立德樹人、服務選才、引導教學是高考數學北京卷的鮮明特色

中國高考評價體系集中反映了高校人才選拔的需求，推動和引導高考改革，其內容可用“一核”“四層”“四翼”六字概括，除此之外還包含考查的載體即試題情境.“一核”是主旨，包含立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能，指向教育目的的達成；“四層”指核心價值、學科素養、關鍵能力、必備知識；“四翼\"指基礎性、綜合性、應用性、創新性，“四層”和“四翼”是實現主旨的途徑.

2025年高考數學北京卷（下簡稱2025年北京卷）嚴格遵循中國高考評價體系：堅持“以德為先，能力為重，全面發展”的命題理念，穩妥推進新高考改革；堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題指導原則；堅持“有利于高校選拔人才、有利于高中數學教學、有利于考生展示才華”的命題方向[2].

2025年北京卷繼續保持“人口易、口徑寬，深入緩、出口難”的命題風格（很多試題都有“通性通法”的解法，也有“特殊技巧”的解法[2]，比如第2題可由 2=- 2i² 簡潔求解，第8題可由選項排除來求解（按選項所給數據從小到大逐一驗證），第12題可用換元法[3]（設- ）或賦值法（令 簡潔求解（用不到二項式定理），第18（2）題可建立空間直角坐標系求解，也可用等體積法求三棱錐的高后再求線面角的正弦值），實現高考全面育人，落實立德樹人的根本任務.

1“立德樹人、服務選才、引導教學”是北京卷的鮮明特色

2025年北京卷有以下特點：

（1）2025年北京卷全面、直接地考查高中數學六大主干知識（函數、導數與不等式，三角函數與解三角形，平面解析幾何，立體幾何，統計概率，數列）

中的基本概念與基礎知識，充分體現了對數學知識考查的基礎性和全面性[2].

（2）2025年北京卷通過多題、多角度出發，從數學學科整體意義和思想價值的高度立意，堅持對數學基本思想方法的考查，特別是對函數與方程思想、等價轉化思想考查深人[2]；解答第6，7，15題都要用到舉反例，解答第13，15題都要用到舉正例，解答第12題要用到賦值法，解答第15，21（2）（3）題都要用到反證法.

（3）2025年北京卷延續已有的命題理念，守正創新，堅持以素養立意.北京卷通過設計現實性和綜合性問題，實現對六大數學核心素養[4」的綜合考查，通過寬入口，多思路，設計了多道試題進行考查，特別是對數學抽象、邏輯推理、直觀想象考查深入，比如第7，14，15，20題.

（4）2025年北京卷堅持“立德樹人、服務選才、引導教學”的命題指導原則，堅持“有利于高校選拔人才、有利于高中數學教學、有利于考生展示才華”的命題方向[2].一是試題的設計緊扣新課標[4]和教材，回歸課堂及學科本質，突出“簡潔、基礎、本質、創新”的首都教育特色[5]，為中學生“減負”創建良好的教育生態[6，促進新高考與新課程、新課標和新教材的協調聯動；二是試題的設計深入淺出，設問層層遞進，形式靈活多元，比如第15題的四個選項緊密聯系、互相提示，第20題設置的三問層層遞進，將函數的核心知識串聯成問題序列，體現試題和諧的結構化特征，第21題是創新題，以棋盤的所有點能否不重復遍歷為背景，簡單明了地凸顯了數學的簡潔、對稱、周期與和諧等美育價值.

2025年北京卷試題共21道，其中基礎題12道（第1—6，9，11—13，16，17題）共70分，題量約占

57% ，分值占 47% ;中檔題6道（第7，8，10，15，18，19題）共45分，題量約占 29% ，分值占 30% ；較難題3道（第14，20，21題）共35分，題量約占 14% ，分值約占 23% .基礎題較多且部分題是“不動筆墨、一望而解”的；第19題是用較多的平面幾何知識解決平面解析幾何問題，且考查的不是直線與圓錐曲線聯立后用韋達定理求解的常規問題（2014年北京高考數學卷文科第19題、理科第19題也均是這類問題）.筆者認為，這些都是正確的導向：高中數學教學應當回歸基礎與本原、尋求創新、服務“高考選拔”；考查學生透過現象看本質的能力，這為引導教學回歸課堂、防止題型和命題方式固化起到了積極作用.

（5）除了第3，11這兩道試題考查的知識比較單一外，其他19道試題都考查了多個知識點（即在知識的交匯點處命題），并且幾乎每道試題都考查了多種數學思想方法與核心素養.

