善用“數學機智”，提升高考解題效率

2025-11-14 00:00:00張昌金牟忠智

中學數學雜志(高中版) 2025年5期

2025年高考數學全國卷既注重全面考查考生所掌握的數學知識和所具備的基本數學素養，又“更新設計理念，深化基礎性考查；創新試題設計，強化思維能力考查，拓展思維的深度和廣度，增強探索性和創新性，突出思維過程和思維品質，服務拔尖創新人才選拔”[1].考生在解答高考題時面臨很多挑戰，既要保證基礎題做題的速度，又要保證基礎題不丟分；既要保證做難題有足夠的時間，又要保證在解難題上有較強突破，這些都要求考生具備全面、扎實的數學功底.那么，在解難題時如何突破呢？筆者認為可適當使用“數學機智”.“數學機智”不是簡單地“瞎做”，不是“投機取巧”，而是充分利用所學數學知識和所掌握的數學技能深刻審視題目條件、結構、命題者構想等多重因素，“合情推理”和“合理猜測”出解答方向和策略，實現更快更好地解題.只有數學知識和能力達到較高水平才能利用好“數學機智”.

常用的“數學機智”有：列舉試驗機智、代入驗證機智、假設檢驗機智、側面助攻機智和逆向反證機智等，下面以2025年高考題為例來說明“數學機智”的使用.

1使用“列舉試驗”機智解題

題1 (新高考Ⅰ卷第8題)若實數 _x，y，z 滿足2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z ，則 x，y，z 的大小關系不可能是( ）.

分析本題是開放性試題，滿足條件的 x，y，z 有很多組，要在這么多組中探尋哪些大小關系可能成立，哪些不能成立確實有一定的難度.“硬解”或“強解”都可能費時費力，而且不容易成功.但只要考生具備基本的技能就能想到設2+log2x=3+log3y=5+log₅z=t ，從而將 _x，y，z 分別表示為 t 的關系式即x=2^t-2，y=3^t-3，z=5^t-5 ，此時要探尋 _x，y，z 的大小關系，只需看 Ψ_t 的取值就行，結合選擇題的選擇支的關系利用“數學機智”列舉試驗可得

解設 2+log₂x=3+log₃y=5+log₅z=t ，則x=2^t-2，y=3^t-3，z=5^t-5 ，顯然當 t?+∞ 時 z>y>x ，所以 Ψ_t 不必取較大的數，這樣就方便多了.如當 t=2 時，滿足 x>y>z ；當 t=5 時，x=8，y=9，z=1 即 y>x>z ；當 t=8 時， x=64 ，y=243，z=125 即 y>z>x. 因此答案選B.

注本題還可這樣“列舉試驗”：當 x=2 時，則3=2+log₂2=3+log₃y=5+log₅z ，可得 0所以 x>y>z ；當 z=1 時， y=9，x=8 ，所以 y>x> z ；當 z=125 時， y=243 ，此時 x=64 ，滿足 y>z>x 故答案選B.

題2（新高考 I 卷第9題）記 S_n 為等比數列 {a_n} 的前 n 項和， q 為 {a_n} 的公比，且 q>0 ，若 S₃= ⁷，a₃=1 ，則（）.

A.q C.S₅=8D.a_n+S_n=8

分析根據題設條件可列舉出這個數列，使用“列舉驗證”能輕松選出答案

解由題意知等比數列 {a_n} 的前5項分別為^{4，2，1，0.5，0.25} ，排除 B，C ；由于是多選題，答案自然為AD.

2 使用“代入驗證”機智解題

題3 （新高考 I 卷第11題（多選））雙曲線 C 的左、右焦點分別是 F₁

F₂ ，左、右頂點分別為 A₁，A₂ ，以 F₁F₂ 為直徑的圓與曲線 C 的一條漸近線交于 M，N 兩點，且 ∠NA₁M= 則（】

B. ∣MA₁∣=2∣MA₂

C. C 的離心率為

D.當時，四邊形 NA₁MA₂ 的面積為

分析如圖1，根據題設條件知 |OM|=c(c= ，而點 M 在直線上，于是可代入點M 的坐標 (a，b) ，后續求解就非常方便了.

