2025年天津高考第20題解法探究及溯源

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調，數學考查應以內容為主線，關注學生對核心概念、定理和思想方法的理解與應用，突出基礎性和綜合性.標準提倡把握數學本質，重視通性通法[1].文章第三問提出的“飄帶擬合”與“對勾擬合”方法，為解決極值點偏移問題提供了有效工具，是一種通性通法.

1 試題呈現

題目 已知函數 （1）a=1 時，求 f（x） 在點 （1，f（1） ）處的切線方程；（2）f（x） 有3個零點， x₁，x₂，x₃ 且 （x₁23） （i）求 Δ_a 的取值范圍；（ii）證明

試題基于考生熟悉的數學情境設計，看似容易入手，但對邏輯嚴謹性、方法適配性和論證規范性要求較高.第（2）問分為兩部分：（i）考查含參函數零點間的數量關系；（ii）以不等式證明為載體，結論兼具數學簡潔美與邏輯嚴密性.從多角度研究第（2）問的解法，揭示其本質為極值點偏移問題（新課標Ⅱ卷第18題亦印證此趨勢）.通過探索創新解法，深化學生對導數工具性的理解，提升運算與邏輯思辨能力，同時促進直觀想象、數學建模等核心素養的發展，為高中數學教學提供理論與實踐指導.

2 解法探究

2. 1 第（1）問的解法

解析 當 a=1 時 （20 由于 f（1）=1，f^′（1）=1 ，因此 f（x） 在點（1，f（1） ）處的切線方程為 y=x

評注 該小題考查導數的幾何意義，考點基礎常規，難度設置適中，既緊扣核心知識，又遵循面向全體考生的低起點命題原則，能讓不同層次的考生均有入手空間，充分體現出基礎性與普惠性的命題導向.

2.2 第（2）（i）的解法解法1（分離參數）

解析 因為 f（x） 有3個零點，所以（ln x）2 =a有三個不等實根 x₁，x₂，x₃ 設

圖1

由 g^′（x）=0 得 x μ=μ₁ 或 x=e² .當 x∈（0，1） 時 g^′（x）lt;0，g（x） 單調遞減;當 x∈（1，e²） 時， g^′（x）gt;0，g（x） 單調遞增;當 x∈（e²，+∞） 時， g^′（x）lt;0，g（x） 單調遞減.又 2，χ→0時，g（x）→+δ;χ→+∞ 時， g（x）?+∞ ， 的圖象如圖1所示，由題意知 的圖象與直線 y=a 有三個交點，因此 0lt; 故 Δ_a 的取值范圍為

評注 通過分離參數，可將函數 f（x） 的零點問題轉化為函數 與直線 y=a 的交點問題，再利用數形結合法便能巧妙求解.這種方法對于培養學生的直觀想象核心素養大有裨益.

解法2（換元法）

解析若 alt;0，f（x）lt;0，f（x） 無零點;若 a=0 ， ，令 f（x）=0 ，解得 x= 1，f（x） 只有一個零點，不滿足題意，因此 有3個零點等價于方程 與 有三個根，

lnt

令 ，則方程 二t

寸 （204號 有三個

根.設 （20 則函數

圖2

g（t） 的圖象與兩直線 只有三個交點.因為 所以 t∈（0，e） 時 ，g^′（t）gt;0，g（t） 單調遞增;當 t∈（e，+∞） 時 g^′（t）lt;0，g（t） 單調遞減.因此 時， ;t?+∞ 時， g（t）0，g（1）=0 ，由圖2可知，直線 y 與函數 g（t） 的圖象只有一個交點.因此直線 與函數 g（t） 的圖象只有2個交點，由 得， 故 Δ_a 的取值范圍為

評注 分類討論法是解決此類問題的通用方法.通過換元轉化，將原問題轉化為學生熟悉的直線 與函數 交點個數的問題，進而結合導數工具與數形結合思想完成解答.

解法3（指對互化）

解析 設 ，則 y=ae^t-t² 由 y=0 得 O=a ，設 則 f（x） 有3個零點等價于 g（t） 的圖象與直線 y=a 有三個交點. 由g^′（t）=0 得 t=0 或 t=2 當 t∈（-∞，0） 時， g^′（t） Ψlt;0，g（Ψ_t） 單調遞減；當 t∈（0，2） 時， g^′（t）gt;0 g（t） 單調遞增;當 t∈（2，+∞） 時， g^′（t）lt;0，g（t） 單調遞減. ，t→18時，g（t）→+∞，t?+∞ 時， 因此 故 a 的取值范圍為

評注 通過變量代換，將對數形式的問題轉化為指數形式，可以大幅簡化求導過程.這種換元法是解決此類問題的關鍵技巧，在考試中極為常用

2.3 第（2）（ii）證法

證法1（換元法 + 對數均值不等式）

證明 由題意得 Ψ=Ψ_a ，且 01lt;1223 ，因此 令 ，則 且 01lt;123 ，要證 即證 ，由于 因此 e²gt;4（e-1） ，故 即證1 又 ，即證 t₂t₃lt; 因為 ，所以 ，由對數均值不等式[2]知， 因此 ，故原命題成立.