（6）北京卷試題的一大特色是“數學文化”[7]試題關注時代熱點.2025年北京卷命題堅持以立德樹人為根本任務，構建了引導學生德、智、體、美、勞全面發展的考試內容體系.通過對數學文化、數學應用等多方面內容的考查，體現顯性考試與隱性教育相結合.比如第9題以人工智能大語言模型訓練為背景考查對數運算，關注訓練數據量與訓練時間之間的函數關系.近期我們國家在人工智能大語言模型方面取得了顯著進展，該題不僅考查學生的數學知識，還引導學生體會我們國家在AI領域的重大貢獻，從而增強民族自豪感，體現數學的德育價值.第14題以科技興趣小組的3D打印為背景，考查組合體體積的計算，滲透勞動教育和科技教育.

北京卷試題在體現人才選拔功能的同時，特別注重價值引領，引導學生去解決職場與生活中的實際問題.比如第18題是學習科學中的認知診斷問題，考查學生應用概率統計知識解決實際問題的能力，讓學生對考試分數有理性的認識，從而形成積極向上的學習觀.第21題是一道創新性試題，還可把問題拓展為研究不能遍歷所有點情況下的最長路徑問題（但所有格點均不能重復使用）等，這為學生的研究性學習提供了廣闊的空間.

（7）2025年北京卷試題新穎經典.基礎題樸實無華、數據簡潔、題意清晰，考查數學本質；中檔題著眼于考查思想方法與核心素養；創新題考查考生綜合能力，背景深刻.

（8）2025年北京卷中的中等綜合創新題增加了難度，但壓軸題（即第21題）大大降低了難度，所以它們具有較好的區分度，為不同水平的學生搭建了施展才華的舞臺（或許是命題專家參閱了筆者在著作[8］第150頁的論述“（5）壓軸題要貼近高中數學教學”）.比如第14，19，20，21題較往年北京卷的同類試題加大了挑戰性：第14題是求組合體的體積，對直觀想象、邏輯推理、數學運算能力要求較高；第20題沒有給出原函數（只給出了導函數）但需要研究原函數的性質；第21題仍然達到了全國高中數學聯賽二試難度且背景（笛卡爾積與Hamilton路徑）深刻.

2025年是北京卷新高考改革的第六年，也是推進教育強國建設、落實全面育人目的的關鍵之年.北京卷繼續堅持改革創新，凸顯首都教育的示范作用，堅持“立德樹人、服務選才和引導教學”的命題原則，圍繞著通過強化中心、突出重點、持續關注、優化路徑的方式促進中學教育對“四具備”人才的培養，引導教學在“六方面”下功夫，助力學生的德、智、體、美、勞全面發展[2].

2 對第21題（壓軸題）的解答及結論的推廣

第21題 已知集合 A={1，2，3，4，5，6，7，8} ，M={（x，y）∣x∈A，y∈A} .從 M 中選取 n 個不同的元素組成一個序列： （x₁，y₁） ， （x₂，y₂），…，（x_n，y_n） ，其中 （x_i，y_i） 稱為該序列的第 i 項 （i=1，2，…，n） .若該序列的相鄰項 （x_i，y_i） ， （x_i+1，y_i+1） 滿足 -1），則稱該序列為 K 列.

（1）對于第1項為（3，3）的 K 列，寫出它的第2項；

（2）若 T 為 K 列，且 T 中的項 …，n） 滿足：當 i 為奇數時， x_i∈{1，2，7，8} ；當 i 為偶數時， x_i∈{3，4，5，6} .判斷（3，2），（4，4）能否同時為 T 中的項，并說明理由；

（3）證明：由 M 的全部元素組成的序列都不是K 列.

解（1）（過程略）（6，7）或（7，6）.

（2）設 z_i=x_i+y_i，i∈{1，2，…，n}. （

由題設可得 （這里兩處的“±”均任意選取“ +^，，， 或“-”，下同）或 所以z_i+1=z_i±r（r=1 或7），因而 z_i 與 z_i+1 奇偶性不同， z_i 與 z_i+2 奇偶性相同，進而可得 z_i 與 z_i+2t（t∈N^*;i，i+ （2號2t∈{1，2，…，n} ）奇偶性相同.

