基于波利亞解題法的動點問題教學實踐與探究

[摘要]借助波利亞四步解題法探究動點問題時，先以問題串的形式分析理解題意，為問題的解決提供基礎，再根據已有的解題經驗提出代數法和幾何法兩種求解思路，分組實踐兩種方案，最后反思解決問題的過程，為今后的學習提供指導.通過教學動點問題，研究者提出以下教學啟示：精心設計“好”問題，潛移默化提素養；解決問題“多”角度，靈活處理應萬變；瞻前顧后“統”思想，舉一反三觸旁通.

引言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中提出“以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調四基四能的獲得與發展”[數學素養的培養不僅體現在新課的教學中，在習題的講解中也尤為重要.數學習題課中，教師可通過典型例題的方法研究、變式訓練和反思總結的示范啟發，鞏固和深化學生的基礎知識與基本技能，訓練學生的數學思維，讓學生掌握解決數學問題的策略方法，形成一定的解題能力2.將一道題的求解策略推廣到一類問題上，提升學生用數學知識和數學方法解決問題的意識.

動點問題是初中階段的一大難點，是學生第一次從運動的角度去認識數軸，其綜合性較高，涵蓋了有理數的絕對值、用代數式表示點的位置、一元一次方程等知識，滲透了數形結合思想、分類討論思想、方程思想等重要數學思想，對于后續討論等腰三角形存在性、學習分段函數等知識具有重要指導作用.此類問題與生活實際緊密相連，在行程問題、電話計費問題中有廣泛的應用價值.但在實際教學中，學生常因動點數量太多，難以用代數式準確刻畫點的運動規律，在理解運動過程時存在困難

波利亞的“怎樣解題表\"給出了解決問題的四個步驟“理解題意”\"擬定方案”\"執行方案”“回顧”[3]，為習題教學提供了基本的范式.筆者在波利亞的解題方法的指導下設計本課教學，以期提升學生的數學核心素養.

問題呈現

例：已知在數軸上點A表示數 點 B 表示數b，點 C 表示數 ，且 |a+40|+ |b-10|+（c-30）²=0，A，B 兩點之間的距離為 AB=∣a-b∣ ，若點A以每秒8個單位長度的速度向右運動，同時點 B 和點 C 分別以每秒2個單位與4個單位長度的速度向左運動，設運動時間為t秒，求t為何值時，其中一點到另外兩點的距離相等.

教學過程

1.理解題意

教師通過以下幾個問題，引導學生仔細閱讀題目，分析題目中的已知條件和未知信息，將題干中的文字語言轉化為數學語言，將問題逐步進行拆解，降低思維的難度，為后續的解題做好準備.

師：題目中有哪些已知條件？

生 _：A，B，C 點的運動方向和運動速度.

師：需要求解的是什么？

生：求t為何值時，其中一點到另外兩點的距離相等.

師：題目中存在幾個動點？

生：三個動點，A，B，C點

師：哪些條件決定了動點所在的位置？

生：起始位置、方向、速度、時間

師：這些因素中哪些是確定的？哪些是不確定的？

生：起始位置可以根據絕對值和平方的非負性得到，運動速度和方向都是已知的，只有時間是不確定的

師：題目中已經用字母t來表示運動的時間了，那么你可以用代數式分別表示出動點A，B，C經過t秒后所在的位置嗎？

生：可以，例如A點經過t秒后運動到 -40? 8t，B 點在t秒后運動到10-^2t，C 點在t秒后運動到 30-4t.

師：如何理解“其中一點到另兩點的距離相等\"這句話？

生1：需要進行分類討論，有可能一點是另兩點的中點，也有可能兩點重合.

生2：還需要討論到底是哪一點到其他兩點距離相等

師：（追問）那么兩點之間的距離又如何用數學語言表示出來呢？

生3：兩點之間的距離可以用數軸上位于右邊點對應的數減去左邊點對應的數，當兩點位置不確定時可以用絕對值來表示.

