借大數據與SOLO理論，強高中生數學運算素養

一、問題的提出

2018年，教育部頒布了《普通高中數學課程標準》（2017年版，以下簡稱《標準》），共提出六個核心素養：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析，并指出了六個核心素養的內涵和水平劃分。

運算素養是數學學習需要具備的基本素養之一，《標準》指出，數學運算素養是指“在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養”。

下面是南寧市第四中學2022級7班的高二上學期50次作業的部分統計數據。表中顯示了與數學運算素養有關的部分知識點的得分率情況，從中可以發現，這些與運算素養有關的練習的平均得分率普遍較低，而部分練習得分的標準差比較高，說明這些練習的得分兩極分化比較嚴重。根據大數據監測結果，學生的運算素養欠缺，亟待提高[1]。

表12022級7班高二上學期50次作業部分統計數據

運算素養的欠缺導致學生解題速度慢、錯誤率高，嚴重打擊學生的自信心和學習數學的積極性，甚至出現部分學生只敢想，不敢算的情況；另外，數學運算素養的欠缺也影響學生后續數學知識的學習效果，容易形成惡性循環，影響之大，不言而喻。

高中大部分數學問題都涉及數學運算素養，如果這方面能夠有所突破，學生的解題速度和正確率都會明顯提高，成績的提高將水到渠成。此外，在日常練習中，隨著解題速度的提高，在單位時間內可以做更多的練習，由此帶來的是一種良性循環。

數學運算素養的提升如此重要，那么，在實際教學中如何培養學生的運算素養？教學策略是什么？這兩個問題就成了研究的重點，文中依托大數據監測，巧借SOLO分類理論，在教學一線通過探索、實踐，逐步總結、歸納出提高學生運算素養的策略。

二、SOL0分類理論與高中生數學運算素養的五個水平

（一）SOLO分類理論及其內涵

香港大學研究教育心理學的教授比格斯提出，人的總體認知結構是純理性的概念，不可檢測，但一個人回答問題時表現出來的思維結構是可以檢測的，比格斯稱之為“可觀察的學習成果結構”，簡寫為SOLO。

根據SOL0分類評價法，比格斯把學生對某個問題的學習結果由低到高分為五個層次：前結構層次、單點結構層次、多點結構層次、關聯結構層次、拓展抽象結構層次。這五個層次由簡單到復雜，也可以理解為這樣一個發展過程：點、線、面、體、系統。

（二）高中生數學運算素養的五個水平

利用SOL0分類理論可以對高中生的數學運算素養進行分層：前結構層次的學生對基本運算公式、法則完全不掌握；單點結構層次的學生只掌握部分運算公式、法則，運算容易出錯；多點結構層次的學生雖然記得運算公式、法則，但缺乏鞏固訓練，運算經驗不足，運算不熟練；關聯結構層次的學生能夠熟練且正確運算出結果，并從不同的算法中選出最優算法；拓展抽象結構層次的學生能夠深入理解算法背后的邏輯，有優秀的思考、總結能力。可以將比格斯劃分的五個學習結果層次對應到數學運算素養的五個水平：水平一，完全不會運算；水平二，公式、法則掌握不全，算理不清；水平三，了解公式、法則，但不能熟練運用；水平四，算法合理、簡便；水平五，算法優秀，思考能力強。

三、基于大數據監測，利用S0L0分類理論提升高中生數學運算素養的策略

提升學生數學運算素養需立足學情，遵循高中生的認知規律，筆者提出以下四個方面的教學策略。

（一）提升學生數學運算素養需立足學情

維果茨基主張的最近發展區理論提到：教學要基于學生已有的認知水平。準確把握學情，對提升學生數學運算素養至關重要，基于學情的教學才是有效的教學，按規律實施的教學有利于提升學生數學運算素養，最終才能使得數學運算素養落地。

在互聯網飛速發展的今天，大數據可以幫助教師高效地把握學生的學情，準確地找到學生學習的薄弱點，利用SOL0分類理論分析學生的數學運算素養當前所處的層次，以便因材施教。

（二）利用SOL0分類理論提高高中生數學運算素養

根據SOLO分類理論，高中生的數學運算素養分為五個層次，對應到數學運算素養的五個水平。每個層次的學生都有不同的表現和特點，提升數學運算素養所采用的方法及側重點有所不同（見圖1）。

