指向思維進階的數學教學實踐與思考

數學是思維的體操，在數學中，學生認知能力表現在判斷決策、求解問題與批判質疑等方面.基于數學現實的視角關注學生思維的進階發展，旨在幫助學生夯實“四基\"（基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗），發展“四能\"（發現、提出、分析、解決問題的能力），培養“三會\"素養（會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界）．然而，當前仍有部分教師僅關注學生的解題能力，忽視培養學生的思維，導致學生對知識的認識仍停留在表面，無法提出有價值的問題.想要改變這一現狀，教師應立足于數學現實、教學內容、學生學情，引導學生積極參與課堂探究，以實現思維進階.

教學分析

“垂直于弦的直徑”屬于“圓的有關性質\"章節，學生在本節課之前已經接觸過軸對稱圖形、四邊形的軸對稱性、特殊三角形等知識.本節課所探索的垂徑定理及其推論是圓軸對稱性特征的具體化，即由定性到定量的關系轉化，這部分內容對后續探索角、線段、弧相等具有重要價值.本節課中，教師引導學生在垂徑定理的基礎上探索其推論，向學生滲透數形結合、類比與轉化思想，發展學生抽象、猜想、概括、推理、建模等能力，以真正實現深度學習.

教學過程簡錄

1.舊知回顧，引出問題

問題1如圖1，若圓 o 的半徑 r=2 弦心距 OC=1，AB 為該圓的一條弦，AB的長是多少？

圖1

問題2如圖2，若圓 o 的半徑 r=2 已知圓 o 的一條弦 . AP= BP ，那么OP的長是多少？

圖2

生1：從題設條件來看，點 P 為AB的中點，所以 OP⊥AB ，借助勾股定理易得OP的值

師：根據“點 P 為 _AB 的中點\"這一條件，為什么可獲得 ?OP⊥AB^′′ 的結論？

生1：問題1中，0C為直徑的一部分且與弦AB垂直，所以點C是弦AB的中點，這是垂徑定理的內容（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧）.問題2中，有 BP的條件，即點P為弦AB的中點，同時OP也為直徑的一部分，由此猜想OP⊥AB.

此問難度較小，學生能自主解決問題（過程略）.

師：思維很清晰，但數學是一門思維嚴謹的學科，光有猜想夠不夠？

生眾：不夠，還要驗證猜想

師：不錯，猜想只是一種想法，只有經過驗證的猜想，才能拿來使用．從生1的描述來看，大家已經意識到問題2所涉及定理為問題1所涉及定理的推論，這個推論該如何用數學語言描述？

生2：在一個圓內，平分弦的直徑與該弦垂直，并且平分弦所對的兩條弧.

設計意圖問題1旨在幫助學生回顧垂徑定理，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條孤.問題2將問題1中的條件與結論做些改變，以激發學生的認知沖突，順利引出探索主題.

2.新知探索，解決問題

師：以上同學所提出的推論，是不是真命題呢？

生3：分別連結AO，BO，根據等腰三角形“三線合一\"定理易知OP與AB為垂直的關系.

師：其他同學有補充嗎？

生4：如果AB為直徑，那么這兩條直徑不一定互為垂直的關系，但互相平分是一定的.

師：看來我們需要關注特殊情況，只要去除這一特殊情況，該命題就一定成立.哪位同學來總結這個推論？

生5：在一個圓內，平分弦的直徑與弦垂直，且平分弦所對的兩條弧（弦非直徑）.（板書）

問題3如圖3，CD交AB于點 P ，弧 CA與弧 CB 相等，證明： CD 為圓 o 的 直徑， AP=BP，CD 與AB互相垂直.

生6：將圓沿著CD進行折疊，根據“弧 CA 與弧 CB 相等\"的條件，可知點A，B重合，所以 CD 為圓0的對稱軸，由此有 CD 為圓 o 的直徑， .AP=BP ，∠APD 與 ∠BPD 均為直角，所以

圖3

CD⊥AB ．這揭示了垂徑定理的又一個推論，平分弦所對的兩條弧的直線經過圓心，并垂直這條弦.

設計意圖學生以自身已有的認知經驗為起點，從垂徑定理出發，基于圖形直觀的維度分析問題，凸顯了思維過程．此環節，根據學生思維的“最近發展區”進行引導與提問，讓教學更為流暢．如此設計，一方面激發了學生的探索欲，另一方面讓學生在探索過程中發現問題間的內在聯系，通過具體到抽象的過程，令思維由感性上升到理性，推動了思維的進階，發展了推理能力、抽象能力等素養.

3.練習鞏固，內化新知

練習如圖4，已知點C位于半圓0上，AB為該半圓的直徑.

圖4

（1）已知點 E 平分弧 AC，AC=8 _AC，OE 于點 D 處相交， ED=2 ，那么DO=.

（2）已知點 E 位于弧AC上， .AC OE互相平分， AC=8 ，那么圓 o 的半徑為

（3）已知 E 位于弧AC上， _AC，OE 互相垂直， ED=3 ，圓 o 半徑 _r=7 ，那么AC=

設計意圖垂徑定理以及它的兩個推論均與圓的軸對稱性相關，學生在實際應用時，常會混淆條件與結論．本題可鞏固學生的認知，培養學生思維的嚴謹性與周密性.

4.應用變式，揭露本質

問題4如圖5，已知 PQ 為圓0的直徑，該直徑分別與弦 _?AB，DC 相交于點M與點 N ，且 ?AB//DC，MA=MB 求證： ND=NC

圖5

變式已知 PQ 為圓 o 的直徑，該直徑分別與弦 _AB，DC 相交于點M與點 N ，且 ， MA=MB ，求證：AB//CD

問題5能否用簡潔的語言概括垂徑定理以及它的兩個推論？

師：通過以上問題的探索，相信大家對垂徑定理及其推論產生了明確的認識，現在請從條件與結論的維度來分析它們的本質是什么.