2.擬定方案

解題思路來源于已有經驗.因此教師需要引導學生回顧之前做過的類似的題目，以及當時是如何解決的，促使學生產生求解這道題的思路.師生互動，共同商議解決問題的具體方案.

（1）方案一：幾何法

第一步：分類討論三個動點之間的位置關系.即需確定何時兩點相遇或追及，此時三點具有怎樣的位置關系？（此環節可借助幾何畫板動態演示點的運動過程）

第二步：根據題意，分析出當有兩點重合或有一個點恰好為另外兩點中點時，滿足“其中一點到另外兩點的距離相等\"的條件.

第三步：對于重合的情況，可以依據行程問題的公式找到點重合所對應的t值.對于中點的情況，可以依據中點公式求解.

（2）方案二：代數法

第一步：“其中一點到另外兩點的距離相等”共有三種情況： AB= AC，BA=BC，CA=CB.

第二步：將 _{?AB，AC，BC} 分別用含有t的代數式表示出來.

第三步：建立方程確定t的值.

3.執行方案

將學生分為兩個大組，分別按照擬定的方案實踐，以小組合作的方式展開討論，在討論的過程中，教師巡視各小組的討論情況，及時予以指導，在討論結束后由小組派代表展示本組成員討論的成果

（1）方案一：幾何法

根據（1）可大致作出 _A，B，C 三點的位置關系，如圖1：

圖1

經過分析，影響三點位置關系主要有以下三個重要時間點：

①AB 兩點相遇，需要經過 ：10- （-40）]÷（8+2）=5s ②AC 兩點相遇，需要經過[30- ③BC 兩點追擊，需要經過（30-10）÷（4-2）=10： 6

這三個時間點都恰好能夠滿足題意，故均為原題目的解.除此之外，借助數軸可以發現，這三個時間點恰好將時間分為了四段.

圖2

分別對四段時間A，B，C三點的位置關系進行討論.

① 當 0 在A， C 中間，要使得距離相等，即需 B 為A， c 中點，根據中點公式， 解得

② 當 時，此時A，B兩點已經完成相遇，兩點交換位置，故點A在B，C中間，要使得距離相等，即需A為 _B，C 中點，根據中點公式， -40+8t= 解得

③當35 時，此時A，C兩點已經完成相遇，兩點交換位置，故點c 在 中間，要使得距離相等即需c 為 ^B，A 中點，根據中點公式， 30-4t= ，解得t=45.

④ 當 tgt;10 時，此時 _B，C 兩點已經完成追擊，兩點交換位置，故點 B 在^C，A 中間，要使得距離相等，即需B為^C，A 中點，列式同 ① ，需舍去.

綜上所述， t=10 或 或 或35 或5或

（2）方案二：代數法

根據題目意思可以分析得出三種情況，依據距離相等建立方程，列表可得：

綜上所述， t=10 或 或 或35 或5或

4.回顧

教師引導學生對本題的解題過程進行反思和總結，為后續的學習奠定基礎.

師：在這兩種解決方案中你覺得哪種更簡單？

生4：我覺得方案二更簡單，因為我無法厘清三點之間的位置關系，只需要借助兩點距離公式就可以進行列式，不會存在遺漏

生5：我反而認為方案一更簡單，因為行程問題小學就學過，先利用行程問題有關知識討論出幾個關鍵點，依據關鍵點進行分段，再進一步討論中點的情況，只是這道題動點有三個，稍顯復雜，需要一些耐心，但是對于其他情形用這種方法解決可能更快一些

師：代數法和幾何法是數學中的兩駕馬車，希望同學們可以養成用這兩種思路去思考問題的習慣，但這兩種思路并不總是一種優于另一種.大家可以運用這兩種思路去解決類似的動點問題，繼續加以體會

師：大家可以思考一下，這道題還有沒有更好的解決方案？

生（眾）：在分析題目的環節中，我們已經用代數式表示出了三個動點在秒后的位置，可以分別看作關于時間t的函數，也許我們可以試著作出函數的圖象，再來發現其中的規律.