圖1

解不妨設 M 在第

一象限，漸近線為，對于A，由對稱性可知，四邊形 NA₁MA₂ 為平行四邊形，所以 ∠A₁MA₂=π 1 ，故A對;

對于B，由題設條件知，而點 M 在直線上，于是可代入點 M 的坐標為(a，b) ，所以 ΔA₁MA₂ 是直角三角形且 ∠A₁A₂M= 90^°，MA₂=b ，則由得故B錯;

對于C，，故C正確;

對于D，由前述分析，平行四邊形 MA₁NA₂ 面積 s ，故D正確

故答案選ACD.

題4 (新高考Ⅰ卷第7題)若圓 x²+(y+2)² 上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則 r 的取值范圍是( ）.

A. (0，1) B.(1，3) C. (3，+∞) （204號 D ?.(0，?+∞)

分析易得圓心到直線的距離為2，由圖2知 r=1，r=3 是“臨界點”，只需代入 r=1 ，

r=3 驗證即可.

解圓 x²+(y+2)²=r²(r>0) 的圓心為(0，-2），半徑為 r.

圓心到直線的距離當 r=1 時，圓 x²+ （2 (y+2)²=1 上到直線 y= 的距離為1的點為1個，排除選項 _A，D ；當r=3 時，圓 x²+(y+2)²= 9上到直線的距離為1的點有3個，排除選項C，所以答案為B

圖2

3 使用“假設檢驗”機智解題

題5（新高考Ⅰ卷第10題(多選)）設拋物線C:y²=6x 的焦點為 F ，過 F 的直線交 C 于 A，B ，過 A 作的垂線交于 D ，過 F 且垂直于 AB 的直線交 l 于 E ，則（）.

A. |_AD|=|_AF| B. |_AE|=|_AB|

C. |AB|?6 D. |AE|?|BE|?18

分析容易判斷A、C正確，怎么判斷 ^B，D 是否正確呢？對于選項B，我們可以使用“假設檢驗”判定它錯誤.對于選項D，可以利用“極限”思想判定.

解如圖3，由題意可得，由拋物線的定義知 |AD|=|AF| ，所以A正確;

由通徑最短可得|AB|?2p=6 ，所以C正確；

對于選項B，假設圖3|AE|=|AB| ，則由于點 ^A，B 的位置能交換可推出∣BE∣=∣BA∣ 顯然不對，所以B不正確；

對于選項D，由于過焦點 F 的直線 AB 有很多條，當點 A 在拋物線右上方無限遠處時，顯然 ∣AE∣ ·|BE|+∞ ;根據對稱性知當點 ^A，B 關于 x 軸對稱時， |AE|?∣BE| 取得最小值為18，綜上 ∣AE∣ ·|BE|?18 ，所以D正確.

故答案選ACD.

題6（新高考Ⅰ卷第11題（多選)）已知△ABC的面積為若 cos2A+cos2B+2sinC=2， cos Acos Bsin 則（）.

A. sin （20 （204 D.AC²+BC²=3

分析本題容易判斷選項A正確，余下三個選項的判斷難度很大，如果直接推理，要得出正確答案需要很長的時間，而且還可能出錯，但使用“假設檢驗”，則可快速選出答案

解因為cos 2A+cos2B+2sinC=1-2sin²A + 1-2sin²B+2sinC=2 ，于是 sin²A+sin²B=sinC 故A正確;

由 sin²A+sin²B=sinC 和正弦定理可得 asinA+ bsin B=c(a，b，c 是 _A，B，C 的對邊），由余弦定理可得 acosB+bcosA=c ，對比兩式可假設 sinA=cosB sin B=cosA ，即角 C 為直角.在這種“假設”下，由ΔABC 的面積為得且由cos Acos Bsin C 得s 即于是，B正確;

在角 c 為直角的假設下，由和 a²+b²= 2得，此時 sinA+sinB 于是C正確;

在角 C 為直角的假設下， AC²+BC²=b²+a²= 2，于是D不正確

根據多選題的特性知，正確答案選ABC.

