葉圣陶的數(shù)學(xué)科普貢獻(xiàn)

數(shù)學(xué)科普讀物是理解數(shù)學(xué)知識(shí)、感悟數(shù)學(xué)思想、激發(fā)數(shù)學(xué)興趣以及傳播數(shù)學(xué)文化的關(guān)鍵媒介之一。民國(guó)時(shí)期，數(shù)學(xué)科普逐漸受到重視，眾多數(shù)學(xué)家、教育家以及出版家投身于數(shù)學(xué)科普事業(yè)。他們撰寫數(shù)學(xué)科普文章和著作，出版數(shù)學(xué)科普雜志和圖書，極大地推動(dòng)了青少年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。葉圣陶先生便是其中杰出的代表。

它訓(xùn)練我們的思想，規(guī)范我們的行動(dòng)，它的價(jià)值遠(yuǎn)在計(jì)算以上，計(jì)算只是它的狹義的實(shí)用價(jià)值罷了。\"[他強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)不單是各學(xué)科的基礎(chǔ)，在拓展思維與縝密思考等方面也具有重要的作用。他不僅在教育崗位（特別是小學(xué)算術(shù)教師崗位）上積極踐行數(shù)學(xué)科普（如倡導(dǎo)通過勞動(dòng)實(shí)踐，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活），更是在出版工

葉圣陶先生重視數(shù)學(xué)的價(jià)值。他認(rèn)為：“算學(xué)這一科目，豈止科學(xué)的重要基礎(chǔ)而已，我們平時(shí)的一言一動(dòng)，都跟算學(xué)有密切的關(guān)系。

作中親自（組織）編寫數(shù)學(xué)科普材料和文章（融入語(yǔ)文教材和青少年雜志）以及著作。

作為文學(xué)家與教育家，葉圣陶先生的文學(xué)創(chuàng)作、教育思想以及語(yǔ)文教材已受到廣泛的研究。然而，作為“數(shù)學(xué)科普先鋒\"2]，葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普貢獻(xiàn)受到的研究少之又少。本文從數(shù)學(xué)科普文章與著作兩個(gè)方面談一談葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普貢獻(xiàn)。

一、葉圣陶創(chuàng)辦的青少年雜志關(guān)注數(shù)學(xué)科普文章

葉圣陶先生曾說：“如果有人問起我的職業(yè)，我就告訴他，第一是編輯，第二是教員。\"[3]他與夏丐尊、豐子愷、劉薰宇等合作創(chuàng)辦了《中學(xué)生》《新少年》等青少年雜志，并積極為其撰稿。4相關(guān)雜志的基本情況及發(fā)展關(guān)系如圖1所示。這些雜志內(nèi)容廣泛，涉及天文、地理、生物、化學(xué)、物理、數(shù)學(xué)、文學(xué)、時(shí)政等相關(guān)領(lǐng)域;并且特別重視數(shù)學(xué)領(lǐng)域，關(guān)注數(shù)學(xué)科普文章。

下面分別介紹《中學(xué)生》《開明少年》中的數(shù)學(xué)科普文章（《新少年》《進(jìn)步青年》存在的時(shí)間比較短，不專門介紹）：

（一）《中學(xué)生》中的數(shù)學(xué)科普文章

《中學(xué)生》雜志以“替中學(xué)生諸君補(bǔ)校課的不足；供給多方的趣味與知識(shí)；指導(dǎo)前途；解答疑問\"[5]為宗旨。它問世后，引起了廣泛的反響，“對(duì)1930年前后的中學(xué)生產(chǎn)生過很大的影響…對(duì)青年人的成長(zhǎng)作出過不小的貢獻(xiàn)\"[6]。1934年2月，國(guó)民政府教育部批令嘉獎(jiǎng)：“該雜志內(nèi)容豐富，且適合中學(xué)程度，準(zhǔn)于選編第二輯中學(xué)閱讀參考圖書目錄時(shí)列入。\"[7]1934年，它的銷量已高達(dá)5萬(wàn)份。8《中學(xué)生》雜志不僅為后來的學(xué)者與大師打開了知識(shí)的大門，而且為廣大的中學(xué)生與青少年提供了寶貴的課外學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，因此被譽(yù)為“最具影響力\"的刊物之一。

