數學教學中“分析與綜合”思維方式的思考

數學教育承載著基礎教育的功能，幫助學生掌握進一步學習所需的知識、技能和素養.《普通高中數學課程標準（2027年版2020年修訂）》（以下簡稱2020數學課標)中提及，高中數學課程學習中，學生要能夠在比較復雜的情境中（其中情境包括數學情境、現實情境和科學情境)把握事物之間的關聯，把握事物發展的脈絡，形成重論據、合乎邏輯的思維品質和理性精神[1].思維的本質是人的意識對客觀事物的特征、聯系和關系的概括的和間接的反映，數學思維是人腦和數學對象交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的過程和活動[2]1.數學學習中，解決問題的思維過程體現變更問題的過程，即逐步變換問題的表達形式，在問題呈現的條件和目標之間進行變更與化歸.“分析與綜合”思維方式蘊含對問題的條件和目標之間進行有效地變更與化歸，本研究欲基于“分析與綜合”思維方式的內涵剖析，思考其思維特征及表現，以便更好地應用于數學教學，指向學生的問題解決能力的培養和思維品質的提升.

1“分析與綜合”思維方式的內涵

《說文解字》中“分”是分開、一分為二，“析”意為劈開木頭，二字均有分開、分離之意；“合”是一個象形字，意為扣合、閉合，“綜”為聚合、聚總，二字均有合、聚之意.從現代學思維來看，“分析”是從思想上將整體分解成各個部分，然后將個別屬性分離出來；“綜合”是在思想上把整體的各個部分或各個方面聯系起來，按照一定的邏輯進行整合[3].

從辯證思維層面來看，分析為綜合作準備，綜合的結果可以指導人們繼續對事物進行新的分析.“分析與綜合”是客觀事物的矛盾在思維中的反映.海德格爾認為，在一個認識過程中，需要通過一些行動，利用概念完成一個判斷的邏輯形式，這便是“分析的統一”（analytischeneinheit）；而“綜合”蘊含思維的自發性，將各種信息以某種方式貫通、采納和結合起來以形成“認識”，更廣泛地來看，“綜合”是將各種表象相互疊加統一成“一個”（ineiner）“認識”，然后加以把握和行動[4].比如，若 a>b>0 時，試說明： a³>b³ .對初中生而言，首先想到比大小問題可以利用作差，然后利用立方差公式分解.但是在完整書寫證明時，需要先結合“立方差公式”： -b) (a²+ab+b²) ，然后結合條件“ a>b>0^， ’便容易得出結論.所以，“分析”和“綜合”需要不斷地抽象、比較和反思，進而推進對事物的認知.

從其他學科來看“分析與綜合”.《高中生物學課程標準(2017年版2020年修訂）》中，“分析與綜合”是生物學核心素養中“科學思維”的重要內容.趙鵬（2024）對“分析與綜合”科學思維進行解讀，其中提及，“分析與綜合”屬于心智技能，該技能的形塑需要經歷原型定向、原型操作和原型內化三個階段[3].《普通高中地理課程標準(2017年版)》中指出，綜合思維是指人們運用綜合的觀點認識地理環境的思維方式和能力[5]，分析是綜合的前提和基礎，綜合是分析的目的和歸宿.結合以上梳理，“分析與綜合”思維方法蘊含學科間的內在一致性，“分析”是對研究對象進行分解、剖析，以達到認識對象的各個部分（或各個方面）在對象整體中的性質、作用的思維方法；“綜合”則關注研究對象各個部分（或各個方面）的有機整合，以達到認識對象整體性質的思維方法[2]146-148

數學學習中，證明命題時經常從要證的結論出發，逐步尋找使得結論成立的條件，直到尋找到條件即為題設條件、事實、概念、定理等，這樣的方法成為“分析法”，有時被稱為“執果索因”或“逆推法”.若從已知條件出發，利用定義、定理、公理、性質等，經過系列邏輯推理和論證，從而得出要證的結論，這樣的方法稱之為“綜合法”，也被稱為“由因推果”或“順推法”.在解決數學問題時，常常需要結合兩種方法，用分析法尋找思路，再運用綜合法邏輯呈現，分析的目的是綜合，綜合的前提需要邏輯分析.“分析”需要對問題進行轉化和變更（分解和分離），綜合需要結合已有認知將各種“線索”進行“邏輯串聯”.教學中教師需要關注學生在運用“分析與綜合”法時的思維特點及表現，以此更好地利用教學促進學生對方法的掌握和運用，指向思維品質的提升.

2 分析與綜合的思維特點及表現

結合“分析與綜合”的內涵闡釋，思考“分析與綜合”的思維特點及思維表現，深度剖析數學思維，以便更好地在教學中促進學生數學思維的發展.