假設（3，2），（4，4）能同時在 T 中，并設 （x_k，y_k） =（3，2），（x_l，y_l）=（4，4）;k，l∈{1，2，…，n} （得 z_k= 3+2=5，z_l=4+4=8 ，它們的奇偶性不同），由題設“當 i 為奇數時， x_i∈{1，2，7，8} ；當 i 為偶數時， x_i∈ {3，4，5，6}”可得 ^k，l 均為偶數且不相等.

若 k*） ，得 z_k，z_l 的奇偶性不同，即 z_k，z_k+2m（m∈N^*） 的奇偶性不同;若kgt;l ，可設 k=l+2m^′（m^′∈N^*） ，得 z_k，z_l 的奇偶性不同，即 z_k，z_k+2m^′（m^′∈N^*） 的奇偶性不同.

這均與前面得到的結論“ z_i 與 z_i+2t（t∈N^*） 奇偶性相同”矛盾！所以（3，2），（4，4）不能同時在T 中.

（3）用 ∣U∣ 表示有限集合 U 的元素個數（下同）.

由表1可知：若 （x_i，y_i）∈S ，則 （x_i+1，y_i+1）∈L. （204號

表1當 （x_i，y_i）∈S 時，由 （x_i，y_i） 得到 （x_i+1，y_i+1） （204號

假設 M 中的所有元素（每個元素都只用一次）依次組成 K 列： （x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x₆₄，y₇） （20y₆₄ ），又設其中是集合 s 中的元素的項依次是 （x_α1 ，y_{α1 α1}），（x_α2，y_α2），（x_α3，y_α3），…，（x_α16，y_α16） （其中 α₁ ，α₂，α₃，…，α₁₆∈{1，2，3，…，64} 1?α₁lt;α₂lt;α₃ lt;…lt;α₁₆?64） ，則 ， （x_1+α2，y_1+α2） ，（204號 （x_1+α3，y_1+α3），…，（x_1+α15，y_1+α15）∈L（ 其中 1+α₁，1 lt;1+α₂lt;1+α₃lt;…lt;1+α₁₅?64 ）

得 K 列的15項 ， （x_1+α2，y_1+α2） ，（20 （x_1+α3，y_1+α3），…，（x_1+α15，y_1+α15） 均是12個元素的集合 L 中的元素，由抽屜原理知這15項中必有相同的項，但這與 K 列中的項兩兩互異矛盾！所以假設錯誤，得欲證結論成立.

注下面證明：若 M 中的每個元素均可用多次，則 M 中的所有元素能組成 K 列.

下面用‘ ?_i，j\" 表示題設中的點列中的項“（i，j）^′′（i，j∈{1，2，3，…，8} ）.

先給出下面11個數列（其中每個數列的相鄰兩項均滿足題設中的遞推關系）：

先寫出數列（1），接著由其末項47（47共寫一次）向反方向寫到84；接著寫出數列（2）（84共寫一次）；接著由其末項76（76共寫一次）向反方向寫到41，接著寫出數列（3）（41共寫一次）；接著由其末項37（37共寫一次）向反方向寫到54，接著寫出數列（4）（54共寫一次）；接著由其末項77（77共寫一次）向反方向寫到64，接著寫出數列（5）（64共寫一次）；接著由其末項32（32共寫一次）向反方向寫到52，接著寫個86;接著由86（86共寫一次）向反方向寫到24，接著寫個61;接著由61（61共寫一次）向反方向寫到55，接著寫個81；接著由81（81共寫一次）向反方向寫到53，接著寫個87；接著由87（87共寫一次）向反方向寫到55，接著寫個12；接著由12（12共寫一次）向反方向寫到65，接著寫個22.

得到的數列組成 K 列.

還可把第21（3）題的結論予以推廣：

定理 設集合 A={1，2，3，…，4n} （ （n∈N，n ?2 ） M={（x_i，y_i）∣x_i，y_i∈A} .若把 M 中的全部元素（共 16n² 個）組成一個點列 Γ：（x₁，y₁），（x₂，y₂） ，（204 （x_16n²，y_16n²） ，則該點列不滿足條件 ω ： 或 （i=1，2，…，n²-1） ：

證明 設集合 S={（x，y）∣x，y∈{1，2，…，n， （20 3n+1，3n+2，…，4n}}，T={（x，y）∣dle|x，y∈{n+1 n+2，…，3n}} ，得 ∣S∣=∣T∣=（2n）²=4n². 再設集 合 $L = ＼bigl [ ＼sb { T } ＼{ ＼left（ n + 1 ， n + 1 ＼right） ， ＼left（ n + 1 ， 3 n ＼right） ， ＼left（ 3 n ， n + 1 ＼right） ＼big ＼} ＼$ （2號 ，得 ∣L∣=4n²-4