《中學(xué)生》雜志中，數(shù)學(xué)科普文章占重要份額。其內(nèi)容豐富，廣泛地涵蓋了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)心理的多個(gè)層面。如《數(shù)學(xué)與天才》《怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》《代數(shù)之謎》《學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的著力點(diǎn)》《數(shù)學(xué)的園地》《國(guó)王受窘的故事》等，通過簡(jiǎn)潔有趣的筆觸，激發(fā)青少年學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。著名物理學(xué)家楊振寧先生在回憶中學(xué)時(shí)代時(shí)說：“當(dāng)時(shí)有一本雜志，叫《中學(xué)生》，每個(gè)月厚厚一本，我每期都看…我記得特別清楚的是，有一篇文章講排列與組合。我第一次接觸到排列與組合這個(gè)概念，就是在這本雜志上。\"[9]

特別值得一提的是，抗日戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期，很多科普雜志都因時(shí)局動(dòng)蕩而被迫停刊，但是《中學(xué)生》雜志依然堅(jiān)持出版，為那些在戰(zhàn)爭(zhēng)中飽受磨難的青少年提供了寶貴的學(xué)習(xí)資源。

（二）《開明少年》中的數(shù)學(xué)科普文章

《開明少年》雜志的前身《新少年》雜志存在了一年半左右的時(shí)間，以引導(dǎo)少年欣賞文藝、認(rèn)識(shí)社會(huì)、了解自然為主旨[10]。該雜志刊載了《數(shù)碼原始》《逢十進(jìn)一》《測(cè)量距離》《五角星形的畫法（附圖）》等一系列語(yǔ)言生動(dòng)有趣的數(shù)學(xué)科普文章。

《開明少年》雜志在創(chuàng)刊詞中明示：開是開通，明是明白，讀者諸君是少年，我們?cè)敢庵T君個(gè)個(gè)做開明的少年。11]雜志專門設(shè)置《數(shù)的驚異》欄目，刊登數(shù)學(xué)科普文章（詳見表1）。這些文章均以讀者較為熟悉的情境引人，將一個(gè)問題的解決貫穿始終，并且適當(dāng)融入數(shù)學(xué)歷史故事與問題（如韓信點(diǎn)兵、幻方幻圓），從而激發(fā)讀者的興趣，引導(dǎo)讀者的思考，鞏固讀者的課內(nèi)知識(shí)，開拓讀者的課外眼界。

表1《開明少年》雜志《數(shù)的驚異》欄目刊登的部分?jǐn)?shù)學(xué)科普文章

二、葉圣陶撰寫的數(shù)學(xué)科普著作蘊(yùn)含對(duì)當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的啟示

葉圣陶與吳研因、王志瑞等合作撰寫了《數(shù)數(shù)算算》《算術(shù)游戲》《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》等數(shù)學(xué)科普著作。1936年，這三本書被納入中華書局出版的《小朋友文庫(kù)》系列叢書，分別屬于初級(jí)、中級(jí)和高級(jí)三個(gè)層次。該叢書共計(jì)450冊(cè)[12]，分為三個(gè)層次，滿足不同年齡段少年兒童的閱讀需求。其中，數(shù)學(xué)類的雖然僅有7冊(cè)，但是廣受好評(píng)。這是數(shù)學(xué)科普讀物推廣歷程中一個(gè)強(qiáng)有力的例證，為后續(xù)數(shù)學(xué)科普著作的廣泛傳播奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。2015年，《算術(shù)游戲》和《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》兩本書被收錄于人民文學(xué)出版社和天天出版社聯(lián)合出版的《怎樣做數(shù)學(xué)游戲》一書中，并且在尊重原書排版與繪圖的基礎(chǔ)上改用全彩印刷，在保留原有插圖的基礎(chǔ)上增加豐子愷先生的一些精美兒童漫畫。時(shí)隔約80年的再次出版，足以說明這幾本數(shù)學(xué)科普著作的影響力與傳播力。特別是，這幾本數(shù)學(xué)科普著作對(duì)當(dāng)下的數(shù)學(xué)教育有深廣的啟示作用。