2. 1 思維特點

“分析與綜合”作為重要的數學思維方法，需要了解其思維結構，以此來調控數學思維活動，指向思維品質的提升.“分析法”蘊含從整體到局部、由復雜到簡單的化歸過程，其思維模式為：要證明 q 成立，只需證明 P_n 成立即可，也即需要證明 P_n-1 成立…，即需要證明 P 成立即可，然而發現 P 是已知的條件或已有事實（概念、定理等），所以 q 便自然成立.所以思維模式為“ .值得注意的是，每一步追溯的條件都是結論成立的充分條件.當然從證明的結論出發，可以有多個角度去追尋，逆推的策略和途徑不唯一（如圖1).運用分析法解決問題時，需要不斷進行思維監控尋找最優策略.而“綜合法”需要整體把握，從題設出發“由因推果”，只是邏輯呈現前，心中已經有了“藍圖”，逐步推向“未知”，所以大概可以按照這樣的思維模式：p?P₁^*???P_n-1^*?P_n^*?q. 因為分析法是在探索解決問題的方法，過程中思維調控策略不唯一，所以綜合法的邏輯呈現不完全是（#）式的逆向.

“分析法”的思維過程體現數學學習的“探索性”和“發現性”，甚至蘊含“發明性”，關注“數學知識或結果的學習”與“知識本身發生發展的思維過程”的揭露，逐步指向提高學生的問題分析和問題解決能力.“綜合法”不是分析結果的簡單疊加，需要關注知識和方法的聯結，蘊含思維的“流暢性”和“邏輯嚴謹性”.從總體來看，“分析與綜合”關注“要解決的問題”和“題設條件”的矛盾在思維中的反映，是矛盾分析法的體現，蘊含著正向思維和逆向思維的融合.解決數學問題時，經常需要“分析法”和“綜合法”的交替融合，在分析的基礎上得到問題解決的信息或線索，在綜合中得到整體系統的問題解決方案，分析與綜合的融合運用，推動數學認知的不斷發展、問題解決能力的不斷提升.

2.2 思維表現

基于“分析和綜合”法的內涵和思維特點的分析，思考該方法在數學學習中的思維表現

2. 2. 1 “模式補形直感”引領

在運用“分析和綜合”法解決數學問題時，當從題設條件直接尋求問題解決方案比較困難時，此時可以選擇從結果出發—“執果索因”，那么如何結合要證明的結論逆推？其中需要直覺思維引領.學生利用頭腦中已經建構的數學表象模式，對具有部分特征相同的數學對象進行表象補形，然后實施整合的思維形式，由部分形象去判斷整體形象，即為“模式補形直感”[2]66.學生已有的表象模式越豐富，則面對問題時所給的圖形、圖式時，補形能力就越強.比如構造法、配方法、0與1的整體代換等屬于代數補形，添加輔助線等屬于幾何補形.

比如學習面面垂直時有如下題目：在三棱錐P//BC 中（如圖2）， PA⊥ 平面ABC，平面 PAB⊥ 平面PBC，求證： BC⊥AB

圖2

要證 BC⊥AB ，可以嘗試先證 BC⊥ 平面 PAB ，師：你是如何想到的？學生結合已有認知經驗進行的知識聯結：要證線線垂直，可以證明所在的三角形為直角三角形或者證明線面垂直，然后利用線面垂直的性質即可.然后學生補充：因為題設條件有“平面 PAB⊥ 平面PBC”，所以自然會聯系“面面垂直的性質”，而此時缺少信息（圖中沒有垂直于 PB 的線），于是便嘗試：過A點，作 AD⊥ PB ，交 PB 于 D 點，則 AD⊥ 平面PBC，所以 AD⊥ BC ;再由 PA⊥ 平面 ABC ，可得 PA⊥BC ，于是結論可證！這一證明過程蘊含“分析與綜合”的交替融合運用，其中需要“模式補形直感”的助力（根據面面垂直的性質，尋找垂直于交線的直線）.

2.2.2 “形象識別”補充

運用“分析與綜合”法解決數學問題時，在“執果索因”的過程中策略和路徑不唯一，但都需要思考：如何將問題目標分解為基本圖示或圖形，其中需要“形象識別”助力.形象識別能對分析與綜合的順暢運用起到很好的補充，其是根據形象特征整合的相似性來識別類象同質的方面[2]63.運用已有知識經驗從復雜的題設信息抽象分解為若干易識別的圖形或圖示，在復合、綜合形態下分解辨認出基本圖形或圖示，使得學生在解決問題時，能由思維的盲目走向思維集中，繼而進行思維探索，鎖定解決問題的可能方向或途徑.