評注 通過變量代換將原問題轉化為研究常見函數 的性質，利用放縮法與對數均值不等式，使得問題得以解答.

證法2（比值換元 + 飄帶不等式）

證明 下證 設 ，因為 ，所以 Σ-Σ_t2） ，因為 1 所以 即證 ，即證 ，即證 由飄帶不等式[3]知上式顯然成立，故原不等式成立.

評注 比值換元法是解決極值點偏移問題的通法．設 m（t）= （2 ，借助

圖3

GeoGebra軟件或導數可知 m（t） 單調遞減，因此 Ψ=Ψ1 ： ，同理可得 ，設 ，由圖3可知 φ（t） 的最大值約等于0.44， 最大值與 還是有一些距離，故將問題轉化為以上兩個不等式的證明是可行的.這道高考題難點在于證明 ，這個不等式是一道隱蔽性的極值點偏移問題.

證法3（對勾擬合）

證明 由法1知，即證 設 ，則h（=（t）=0，令 ，則 （204 ，當 時 ，h^′（x）gt;0，h（x） 單調遞增;當 時 h^′（x）lt;0，h（x） 單調遞減，因此 為 h（x） 的極大值點．設 G（x）= G（x） ，則 ，因此 H（x） 在（0，+∞） 上單調遞減，又 t₂3 ，則 H（t₂）gt;H（t₃） ，又因為 h（t₂）=h（t₃） ，所以 因此t2t 故原不等式成立.

評注 設 x₀ 為函數 h（x） 的極大值點，則 x₀= 問題轉化為：已知 h（t₂）=h（t₃）=0，x₀ 為h（x） 的極大值點，求證 t₂t₃0² ，這就是典型的極值點偏移問題.

證法4（飄帶擬合）

證明 即證 由法3知， h（x） 在 上單調遞增，在 上單調遞減，且 0lt; ，由飄帶不等式知， 又因為 ，所以 ，兩式相加得， 因此 故原不等式成立.

評注 飄帶不等

式[3]為： 2（x-1）

lnxlt; 0

圖4

，如圖4所示，此方法是處理極值點偏移問題的通用解法.

推論1 推論2

證法5（和積互化）

證明 即證 因為 一 kt₃=0 ，所以 .要證 t₁t₂lt; 即證 ，即證 由法3知 ，由飄帶不等式知 又lnt ，因此 ，兩式相加整理得 t₂+t₃ 故原不等式成立.

評注 和積互化是處理極值點偏移問題常用方法，可構造函數 得到 h（x） 的擬合函數 ，再利用因式分解解答.

證法6（找點 + 對數均值不等式）

證明 設 2-a，由第（2）（i）解法1可得 h（x） 在（0，1）上單調遞減， 因為 （20 ，所以 .由題意知 lna+ ，兩式相減 ，整理得ln 。， 由第（2）（ii）的證法1知 e²gt;4（e-1） ，因此（ 一

評注通過找點放縮法和對數均值不等式的綜合運用處理極值點偏移問題，不僅技巧性強，還能顯著培養學生的邏輯推理核心素養.

證法7（指對互化 + 對數均值不等式）

證明設 ，由解法3知， t₁，t₂，t₃ 為 φ（t） 的零點.由證法1知， 01lt;1223 ，因此 t₁lt;02 lt;23 .即證 因為 ae^t=t² ，所以ln ，兩式相減得 2= ，即 t₂t₃lt;4. 因為 t₃² ，所以 ， 由第（2）（i）證e法1知， e²gt;4（e-1） ，因此

評注 借助放縮法，并運用對數均值不等式，在解法3的基礎上進一步完善，最終得出本題的解答，此題中間用到了切線不等式 e^x?ex

3 橫向遷移

例（2025年全國 I 卷數學第18題）已知函數 x2-kx2，其中0

（1）證明 ?f（x） 在區間 （0，+∞） 內存在唯一的

極值點和唯一的零點；（2）設 x₁，x₂ 分別為 f（x） 在區間 （0，+∞） 的極

值點和零點.（i）設函數 g（t）=f（x₁+t）-f（x₁-t） .證明：

g（t） 在區間 （0，x₁） 單調遞減；（ii）比較 2x₁ 與 x₂ 的大小，并證明你的結論.

證明 令 f^′（x）=0 ，解得 x∈ 時 I^′（x）gt;0I（x） 單調遞增;當 -1，+∞） 時 f^′（x）lt;0，f（x） 單調遞減.因此 f（x） 在 （0，+∞） 上存在唯一極值點 又因為 f（0） Θ=Θ0 ，所以 ，故 f（x） 在 上無零點．因為 x+∞ 時 I（x） -∞ ，因此 f（x） 在 上存在唯一零點，故原命題成立.