（1）當 時，可得題設中的點列滿足 ω 即滿足 …，n²-1） ，得 1，2n+1?y?3n;x，y∈N}∪{（x，y）∣2n+1? x?3n，2n?y?3n-1;x，y∈N} ：

（2）當 （x_i，y_i）∈{（x，y）∣dle|x∈{1，2，…，n}，y∈ {3n+1，3n+2，…，4n}} 時，可得題設中的點列滿足 ω 即滿足 =1，2，…，n²-1） ，得 ?3n-1，n+1?y?2n;x，y∈N}∪{（x，y）∣2n + 1?x?3n，n+2?y?2n+1;x，y∈N}.

（3）當 （x_i，y_i）∈{（x，y）∣x∈{3n+1，3n+2，…， 時，可得題設中的點列滿足 ω 即滿足 或 ，=1，2，…，n²-1） ，得 （x_i+1，y_i+1）∈{（x，y）∣n+1? （204號x?2n，2n?y?3n-1;x，y∈N}∪{（x，y）∣n+ 2?x?2n+1，2n+1?y?3n;x，y∈N}.

（4）當 2，…，4n}} 時，可得題設中的點列滿足 ω 即滿足 1，2，…，n²-1） ，得 （x_i+1，y_i+1）∈{（x，y）∣n+1?x （20?2n，n+2?y?2n+1;x，y∈N}∪{（x，y）∣n+ 2?x?2n+1，n+1?y?2n;x，y∈N} 進而可得：若 ，則 （x_i+1，y_i+1）∈L（ 且滿足題設的（x_i+1，y_i+1） 的集合就是 L ）.

假設欲證結論不成立，又設其中是集合 s 中的元素在點列Γ中的項依次是（χα，，yα，），（χα，α2），（20 （x_α4n²，y_α4n²） （其中 α₁，α₂，…，α_4n²∈{1，2，… 1?α₁lt;α₂lt;…lt;α_4n²?16n²） ，則 ，γ_1+α1），（x_1+α2，y_1+α2），…，（x_1+α4n²-1，y_1+α4n²-1）∈L（ 其中 11+α₁，1+α₂，…，1+α_4n²-1∈{2，3，…，16n²} 2，?1+α₁lt;1+α₂lt;…lt;1+α_4n²-1?16n²） ：

得點列Γ中的4n2-1項（χ1+α，1+，），（χ1+a2，y1+a2），，（1+a2，y1+a2，）均是4n2-4個元素的集合 L 中的元素，由抽屜原理知這 4n²-1 項中必有相同的項，但這與點列 T 中的項兩兩互異矛盾！所以假設錯誤，得欲證結論成立.

3 三點建議

（1）試題的表述要力求規范（i）建議把第4題中的選項“（A）橫坐標變成原來的 倍（縱坐標不變）”改成“（A）橫坐標縮短到原來的 （縱坐標不變）”，因為普通高中教科書《數學·必修·第一冊·A版》（人民教育出版社，2019）（下簡稱《必修·第一冊》）第237，239頁均是這樣表述的（但《必修·第一冊》第240頁第1（2）題選項“（B）橫坐標縮短到原來的 倍，縱坐標不變”中的\" 倍”也應改成 ，建議把第4題中的選項（C）也作類似的改動；建議把第4題中的選項“（B）橫坐標變成原來的2倍（縱坐標不變）”改成“（B）橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）”，選項（D）也作類似地改動.

（ii）建議把第5題題干“已知 {a_n} 是公差不為零的等差數列…”中的“零”改為“0”.因為在數學上可以表述\"0不能作分母”而不表述“零不能作分母”;普通高中教科書《數學·選擇性必修·第二冊·A版》（人民教育出版社，2020）第61頁有五次表述“無限趨近于 0^′′ ，第72頁有表述“某物體的瞬時速度始終為 0^′′ ，這里均是“ 0^′′ 而不是“零”.

（iii）建議把第7題題干中的“對任意 M∈R ，存在 x₀∈D ，使得 |f（x₀）|gt;M^′′ 改為簡潔的符號表述“ ?M∈R ， ?x₀∈D ， |f（x₀）|gt;M^′′ ，因為《必修·第一冊》第26—31頁均是這樣表述的.