比如，圖3幾何體中， AC= ，四邊形ABED是正方形，平面 ABED⊥ 平面 ABC ，若 ^G，F 分別是 _EC，BD 的中點.（1)求證： GF //平面 ABC (2)求證：平面BCD⊥平面

圖3

ACD.以第一問為例，該題題設信息較多：等腰直角三角形、正方形、面面垂直、中點第一問需要證明線面平行.學生會這樣思考：要證明GF//平面ABC，只需證明 _GF 與平面ABC內的一條直線平行即可.題設中有中點相關的信息，所以可以想到：尋找三角形的中位線(形象識別).此時需要從比較復雜的圖3中尋找關鍵信息（目前干擾信息較多）.學生經過思考后，可以想到：連接 EA ，此時容易看到， _GF 為 ΔAEC 的中位線，于是由“形象識別”和“模式補形直感”，得出 GF//AC ，所以易證GF/平面ABC.

2.2.3“邏輯推理”貫穿

“分析與綜合”中的“執果索因”（逆推）和“由因推果”（順推）都需要關注嚴謹性，即邏輯推理.2020數學課標中指出，邏輯推理是得到數學結論、構建數學體系的重要方式，是數學嚴謹性的基本保證，是人們在數學活動中進行交流的基本思維品質1」.運用“分析與綜合”法時，需要運用邏輯推理促進探索、表述論證、有邏輯地表達與交流.解決問題的過程蘊含思維品質的形塑，比如對新問題情境的抽象、模式補形和形象識別等，都需要關注思維的順暢性和不斷監控優化.解決數學問題的目的是促進學生思維的發展，指向學生思維品質的提高，特別是思維的清晰性（清楚地表達）、思維的合理性和求真性（說明與論證）、思維的深刻性與靈活性（方法和策略的優化）、批判性與創新性（方法的不唯一）等特征[.運用“分析與綜合”法解決問題的過程中，可以促進學生邏輯推理能力的提升，優化學生思維品質

3“分析與綜合”在“二面角的求法”教學中的應用

結合“分析與綜合法”的內涵、思維特點及思維表現，以“二面角的求法”為主題，思考其在數學教學

中的應用，以期優化教學，指向學生思維品質的提升.

3.1“二面角的求法”的內容與學情分析

本研究選取蘇教版必修第二冊教材為分析對象，“二面角的求法”位于“立體幾何初步”部分，此處的“二面角的求法”是繼二面角新授課后且在“面面垂直的判定與性質”學習前的內容教學，此時學生已經理解二面角平面角的相關知識：（1）二面角的大小是用平面角來度量的；（2）二面角平面角的大小由二面角的兩個面的位置確定，與棱上的點選擇無關；（3）平面角所確定的平面與二面角的棱垂直.學生在運用這些知識求解二面角相關問題時的難點有：尋找、驗證、求解二面角平面角，其中“找角”和“驗角”是關鍵，所以教學中需要借助“分析與綜合”法助力學生突破學習困境.

3.2 運用“分析與綜合”思維助力教學

教學中，教師基于學生的認知起點設計問題及變式，引導學生逐步清晰對二面角求法的認知.通過問題追問，引導學生思考：如何找二面角平面角？可以運用哪些策略去驗角和求角？教學過程中，運用“分析與綜合”的方法，引導學生突破難點，優化學生解題的規范性和邏輯呈現的嚴謹性，指向學生邏輯推理能力和直觀想象能力的提升，優化學生的思維品質.具體過程如下：

（1）定義法

例1如圖4，在三棱錐V-ABC中， VA=VB=AB=AC= ，求二面角V-AB-C 的大小.

圖4

教師首先設置例1，引導學生能夠基于學習經驗思考：在圖4中如何找尋二面角平面角？生1：按照二面角平面角定義，先思考二面角平面角在哪？生2：由題設條件知， ΔVAB 和 ΔABC 為等腰三角形，于是可以利用“三線合一”，取 AB 的中點 o ，連接 OV，OC ，易知∠VOC 即為二面角V-AB-C的平面角.由題設條件可知， ΔVOC 為等邊三角形，所以二面角 V-AB-C 的大小為 60^° .學生在解決例1的過程中，對二面角平面角的求法有了總結：利用題設條件，作平面角，然后證明，繼而求出二面角的大小，即“作一證—求”.學生借助“模式補形直感”和“形象識別”（利用“三線合一”作平面角），在梳理清楚解題思路后運用綜合法進行邏輯表達，指向學生邏輯推理能力的提升.

