認識.不同學生對知識內容的理解和組織方式不同，因此教師需要因生而異地開展教學.在本節課中，教師通過創設問題驅動學生學習，引導學生自主提出并解答疑問.

例如，在設計最短路徑問題時，教師首先創設情境一，以異側的兩點為起點，結合學生已學幾何知識“兩點之間，線段最短\"來解決問題.接著，教師通過創設情境二，合理引入軸對稱知識進行轉化，從易到難，逐步過渡.這種由淺入深的教學設計，能夠讓學生在已有知識基礎上更容易接受新知識.同時，教師引導學生自行總結知識點，并通過角色互換，鼓勵學生自主建構問題.這一過程不僅讓學生深入理解了知識，還培養了其自主學習能力和問題解決能力.

綜上所述，教師要想豐富自身的數學學科教學知識（MPCK），應深入研究教材，理解教材中每個概念、原理和公式的來龍去脈，以及它們在數學體系中的位置和作用，并且能夠精準把握課程與教學目標，以及知識所蘊含的數學思想方法.同時，教師要深人了解學生現有的知識水平和理解能力以及相應的基本活動經驗，從而合理預設學生學習過程中所存在的困難，并準備相應的教學方法來幫助學生克服這些困難，激發學生學習興趣，培養學生的數學思維能力，從而使教學效果真正達到預期.

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