（iv）建議把第12題的題設“ （1-2x）⁴=a₀- 2a₁x+ 4a₂x²- 8a₃x³+ 16a₄x^4，， 改為“ ，（1-2x）⁴=a₀-2a₁x+4a₂x²-8a₃x³+16a₄x⁴ 其中 a_i（i=0，1，2，3，4） 均是常數）”，或改為“關于 x 的等式 （1-2x）⁴=a₀-2a₁x+4a₂x²-8a₃x³+16a₄x⁴ 恒成立”，因為第15題的四個選項中均有“恒成立”（因為 也滿足題設）.

（V）建議把第16題題干中的“在 ΔABC 中，cos 3，asin C=4/2\"改為“在△ABC中，角A，^B，C 的對邊分別是 ^a，b，c. 已知 ”.否則該題中“ _a，b，c^′′ 的含義是不清楚的.

（vi）建議把第21（3）題改為“證明：由 M 的全部元素（每個元素都只用一次）組成的序列都不是 K 列.”

（2）抽象函數試題較多.

2025年北京卷第7，15，20題均是抽象函數試題（只給出了函數性質卻沒有給出函數的具體解析式，

由所給性質研究函數的新性質，這類試題難度較大，沒有函數模型的抽象函數問題難度更大）.第7題及第15題的四個選項均涉及兩個量詞“ H ，”，而《必修·第一冊》第28一35頁只講述了只含一個量詞命題的否定；第20題只給出了導函數 f^′（x） 卻沒有給出原函數 f（x） （雖然由分部積分法可求出原函數 ，但這超出了高中數學的范圍;并且求出 f（x） 后對解答本題也起不了多大作用;雖說本題給學生造成了“心理障礙”，但可謂是“獨具匠心”的一道好題）.

（3）試題要盡可能地避免出現現行教材之外的知識.

第19題（平面解析幾何解答題）是一道不可多得的優質試題，但其解法有可能涉及到（以前教材）全日制普通高級中學教科書（必修）《數學·第二冊（上）》第51—53頁中的到角公式或夾角公式°（這里需要強調的是：該題很多不用到角公式及夾角公式的解法也很自然）；第20題（用導數研究函數性質的解答題），也是一道好題，但其解法有可能用到不定積分（分部積分法）.這樣就會使得部分老師有補充這些知識的想法，會加重師生的教學負擔.

4對高中數學教學及高考復習的備考建議

關于高中數學教學及高考復習備考，筆者在文獻[2，10-13]中已闡述了一些有益的建議，下面再強調八點.

（1）要提高高三復習效率一先夯實基礎再提 高能力.

高三復習要循序漸進，關注學生基礎，不可“夾生飯\"（難題）反復炒而學生卻始終不能掌握相應的知識方法.不可以“解題訓練”代替概念復習，若反復鞏固操作性技能，則會導致兩個嚴重后果：學生領會概念先天不足，同類問題反復出錯；過度強化題型作用，卻不能掌握相應的知識結構、思想方法，題型一變則束手無策.考生做不好第7，14，15，19，20題就是這些原因.

（2）要強調三個輪次復習的區別

復習好比“蓋大樓”.第一輪復習的功能相當于“打地基”，要側重整體布局，構建知識網絡，強調知識的結構性把握，克服“見木不見林”的弊端；強調用主干問題反映基本規律、思想方法.控制難度，降低綜合性；深化對概念的理解，落實通性通法.

第二輪復習的功能相當于“建主體”.通常以專題（包括大專題與小專題）形式復習，突出重點，不計較細枝末節.通過解一定數量的綜合題，達到鞏固知識、熟練技法、提煉思想、培養素養、發展能力的目的，但要照顧學生的能力基礎.

第三輪復習相當于“精裝修”.圍繞考點進行比較深入細致的討論，同時注意查漏補缺，根據模擬考試的情況，加強教學診斷，對同學實施有針對性的考前輔導;進一步培養仔細嚴謹、有錯必究的思維品質.

所以三個輪次的復習目的要求不一樣，內容錯落有別，難度循序漸進，而不是簡單的重復，更不是“夾生飯”反復炒.

（3）復習目標要宜實不宜高.

從結構上把握不同內容的知識體系，洞悉各知識板塊的基本思想、基本技能.

一輪復習要降低綜合性，強調“小問題，大道理”；二輪復習要強調“專題性”，難易程度要尊重學生基礎.

通過閱讀理解，養成落筆有據、會而必對的思維品質，憑借嚴密的思考、規范的表達，會到哪兒做到哪兒，不會的不做心里也不慌.培養學生面對陌生的問題情景也能挖掘隱含信息、綜合運用數學知識解決問題的能力和心理素質.