（i）證明 由（1）知 ，則 f^′（x）= t）] ，因為 01 ，所以 g^′（t）lt;0 ，因此 g（t） 在區間 （0，x₁） 單調遞減.

（ii）

證明由（i）知， g（t） 在 （0，x₁） 上單調遞減，因此 g（x₁）1）lt;0=f（x₂） ，又f（x） 在 （x₁，+∞） 上單調遞減， x₂∈（x₁，+∞） ，所以2xgt;χ2

評注 因為 f（0）=f（x₂）=0，x₁ 為函數的極大值點，所以 2x₁gt;x₂ 等價于 ，即極值點向右偏移.從改卷處得知，這道題第一問分值為10分，第二問4分，第三問3分.第一問為第二問做鋪墊，第二問通過引人輔助函數（對稱函數）來探索極值點與零點之間的關系，整體邏輯性較強.

4溯源

4. 1 試題溯源

（2019年天津市高考文科數學第20題）設函數 ，其中 a∈R

（1）若 a?0 ，討論 f（x） 的單調性; （2）若 （i）證明 f（x） 恰有兩個零點； （ii）設 x₀ 為 f（x） 的極值點， x₁ 為 f（x） 的零點， 且 x₁gt;x₀ ，證明 3x₀-x₁gt;2

解析 （204號 （1）f（x） 在 （0，+∞） 單調遞增；（2）略.

4.2 背景溯源

（204號 這道高考題基于函數 與直線y= 和 有三個交點，通過換元將問題轉化為方程 有三個根，即函數 有三個零點，求 α_a 的取值范圍.最后一問基于極值點偏移，運用飄帶不等式進行演繹深化，并通過不等式放縮與逆向推演完成命題

5 應用提升

題1（2024年天津市濱海新區八校聯考第20題）已知函數 f（x）=a^x-ex²，agt;0 且 a≠1 （1）當 a=e 時，求曲線 y=f（x） 在 x=1 處的切線方程；（2）若 agt;1 ，且 f（x） 存在3個零點 x₁，x₂，x₃ （i）求 Ψ_a 的取值范圍；（ii）設 x₁23 ，證明 x₁+3x₂+x₃gt;

解析 （1）曲線 y=f（x） 在 x=1 處的切線方程為 ex-e+y=0

（2） （i）a 的取值范圍為 ;（ii）略.

題2（2022年江西省南昌市三模第21題）已知函數 （204號（1）當 a=1 時，判斷 f（x） 的單調性;

（2）若 agt;1 時，設 x₁ 是函數 f（x） 的零點， x₀ 為函數 f（x） 極值點，求證 σ_x1-2x₀lt;0

解析 （1）f（x） 在 上單調遞增；（2）略.

6 教學啟示

2025年這道壓軸試題以極值點偏移為背景：第一問立足導數幾何意義，體現“低起點”原則；第二問的三零點求參問題可通過分離參數或換元法解決；第二問不等式證明需綜合均值不等式、比值換元及函數擬合等技巧，體現多變量證明的轉化策略——降維成雙變量結合對數均值不等式，或通過換元轉化為單變量分析.

本文系統梳理了零點求參的三種解法及三變量不等式證明的七種方法.結合新高考改革趨勢，命題強調基礎性、邏輯性與應用性，且始終以教材為根基.教學建議如下：夯實基礎：聚焦數學本質與通性通法，強化“四基”；教考銜接：落實課標理念，發揮高考對教學的引導作用；真題導向：重視往年試題的延續性與創新性；高階視角：適當引人高等數學工具（如文獻[4-7]），深化問題本質理解；思維培養：通過一題多解、多題歸一提升邏輯推理與遷移能力.

參考文獻

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]郭蒙.攜手切線不等式巧解導數壓軸題：例說切線放縮攜手同構法在解題中的應［J].高中數學教與學，2023（15）：28-30.

[3]郭蒙，薛小強.一道市一模導數壓軸題的解法探究及試題溯源[J].中學數學雜志，2024（5）：62-65.

[4]郭蒙.高觀點視角下的必要性探路問題及高考應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2023（10上）：1-4.

[5]郭蒙，薛小強.高觀點視角下的函數極限保不等式性問題及高考應用[J].中學數學研究（華南師范大學版），2024（5）：10-14.

[6]郭蒙，陳超.對2024年高考數學上海卷第21題的解析與思考[J].中學數學雜志，2025（1）：58-62.

[7]郭蒙，陳超.2024年新課標I卷第18題的解法探究及溯

本探源[J].中學生理科應試，2024（10）：15-20.

作者簡介郭蒙（1985—），男，陜西藍田人，碩士，中學一級教師，榆林市高中數學命題組專家；榮獲榆林市科研突出個人稱號，在陜西省教育技術論文評選活動中，榮獲一等獎，兩次榮獲榆林市中小學教師學科能力競賽市級決賽高中數學三等獎；主持參與4項市級課題，發表論文40余篇.

陳超（1989—），男，湖北應城人，碩士，中學高級教師；主要從事高中數學教育與教學研究；發表40余篇.