（一）三本數(shù)學(xué)科普著作的內(nèi)容簡(jiǎn)介

《數(shù)數(shù)算算》面向小學(xué)一年級(jí)及以下的學(xué)生，通過聯(lián)系生活且富有趣味的故事，如農(nóng)夫養(yǎng)貓、狗看守羊、母雞生蛋，幫助兒童在輕松愉快的氛圍中接觸基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。該書通過數(shù)數(shù)、分解和組合數(shù)字、合并、平均分等活動(dòng)，引導(dǎo)兒童理解20以內(nèi)的數(shù)，掌握初步的加、減法和乘、除法，并體會(huì)數(shù)量之間的微妙關(guān)系，學(xué)會(huì)分析和解決問題。書中的內(nèi)容符合兒童認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，為兒童日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)（尤其是數(shù)感基礎(chǔ)）。

《算術(shù)游戲》面向小學(xué)中低年級(jí)的學(xué)生，旨在為他們的算術(shù)學(xué)習(xí)之旅增添樂趣與實(shí)效。該書收錄了7個(gè)趣味盎然的算術(shù)游戲：“請(qǐng)你猜猜看\"“搶三十\"“算年齡”“幾個(gè)錢一兩，幾個(gè)錢一斤”“幾時(shí)相會(huì)\"“未卜先知”“怎樣倒油”。這些游戲包含猜數(shù)、3的倍數(shù)、公倍數(shù)以及數(shù)的轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)知識(shí)與方法。

《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》共兩冊(cè)，面向小學(xué)中高年級(jí)的學(xué)生。其中，第一冊(cè)聚焦算術(shù)知識(shí)，第二冊(cè)則以幾何知識(shí)為核心。兩冊(cè)書以師生活動(dòng)為引導(dǎo)，精心設(shè)計(jì)了34個(gè)趣味橫生的數(shù)學(xué)游戲：“四個(gè)立方體”“巧組數(shù)字\"“逆數(shù)奇談”“猜銅圓”“猜你的心思”“原數(shù)多少”“猜棋子\"\"猜你的年齡”“猜你的生日”“猜你是哪個(gè)月生的”“你心我知”“兄弟年齡”“牛的年齡”“到底可種多少樹”“無秤稱物”“鄉(xiāng)人賣谷\"“買賣汽車”“買郵票”和“四個(gè)三角形”“三個(gè)正方形”“剪角”“剪合成方\"“合成方圓”“移帽方法\"“九子棋”“排花方法”“種樹方法\"“八陣圖”“巧婦分米”“周游宿舍”“怎樣過橋”“均分寶物”“打不盡的一粒算珠\"“數(shù)學(xué)棋”。該書形式新穎，內(nèi)容豐富，蘊(yùn)含轉(zhuǎn)化、逆推以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法，能夠很好地激起讀者的興趣，引發(fā)讀者的思考。

（二）三本數(shù)學(xué)科普著作的教育啟示

1.融入故事、游戲和競(jìng)賽，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師。楊振寧先生曾強(qiáng)調(diào)興趣對(duì)學(xué)習(xí)的重要性：只有對(duì)所學(xué)的知識(shí)感興趣，學(xué)生才會(huì)隨時(shí)觀察、提問、思索；到了這個(gè)境地，就容易出成果了。13]故事、游戲和競(jìng)賽符合兒童好奇、玩耍和爭(zhēng)勝的天性，是最能夠激發(fā)兒童學(xué)習(xí)興趣的學(xué)習(xí)內(nèi)容和形式。

葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普著作都充分融入了故事、游戲和競(jìng)賽。《數(shù)數(shù)算算》采用引人入勝的故事敘述方式，寓教于樂。《算術(shù)游戲》不僅融入“神仙猜數(shù)”“一連勝幾次”\"很是奇怪\"“稱贊不止\"等富有想象力的情節(jié)，而且設(shè)計(jì)眾多算術(shù)游戲，激發(fā)兒童的學(xué)習(xí)興趣。他們不禁會(huì)問：如何才能贏得比賽？為何有人能夠如此迅速地解答算術(shù)題？這些疑問引領(lǐng)他們就地取材，邊玩邊學(xué)：進(jìn)行“搶三十”“未卜先知\"等游戲，進(jìn)入算術(shù)的殿堂。《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》起源于一位學(xué)生自創(chuàng)的紙牌算術(shù)玩具，教師敏銳地捕捉到學(xué)生對(duì)算術(shù)游戲的濃厚興趣，于是順勢(shì)而為，舉辦全班的算術(shù)競(jìng)賽會(huì)，鼓勵(lì)學(xué)生搜集自己感興趣的數(shù)學(xué)趣題，親手制作算術(shù)或幾何玩具，相互出題解答，在熱烈氛圍中積極思考，收獲知識(shí)。

數(shù)學(xué)教學(xué)自然也應(yīng)該恰當(dāng)?shù)厝谌牍适隆⒂螒蚝透?jìng)賽。例如，教學(xué)“3的倍數(shù)”時(shí)，可以融入“搶三十\"的游戲，讓學(xué)生在緊張刺激的游戲過程中自然產(chǎn)生疑問：為何老師總能獲勝？這背后究竟隱藏著怎樣的秘訣？這能點(diǎn)燃學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。又如，教學(xué)“求最小公倍數(shù)”時(shí)，可以融人“幾時(shí)相會(huì)”的游戲，并且設(shè)置情境問題：“誰(shuí)能成為那位焦急等待女兒歸家的母親的救星，為她解答出這道難題？\"激發(fā)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的欲望。特別是“算術(shù)競(jìng)賽會(huì)”，進(jìn)一步融合了游戲和競(jìng)賽的形式，突出了學(xué)生的主體地位，不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且能鍛煉學(xué)生搜集與篩選信息的能力，提升學(xué)生表達(dá)與交流想法的能力，從而為數(shù)學(xué)課堂注入新的活力。

2.滲透數(shù)學(xué)思想方法，留下思考空間

使學(xué)生“即使忘記教給他的所有知識(shí)，也能獲得受用終生的東西\"的教育，才是最好的教育。14]對(duì)于數(shù)學(xué)教育而言，這個(gè)“受用終生的東西\"正是數(shù)學(xué)思想方法。作為高位的教育目標(biāo)，數(shù)學(xué)思想方法不能直接學(xué)習(xí)，只能在數(shù)學(xué)思考過程中體驗(yàn)、感悟。

一方面，葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普著作都通過問題巧妙滲透了轉(zhuǎn)化、逆推以及數(shù)形結(jié)合等深刻的數(shù)學(xué)思想方法，讓兒童在解決問題的過程中自然而然地學(xué)習(xí)與運(yùn)用。例如，在《算術(shù)游戲》的“幾個(gè)錢一兩，幾個(gè)錢一斤”中，將除數(shù)為兩位數(shù)的除法問題轉(zhuǎn)化為多次執(zhí)行的除數(shù)為一位數(shù)的除法問題，如將除以16轉(zhuǎn)化為連續(xù)4次除以2，蘊(yùn)含著化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)思想方法。又如，在《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》的“原數(shù)多少\"中，借助圖2，將“已知（原數(shù) +4）× （原數(shù) -4）=65 ，求原數(shù)是多少”的問題轉(zhuǎn)化為大正方形面積與小正方形面積之差的問題，從而得出原數(shù)為9的結(jié)論。這里不僅蘊(yùn)含著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，而且體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。由此不僅揭示了問題的本質(zhì)，而且孕伏著中學(xué)階段的平方差公式。

圖2

另一方面，葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普著作并未逐一給出所有問題的詳盡解答，對(duì)于有些問題，僅提供了思路或結(jié)果，這就為兒童留下了廣闊的思考空間，鼓勵(lì)他們自主思考，從而體驗(yàn)、感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》的“四個(gè)立方體”中，設(shè)問：“諸位小朋友，不妨拿來算算看，總共可擲出多少不同的四位數(shù)來？”又如，在《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》的“逆數(shù)奇談”中，設(shè)問：“諸位小朋友啊！這是什么道理呢？大家不以為奇怪嗎？如其有不信的，那么，不妨再試試！”