前結構層次的學生表現為完全不會運算，單點結構層次的學生表現為公式、法則掌握不全面，甚至出錯，處于這兩種層次的學生都需要強化基本公式、法則，明確基本算理；多點結構層次的學生了解公式、法則，但往往拿到題目急于動筆套公式，迫切想計算出結果，他們存在以下兩個問題：一是訓練量不夠，二是做題只求速度，不在乎正確率，更不求最優算法，這時候需要教師引導學生認真審題，用不同的算法解答，認識最優算法；關聯結構層次的學生往往不急于解答，能夠充分審題，根據題目特征選擇最優算法，這類學生有一定的學習能力，教師進行培養的時候，不宜盲目大量訓練，應該在質量上把關，留充足的時間讓學生自主思考、交流、總結、反思，躍上拓展抽象結構層次；拓展抽象結構層次表現為運算熟練，算法優秀，有自我總結、反思能力，教師培養這類學生應該引導他們積累心得，鼓勵他們富有創新精神。

圖1學情、運算能力層次水平與教學方法對應圖示

（三）數學運算素養的提升需要遵循循序漸進的原則

數學運算素養的提升有一個過程，必須從低階向高階發展，不能急于求成、拔苗助長，因此，習題的設計應該注意：運算量由小到大，由易到難，由簡單到綜合，這樣的設計層層遞進，符合學生的認知規律，有利于數學運算素養的有效培養[2]。

（四）強化評價反饋，動態追蹤運算素養提升

評價反饋是提升數學運算素養的重要一環，它為教師錨定學生起點、動態追蹤學生運算素養發展過程、學生學習結果的衡量都提供了重要依據，也是教師調整教學方法的關鍵。

四、利用S0L0分類理論提升學生數學運算素養的實踐

下面以一節作業講評課為例，展示利用大數據和SOL0分類理論提升學生數學運算素養的實踐。

（一）利用大數據統計每道作業題的正確率，找出作業中學生暴露出來的弱點

從大數據平臺的統計結果來看，第6題、第7題全班分別只有1個、2個同學做對，錯誤率很高。

（一）利用大數據統計每道作業題的正確率，找出作業中學生暴露出來的弱點

筆者所任教的高2022級7班的一次作業中，有兩道題涉及橢圓的焦半徑，從大數據平臺的統計結果來看，這兩道題全班分別只有1個、2個同學做對，錯誤率很高。

【設計意圖】利用大數據準確找出學生的薄弱點，精準把握學情，以便因材施教．從統計結果來看，學生對橢圓的性質掌握得很不好。

【設計意圖】利用大數據準確找出學生的薄弱點，精準把握學情，以便因材施教。從統計結果來看，學生對橢圓的性質掌握得很不好。

（二）展示學生在作業中比較有代表性的兩種解法并剖析解法中的難點

例題：橢圓 的左、右焦點分別為F₁?F₂ ，橢圓上的一點 P 滿足，若P在第一象限，則點P的坐標為

請一個同學作代表介紹多數同學采用的解法。

【設計意圖】分析這種解法，它列出的是二元二次方程組，解方程組的計算量很大，對運算能力要求高，這是多數學生最終沒有正確解出來的主要原因。這種方法運算煩瑣、耗時長、正確率低，說明多數同學不了解或不熟悉橢圓的性質（焦半徑公式），即處于數學運算水平二（公式、法則掌握不全，算理不清）或水平三（了解公式、法則，但不能熟練運用），對應的是單點結構層次或多點結構層次，暴露出學生的數學運算素養缺失。因此，有必要幫助學生強化基本公式（橢圓的焦半徑公式）。

（三）教師引導學生進一步認真審題，探索更優算法問題：本題所涉及的兩條線段PF、PF（焦半徑）非常關鍵，它們貫穿題目的始終，關于焦半徑可以有什么結論呢？

教師引導學生復習橢圓的第二定義，利用橢圓的第二定義推導橢圓的焦半徑公式PF₁=a+ex₀ ， |PF₂|=a-ex₀ 。

請同學們嘗試用橢圓的焦半徑公式重新解這道題，體會焦半徑公式的優勢。

【設計意圖】之前因為多數學生不了解或不熟悉橢圓的焦半徑公式，所以選擇列出二元二次方程組，處于數學運算水平二（公式、法則掌握不全）水平三（了解公式、法則，但不能熟練運用），教師帶領學生復習舊知、夯實基礎，引導學生認真審題，根據題目特征探索更優的解法，通過比較兩種不同的解法發現：之前的解法列出的是二元二次方程，而用焦半徑公式列出的是一元方程，計算量更小。學生積累了解題經驗，體會到橢圓焦半徑公式的優勢，向數學運算水平四（算法合理、簡便）靠攏，對應關聯結構層次。