學生經獨立思考與合作交流，一致認為：垂徑定理及其推論描述的是直徑與弦垂直，平分非直徑的弦以及弦所對應的兩條弧．三個條件，但凡有一個成立，其他兩個必然成立，圓的軸對稱性為其本質.

問題6已知某座拱橋的橋拱圓弧所對的弦長為該橋的跨徑，約35米，橋拱的拱高，即圓弧中點與弦的距離為7米，那么這座橋的橋拱圓弧所在圓的半徑是多少？

生7：這是一個生活實際問題，可抽象為數學模型來分析．如圖6，結合垂徑定理的推論可順利解決問題（過程略）.

設計意圖探索至此，學生已經掌握了弦長、半徑、弦心距有關的計算問題，對垂徑定理及其推論的條件有了明確的認識，但這種認識還不夠深入．因此，設計問題4與變式，可引發學生自主求證，感知垂徑定理及其推論之間的關聯；問題5意在揭露\"三個條件”只要有一個成立，其他兩個必然也成立，由此讓學生對圓的軸對稱性產生更深層次的理解，并在建模過程中拔高思維，發展推理、概括、抽象、計算等能力；問題6從生活實際出發，讓學生感知數學與生活的聯系.

圖6

5.及時反思，提煉升華

問題7如圖7，已知點 c 位于半圓0上， AB 為圓 o 的直徑， AB=13 ，分別連結 CA，CB ，再以這兩條線段為邊向外作正三角形 ACD 、正三角形CEB，若點 P_? 為弧AC的中點，點 Q 為弧BC 的中點，且 PD+QE=11 ，那么 AC+ BC的值是多少？

圖7

師：此題求解的關鍵是什么？

生8：將 PD，QE 的長轉化為 _AC ，BC 的長，需要說明 O，P，D 三點共線與 _o，Q，E 三點共線．正三角形與圓均為軸對稱圖形，因此我認為點0，P，D 三點共線.

師：為什么你會認為 O，P，D 三點共線？

生8：觀察圖形可見三點共線，至于具體原因，我表達不清楚

生9：因為弧AC的中點為點 P ，結合垂徑定理，明確 PO 垂直且平分線段 _AC ，因為 _AD 與 DC 相等，所以點 D 在AC的中垂線PO上，所以O，P，D三點共線．類似地， _o，Q，E 也三點共線．通過以上探索，可證得OF，OG為ΔABC 的中位線．假設 BC 為 _a，AC 電為 b ，那么 ，同理有 a-QG，其中PE=13-- ，所以

設計意圖從知識目標來看，垂徑定理及其推論為本節課教學的要點；從知識本質來看，圓的軸對稱性才是本節課教學的核心．設計此問，意在幫助學生在幾何直觀的基礎上，感知軸對稱性為解決問題的關鍵要素.學生在積極討論與分析中，不斷優化解題方案，發展高階思維.

幾點思考

1.基于建構主義理論發展思維

建構主義理論認為新知的建構應立足于已有認知，思維的發展應立足于原有思維.這一觀點與弗賴登塔爾的“數學現實\"理論有著高度相似性，所謂的數學現實是指學生受家庭、教育與社會等綜合因素的影響，會對數學概念、運算等形成自己獨特的認識.解決問題時，學生則基于這些已有的知識與方法去探索問題，由此獲得認知的發展與思維的進階.

本節課，學生在“練習鞏固\"環節遇到一些問題，教師由此結合學生的實際認知水平，基于此，在接下來的教學環節設計變式問題，讓學生基于“數學現實\"積極思考，親歷計算到推理的過程，使知識結構逐漸清晰．因此，教師在教學時，應關注學生的實際情況，或及時調整教學策略，讓學生實現深度學習.

2.多元化體驗實現思維進階

思維進階無法一蹴而就，應立足于數學現實，關注教學過程．根據學生的愛好創設多元化的教學活動，可帶給學生豐富的學習體驗，讓學生自主完善知識體系，提煉思想方法，實現思維進階.本節課的教學主題為垂徑定理及其推論，雖然命題只有短短的幾句話，教師卻應用了豐富的教學手段，讓學生親歷問題、練習、變式、反思等過程，深刻體會垂徑定理及其推論的本質，為建構完整的認知體系奠定了基礎.

3.問題可驅動學生思維發展

新課改背景下的數學課堂，常借助豐富的情境提出問題，讓學生體會知識特點與數學學科魅力，從而積極主動地參與到新知的建構與內化中．如教師根據學生的思維特點設計每一個問題，落于學生“最近發展區”的問題讓教學變得自然流暢且充滿智慧，而循序漸進的問題讓學生激活了思維，發展了思維.

總之，教師若只關注知識內容按序依次地展開“識記、理解與應用”，則學生無法利用富有挑戰性的問題進行知識的多維整合與多向關聯，不能促進“分析、評價與創造”，更不能實現低階思維向高階思維的轉變[1．而將學生放在教學的首位，基于建構主義理論設計問題，由淺入深地引導學生思考，讓學生的思維在多元化的學習體驗中螺旋式上升，可真正推動思維進階，發展數學核心素養.

參考文獻：

[1]葛余常.促進思維進階的初中數學深度教學改進——以“由 所想到的\"專題復習為例[J]．中學數學月刊，2023（2）： _1-3+12