（4）在課堂教學活動中要培養學生的數感（文[2]詳細介紹了培養學生數感的方法），解答第2，9，10，12，14，15，21題需要較強的數感

（5）教師在課堂教學活動中要切實培養學生的直觀想象能力（包括空間想象能力），重在過程，包括師與生、生與生之間的親切、平等、深入的交流.

還包括學生要字斟句酌地理解題意，花時間在頭腦中認真想象出圖形的清晰輪廓，用直尺、圓規、鉛筆按斜二測畫法等規范畫圖，與同桌深人交流所畫圖形是否正確再得出解題思路，最后獨自給出規范、正確的解答.教師在課堂教學中不可包辦代替或省略其中的任何環節.

又包括教師要制作或購買適用、結實的教具（柱、錐、臺、球等實物或其框架），學生也要認真制作相應的學具，并且在課堂上頻繁使用；教師在課堂教學中不可過多地依賴幻燈片、立體幾何作圖軟件（但立體幾何初期的教學或針對難度很大的題目可以恰當地使用）；求線面角時要盡可能地作出直線在平面上的射影（不要過多地依賴用等體積法或建立空間直角坐標系、空間向量法求線面角），求二面角時要盡可能地作出二面角的平面角；適當地通過三視圖培養學生的空間觀念（普通高中教科書《數學·必修·第二冊·A版》（人民教育出版社，2019）第120—121頁第9題就是一道很好的三視圖題）.也包括（可教師、家長帶領）學生走進大自然、擁抱大自然、與大自然交流，多參加社會實踐活動（包括游學活動）來培養自己的空間想象能力，這對學生解決高考題中的應用題（特別是關于解三角形的應用題）也有很大幫助.比如了解、研究中外各種建筑特別是各種屋頂設計，其中有豐富的立體幾何知識，進而可以很好地培養空間想象能力.深人想象、研究圖1中的屋頂在“垂直”拐角處的圖形，就可順利解答第14題.

圖1

考生能正確解答第14題的關鍵是能想象出屋頂在“垂直”拐角處的圖形，進而將其分割，再由圖形的對稱性完成解答.因為該題中的數據都很簡潔（方便計算，甚至是口算），所以解答該題的核心步驟是“作圖”.

（6）多做高考真題且要做透，盡可能地發現命題規律.

2025年北京卷第2，9，10，12，14，20（2），21題分別與北京卷2022年第2題，2019年文科第7題即理科第6題及2017年北京卷文科、理科第8題（它們都考查對數運算），2022年第10題，2022年第8題，2023年第9題，2013年理科第18（2）題，2024年北京卷第21題（它們都涉及整數的奇偶性）有較高的相似度.

（7）高中數學教學要永遠做好四個關鍵詞：夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高[13].要想考高分，考生還要盡可能地學習數學課本之外的知識、方法，比如數學歸納法、反證法、同一法、配對法、舉反例、舉正例、合情推理[14]、極限概念、極端化原理、容斥原理、抽屜原理等，適度關注數學競賽與強基計劃[5];還要關注平面幾何在解三角形、平面向量、平面解析幾何及立體幾何中的應用[16-17].

（8）要遵循高三數學復習的四條規律：

（i）尊重學生基礎，追求結構性理解；（ii）通過低、中檔試題的解決來深化概念、掌握方法、培養習慣、狠抓落實；（ii）把握課堂教學中“質與量”的辯證關系，強調學生對復習過程的實質參與；（iv）只有讓學習更自然更簡單，才能讓備考更輕松更高效.

參考文獻

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作者簡介甘志國（1971—），男，湖北竹溪人，正高級教師、特級教師、湖北名師、政府專項津貼專家、北京民進名師專家團專家、中國教育專家網高級專家、甘志國特級教師工作室主持人；2018年7月2日，北京市豐臺區教委召開了“北京市特級教師甘志國教育科研研討會”；對高考數學試題及重點高校強基計劃數學試題研究深入.鉆研教法與學法，提倡并關注學生運算能力的培養.總結提出并踐行“懂、會、熟、巧、通”五步解題學習法，“思、探、練、變、提”五步解題教學法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數學教學的四個關鍵詞“夯實基礎、激發興趣、著眼高考、適當提高”.倡導教師要做明師—明白的教師；已發表文章多篇（2016—2024年均發表北京高考數學試題綜述文章），已出版獨著61冊（其中27冊署名“甘志國著”）.