變式：

橢圓C： 的左、右焦點分別為F₁?F₂ ， P 為C上一點，且P在第一象限，PF₁⊥PF₂ ，則點P的坐標為

【設計意圖】通過變換題目條件，使得學生學會審題，熟悉、掌握橢圓的焦半徑公式的使用條件，使得學生的運算素養達到水平四（算法合理、簡便），關聯結構層次。

真題精選：

（2019.新課標3卷）設 F₁?F₂ 為橢圓 的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限，若 ΔMF₁F₂ 為等腰三角形，則M的坐標為

【設計意圖】高考真題進一步變換條件，更靈活地考查學生對焦半徑公式的掌握情況，通過真題訓練，使學生進一步熟練掌握橢圓的焦半徑公式的應用，并能運用它解決問題，逐步穩定在數學運算素養水平四（算法合理、簡便），對應關聯結構層次。

（四）拓展提升

橢圓 的左、右焦點分別為 F₁?F₂ ，點P在橢圓上，則 |PF₁|?|PF₂| 的取值范圍為

【設計意圖】前面幾道題都是求坐標（求值）問題，“拓展提升”是求范圍問題，從等式問題演變為不等式問題，提高了難度，要求學生具有一定的思考能力、善于總結，教師鼓勵學生發現新問題、勇于創新，使得學生能熟練應用焦半徑公式解決橢圓的相關問題，學生的運算素養達到了水平五（算法優秀，思考能力強），對應拓展抽象結構層次。

（五）達標檢測

1.橢圓 =1的左、右焦點分別為F、F2，點P為橢圓上一動點，若 ∠F₁PF₂ 為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍為

2.（2019浙江15）已知橢圓 的左焦點為F，點 P 在橢圓上且在 x 軸的上方，若線段PF的中點在以原點O為圓心， |OF| 為半徑的圓上，則直線PF的斜率是

3.（2019全國卷2.文科第20題）已知 F₁?F₂ 是橢圓 的兩個焦點，P為C上的點，O為坐標原點。若為等邊三角形，求C的離心率。

【設計意圖】

達標檢測是大數據平臺推送的同類型題目。依托大數據不但可以精準地定位學生的薄弱點，還可以精確給出同類型題目進行再練習，通過這三道題既檢驗了學生的數學運算素養是否有所提高，又鞏固了本節課所學成果。

【教學反思】

教師利用大數據精確分析學生的學情，準確找出學生的薄弱點，大量學生在作業的第6、7題中由于對基本公式（橢圓的焦半徑公式）不了解或不熟悉，只能列出二元二次方程組，運算煩瑣、正確率低，多數學生處于數學運算水平二（公式、法則掌握不全）或水平三（了解公式、法則，但不能熟練運用）。本節課通過引導學生充分審題，根據題目特征探索更優算法，使得同類型的問題轉化成了一元方程或不等式，快速求解，學生通過“變式”鞏固了橢圓的焦半徑公式的基本用法。在這個過程中，通過復習舊知、比較不同的算法，學生的數學運算素養從水平三（了解公式、法則，但不能熟練運用）逐漸提升到水平四（算法合理、簡便）。隨后，教師鼓勵學生進一步探索“拓展提升”，學生總結、思考后，不但能解決求值問題，還能進一步解決難度更高的不等式（范圍）問題。這時候，學生的數學運算素養已經提高到水平五（算法優秀，思考能力強），學生的數學運算素養提高明顯。評價反饋貫穿整節課始終：利用大數據發現學生作業的薄弱點，錨定了學生運算素養起點；其間不斷動態追蹤學生運算素養的發展，從水平一到水平五，不斷提升；最后，再次利用大數據，由平臺推送三道“達標檢測”題，用于檢測學生的數學運算素養水平。本節課教師設計的習題由易到難、由簡單到綜合，設計層層遞進，符合學生的認知規律，遵循了循序漸進的原則，學生的數學運算素養穩步提升[3]。

結束語

綜上所述，基于大數據監測，準確定位學生的薄弱點，提升學生數學運算素養就可以做到因材施教，針對性強，教學效果好；在SOLO分類理論下，針對學生所處的不同運算素養層次，教師的教學有不同的側重點，采用不同的方法，遵循客觀規律，使學生的運算素養穩步提升。數學學科素養的提升，學生將終身受用！

參考文獻

[1]張尚慧.基于學情分析的高中數學核心素養培育[].數學教學通訊，2021，（36）：42-43.

[2]湯儉，宋麗輝.利用SOLO分類理論提高初一學生數學運算能力[].理科愛好者，2022（4）：27-29.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

本文系南寧市教育科學“十四五”規劃2023年度（類課題“基于大數據監測精準提升高中數學作業質量的實踐研究——以南寧四中為例”（項目編號：2023C898）的階段性研究成果。