注角 C 為直角的嚴密推理可有如下三種方法：

法1由 sin²A+sin²B=sinAcosB+cosAsinB，于是si nA(sinA-cosB)+sinB(sinB-cosA)= 0，而cos ，所以角 ^A，B 為銳角，若則所以 sinA>cosB sin B>cosA ，那么 sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB 與 sinA(sinA-cosB)+sinB(sinB -cosA)=0 矛盾，舍去，同理，也矛盾，故所以

法2由 cos2A+cos2B+2sinC=2?1-2sin²A + 1-2sin²B+2sinC=2 ，所以si nC=sin²A+sin²B

又由 +(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+2sinC= 2?cos(A+B)cos(A-B)+sinC= 1?-cosCcos(A+B) （ -B)+sinC= 1?sinC= 1+cosCcos(A-B).

因為 sinC?1 ，而由 cos Acos Bsin 知，coc A>0;cosB>0 ;所以 ΔABC 中 ^A，B 為銳角，于是cos Ccos(A-B)≥0 ，因此sin C=1+cosCcos(A -B)?1 ，從而

法3 因為 sin²A+sin²B=sinC ，所以 a²+b²=

若 a²+b²>c² ，因為所以ΔABC 是銳角三角形，于是 sin 不成立，所以 a²+b²=c² ，即角 c 為直角.

點評上述3種推證角 c 為直角的方法都費時，而且不容易想到推證思路，所以可以看出利用“假設檢驗”機智解題是多么的簡捷.

題7（新高考Ⅰ卷第17題)如圖4所示的四棱錐P-ABCD中， PA ⊥平面ABCD，BC//AD，AB⊥AD. （1）證明：平面 PAB ⊥ 平面 PAD ;

圖4

(2)若，在同一個球面上，設該球面的球心為 o

（i）證明： o 在平面 ABCD 上；

（ii）求直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值.

分析本題難點在(2)（i）即證明 o 在平面ABCD上，如何攻破呢？既然要證明這個結論，當然這個結論是正確的，那我們可以假設它成立，以便探求點 o 的位置，問題就轉化為在平面ABCD上找一點 o ，使點 o 到 P，B，C，D 的距離相等，觀察分析題目中的直角以及數據，極易發現點 o 在線段 AD 上且 AO=1 ，經驗證點 o 到 P，B，C，D 的距離都為，問題獲得完美解決

解 (1)略

(2)(i）證明在線段 AD 上取點 o 使 AO=1 ，則，在 RtΔABO 中， OB= ，同理可得，而過點 P，B，C，D 的外接球只有一個，所以它們的外接球球心就是點 o ，顯然 o 在平面ABCD上.

（ii）略.

4使用“側面助攻”機智解題

題8(新高考Ⅰ卷第12題)若直線 y=2x+5 是曲線 y=e^x+x+a 的切線，則 a=

分析此題是簡單題，可按常規方法設切點來做，但在高考考場上時間緊迫的情況下，這種方法并不是最優.如果仔細觀察、深刻分析會發現出現了e^x，x，2x 以及切線問題，“側面”借助“切線放縮”可最快完成解題

解由 e^x?x+1 知， y=x+1 是曲線 y=e^x 的切線，則 e^x+x+a?(x+1)+x+a=2x+a+1 且 y=2x+a+1 是曲線 y=e^x+x+a 的切線，于是（20 a+1=5 ，所以 a=4

題9（天津卷第15題）若，對 ?x∈ [-2，2]，均有 (2a+b)x²+bx-a-1?0 恒成立，則 2a+b 的最小值為

分析本題涉及雙參量和一個變量的不等式恒成立問題，直接在 (2a+b)x²+bx-a-1?0 中完全分離出 2a+b 不容易.換一種思維角度，分離參數“側面助攻”，效果應該不錯

解 (2a+b)x²+bx-a-1?0 可變為( 2x²- 1)a+(x²+x)b-1?0 ，由題意令 2x²-1=2(x²+ x ），即代人 (2x²-1)a+(x²+x)b-1?0 得，即 2a+b?-4

檢驗可知，當 a=0，b=- 4 時， -(2x+1)²?0 對 x∈[-2，2] 恒成立，當且僅當取等號，所以 2a+b 的最小值為－4.故答案為－4.