（2）垂線或垂面法

例2如圖5，在三棱錐S-ABC， ∠SAB=∠SAC =∠ABC=90^°，SA=AB，SB=BC. 證明：求二面角

A-SC-B的平面角的正弦值

通過例1的學習，學生總結可以利用“定義法”求二面角平面角，接下來，還是以三棱錐為原型，對題設條件進行修改，繼續思考例2.經過思考后，學生呈現自己的思路：要想求二面角A-SC-B的平面角，要先找出平面角，但此時二面角的兩個面對應的三角形不是等腰三角形，不能再用例1的思路進行“模式補形”.教師引導后，另一學生補充：還可以由“平面角所確定的平面與二面角的棱垂直”進行“形象識別”，即能不能找到一個垂直于二面角的棱 sc 的面？此時運用“分析法”引導學生由“思維盲目”走向“思維聚焦”.學生迅速發現，由題設可以先證出平面 SBC⊥ 平面 SAB ，然后由“ SA= AB^′′ ，可以進行“模式補形”，即過 A 作 AD⊥SB ，這樣由“面面垂直的性質”便可以得出 AD⊥ 平面 SBC.如圖5，再作 AE⊥SC ，于是便找到了“一個垂直于二面角的棱SC的面 ADE ，所以 ∠AED 為二面角A-SC-B的平面角.于是：

圖5

不妨設 SA=AB=1 ，則 ，所以 AD= ，于是

在 RtΔADE 中， 于是問題

得以解決.

變式 如圖6，在三棱錐S-ABC中， SA⊥ 底面 ^ABC，AB ⊥BC，DE 垂直平分 SC 且分別交于 _AC，SC 于點 _D，E ，又 SA= AB，SB=BC ，求二面角 E -BD-C的大小.

圖6

學習了例2后，對例2進行變式，此時問題難度再次升級.學生經過交流討論后，有學生提出疑問：我覺得 ∠EDC 就是二面角E-BD-C的平面角.師：你是如何想到的？生：直覺.這個學生的形象識別直覺和空間想象能力值得肯定，接下來如何驗證？學生充分運用“分析和綜合”法進行尋找線索，并證明出 ∠EDC 確實是二面角E-BD-C的平面角.

驗證如下：

因為 DE⊥SC ，又 SB=BC 且 E 為中點，所以 BE ⊥SC ，繼而由線面垂直的判定知， SC⊥ 平面 BDE ，所以 BD⊥SC ;再由 SA⊥ 底面 ABC ，可得 BD⊥SA ，于是再由線面垂直的判定知， BD⊥ 平面 SAC ，于是可得 DE⊥BD，CD⊥BD ，即 ∠EDC 是二面角E-BD-C的平面角.于是易求得 ∠EDC=60^° ：

此時學生對于“二面角的求法”已經進行了較為深入的探討，教師利用問題鏈層層遞進啟發學生的認知，并繼續追問：還會有什么類型的二面角問題呢？教師隨即給出如下思考題，啟發學生課后繼續思考：若二面角圖形不完整（二面角的交線沒畫出），此時如何尋找平面角并進行驗證呢？

課后思考 如圖7，在四棱錐 P//BCD 中，四邊形ABCD為正方形， PA⊥ 平面ABCD，PA=AB=a ，求平面 PBA 與平面 PDC夾角（小于等于 ）的大小.

圖7

求二面角的大小問題是立體幾何中的重難點，也是新高考數學全國卷重點考查的方向，其關鍵在于作出二面角的平面角.其方法可以是直接法，比如利用定義、利用三垂線定理或者垂面法；有時也會運用間接法（不直接作出二面角的平面角）；當然在介紹了空間向量后，也可以利用向量法進行求解.不管用什么方法求解，其中都蘊含運用“分析與綜合”進行化歸與轉化的過程.在運用分析法進行“執果索因”時，需要學生由未知看需知.而這一過程中，會有干擾信息引發思維混亂，經過不斷嘗試后，尋找到解決問題的突破口，并將問題化歸為易解決的或顯然的情形，這便是思維品質提升的過程.問題解決的過程具有開放性，需要分析和綜合的融合助力，過程體現出由發散到聚焦、由盲目到頓悟，需要直覺思維和抽象思維的助力，經過不斷的思維監控與反思調整，最后形成嚴謹的問題解決策略，指向邏輯推理能力和批判性思維的培養

參考文獻

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[2]任樟輝.數學思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1990

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[4]孫鐵根.“分析的統一”與“綜合的統一”：海德格爾論知性概念的起源[J].哲學動態，2025(3)：76-88.

[5]中華人民共和國教育部.普通高中地理課程標準：2017

年版[M].北京：人民教育出版社，2020：7.

作者簡介李亞瓊（1983—），女，安徽巢湖人，副教授，博士，碩士生導師；主要從事數學課程與教學研究；發表論文30余篇.