師：非常好！這位同學提前預習了八年級的函數知識，感興趣的同學可以課后繼續探討這道題的其他解法，

師：這道題中蘊含了哪些數學知識？在解題的過程中運用了哪些數學思想方法？

生6：用字母表示數、數軸、絕對值、方程等數學知識

生7：分類討論法、數形結合法、數學建模法等數學思想方法.

師：在分類討論時我們需要注意什么？

生8：需要確定分類的依據，例如方案一是依據時間點來進行分類的，方案二是依據點的相對位置來進行分類的.

生9：還要注意分類討論的時候做到不重不漏，

生10：需要檢查答案與前提條件是否矛盾，如果矛盾就需要舍去.

師：如何能夠做到分類討論時不重不漏？

生11：可以借助數軸，將關鍵點標在圖中，分成幾段一目了然.

師：對于連續的量我們可以這樣來討論，那對于不連續的量呢？

生12：可以借助樹狀圖，按照字母順序或者數字順序依次來列舉.

師：還有哪些問題可以用分類討論法來解決？

生13：在用一元一次方程解決電話計費問題中，也需要用到分類討論、數形結合等數學思想方法

師：這對于我們今后的學習有什么啟發？

生14：波利亞解題法為我們提供了一種解決復雜問題的基本思路，讓我們在解決此類問題時不再盲目恐懼，而是有跡可循

生15：在分類討論時需要注意分類準確，這是解決問題的關鍵

生16：當運用幾何法直接討論點之間關系較復雜時，可以換代數法進行求解，哪種方法解決問題更快就用哪種方法

師：看來同學們在這節課中都 收益良多，請同學們將本節課所學 內容繼續推廣到今后的學習中.

教學啟示

1.精心設計“好\"問題，潛移默化提素養

“問題是數學的心臟”，一個好的問題能夠引發學生更深入的思考，開拓學生的思維.教師需要精心設計課堂中的每一個問題，在有限的課堂時間內讓每一個問題真正發揮它的啟發價值

通過理解題意環節引導學生對問題進行數學表征，培養學生的數學抽象素養；通過擬定方案環節，培養學生的分類討論思想、化歸思想、模型思想等，提升學生分析問題的能力；通過執行方案環節，鍛煉學生的數學運算能力，提升學生的數學推理素養.在教學過程中，教師充分關注學生的思想活動，發揮學生的主觀能動性，真正做到以生為本，讓每一個學生都能在數學課堂上學有所獲，學有所得，切實提升分析、解決問題的能力.

2.解決問題“多\"角度，靈活處理應萬變

“一題多解\"教學能拓寬學生問題解決思路，能促成思維的發散和創新，同時能幫助學生把所學知識融會貫通，整合并完善知識框架[4]

一方面，每個學生擅長的數學領域不同，部分學生擅長幾何想象，能清楚地考慮三個點之間的位置關系，部分學生想象能力不足，但擅長計算，能夠將文字語言轉化為數學的等量關系，因此用多種不同的方法展開教學，可以幫助學生在自己擅長的領域有所發展；另一方面，一題多解有利于培養學生思維的發散性，在解決問題的過程中能夠從多種不同的角度進行思考，從而更加靈活地去解決不同類型的問題，以不變應萬變

3.瞻前顧后“統\"思想，舉一反三觸旁通

數學之美，美在前后數學思想的一致性.一節課或者一道題的教學不能夠僅僅局限于學習一個知識點或者解決一個問題，而要著眼于學生數學素養的培養，發展學生的邏輯思維.

波利亞解題四步法，可將問題進行適當的拆解或轉化，對于較難的題目的解決是行之有效的.作為初一階段的難點問題，本題的教學可以為學生后續的幾何和代數學習提供一種基本的解題范式，規范學生的解題思路，幫助學生養成有條理的分析問題的習慣

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2]王富英.論中學數學習題課教學[J]數學通報，2020，59（7）：35-39.

[3]G.波利亞.怎樣解題：數學思維的新方法[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[4]郭俊楠，韋柳伶.通過“一題多解\"教學助推初中生數學思維能力進階[J].教師教育論壇，2023，36（8）：54-56.