5 使用“逆向反證”機智解題

題10（新高考Ⅰ卷第19題)（1）設函數 f(x) 求 f(x) 在的最大值;

（2）給定 θ∈(0，π)，a 為給定實數，證明：存在（204號 y∈[a-θ，a+θ] ，使得cos y?cosθ

(3)若存在 φ ，使得對任意 x ，都有5cos x 1cos(5x+φ)?b ，求 b 的最小值.

分析本文只對(2）研探，要直接證得命題成立不是很容易，注意到題目條件和所證結論，可以利用“逆向反證”來解決.

證明假設結論不成立，即對于任意 y∈[a- θ，a+θ] ，都有cos y>cosθ ，而cos y> cos θ 當且僅當 y∈(2kπ-θ，2kπ+θ)(k∈Z) 所以 [a-θ ，a+θ]?(2kπ-θ，2kπ+θ)(k∈Z). 因為 θ∈(0， π ），所以對于 k₁，k₂∈Z ，當 k₁≠k₂ 時， (2k₁π-θ 2k₁π+θ n (2k₂π-θ，2k₂π+θ)=φ .所以存在 k₀ $\extbf { \\in Z }$ 使得 [a-θ，a+θ]?(2k₀π-θ，2k₀π+θ) ，即2k₀π-θ0π+θ ，于是 2k₀π< a<2k₀π ，得到矛盾.由反證法知，存在 y∈[a-θ a+θ] ，使得cos y?cosθ ：

題11（北京卷第21題） )A={1，2，3，4，5，6，7，8} ，從 M 中選出 n 個有序數對構成一列： (x₁，y₁)，? ， (x_n，y_n) ．相鄰兩項（204號 (x_i，y_i) ， (x_i+1，y_i+1) 滿足：或稱為 k 列.

(1)若 k 列的第一項為(3，3)，求第二項;

(2)若 τ 為 k 列，且滿足 i 為奇數時， x_i∈{1，2 i 為偶數時， x_i∈{3，4，5，6} .判斷：（3，2）與（4，4）能否同時在 τ 中，并說明；

(3）證明： M 中所有元素都不構成 k 列

分析（1）略；(2）直接判斷(3，2）與(4，4）能否同時在 τ 中會遇到思維難切入的問題，所以可使用“逆向反證”機智解題;（3）證明一個否定性命題，常考慮使用“反證法”.

解（1）略.

（2）解法1假設二者同時出現在 τ 中，由于 k 列取反序后仍是 k 列，故可以不妨設(3，2）在(4，4)之前.顯然，在 k 列中，相鄰兩項的橫縱坐標之和的奇偶性總是相反的，所以從（3，2）到（4，4）必定要向下一項走奇數次.但又根據題目條件，這兩個點的橫坐標均在 {3，4，5，6} 中，所以從（3，2）到（4，4）必定要向下一項走偶數次.這導致矛盾，所以二者不能同時出現在 τ 中.

解法2 假設(3，2）在 τ 中為第 i 項，(4，4）在τ 中為第 j 項(不妨設 j>i ）

若 i 為偶數， s_i=3∈{3，4，5，6} ，設 Φ(3，2)=Φ(x_i y_i )，則其下一項為 (x_i+1，y_i+1) ，而 i+1 為奇數， x_i+1 ∈{1，2，7，8} ，又 |3-4|=1 且 |2-4|=2 ，而 k 列中必同時滿足 ∣x_i+1-x_i∣=3 或 ∣x_i+1-x_i∣=4 且∣y_i+1-y_i∣=4 或 ∣y_i+1-y_i∣=3 ，所以（3，2）和(4，4)不可能同時在 τ 中.