數(shù)學(xué)教學(xué)自然也應(yīng)該在設(shè)計(jì)問題時(shí)，注意滲透數(shù)學(xué)思想方法，留下學(xué)生思考空間。

3．促進(jìn)內(nèi)容跨界融合，培養(yǎng)綜合素養(yǎng)

最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》強(qiáng)調(diào)了“五育融合\"和“學(xué)科融合\"的理念。15]這是為了更好地提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科育人（特別是“立德樹人\"）的目標(biāo)。

葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普著作都很好地實(shí)現(xiàn)了“五育融合\"和“學(xué)科融合”。《算術(shù)游戲》將品德教育、勞動(dòng)教育融人數(shù)學(xué)情境。例如，在“幾時(shí)相會(huì)\"中，展現(xiàn)孝道，讓兒童在游戲中感受中華傳統(tǒng)美德；在“幾個(gè)錢一兩，幾個(gè)錢一斤\"中，融入勞動(dòng)觀念與責(zé)任意識(shí)，讓兒童在父親教子智慧中得到勞動(dòng)教育。《算術(shù)競(jìng)賽會(huì)》將物理知識(shí)、生活常識(shí)融人數(shù)學(xué)問題。例如，在“無秤稱物”中，運(yùn)用杠桿原理解決問題。

數(shù)學(xué)教學(xué)自然也需要借鑒這樣的做法，促進(jìn)內(nèi)容（目標(biāo)）的跨界融合，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

4.在注重趣味性的同時(shí)，兼顧嚴(yán)謹(jǐn)性

數(shù)學(xué)科普的重要目的之一是將數(shù)學(xué)這一抽象嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科以生動(dòng)有趣的方式展現(xiàn)在公眾面前，使更多的人了解數(shù)學(xué)、愛上數(shù)學(xué)。其中，趣味性和嚴(yán)謹(jǐn)性有時(shí)是矛盾的。從局限性的角度看，葉圣陶先生的數(shù)學(xué)科普著作在注重趣味性的同時(shí)，偶爾會(huì)忽視嚴(yán)謹(jǐn)性。

例如，《算術(shù)游戲》的“請(qǐng)你猜猜看”中介紹：哥哥帶著妹妹進(jìn)行一個(gè)“神仙猜數(shù)”的游戲，其中涉及五張卡片（如圖3所示），一個(gè)人在卡片中找一個(gè)數(shù)，然后告訴另一個(gè)人這個(gè)數(shù)在哪幾張卡片中有（在哪幾張卡片中沒有），另一個(gè)人猜出這個(gè)數(shù)。妹妹描述，第一張有，第二張沒有，第三張有，第四張有，第五張沒有。哥哥迅速猜出是8，并揭秘其找數(shù)的訣竅：將每張“有\(zhòng)"的卡片左上角的數(shù)累加，即得目標(biāo)數(shù)；具體而言，第一張、第三張與第四張卡片左上角的數(shù)之和為 1+3+4=8 。然而，這個(gè)問題的解決方法有一定的局限性。基于書中所述哥哥的猜數(shù)策略及其實(shí)際應(yīng)用效果，可以進(jìn)一步歸納整理發(fā)現(xiàn)，有一些猜測(cè)可能沒有答案（如表2所示）。

表2“神仙猜數(shù)\"可能的情況

這提醒我們，要辯證地看待經(jīng)典，既傳承發(fā)揚(yáng)其優(yōu)點(diǎn)，也改進(jìn)完善其不足。具體到數(shù)學(xué)教育中，要在注重趣味性的同時(shí)，兼顧嚴(yán)謹(jǐn)性。

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（李春蘭，內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，教授。鄒巖，內(nèi)蒙古師范大學(xué)科學(xué)技術(shù)史研究院。張倩，內(nèi)蒙古自治區(qū)烏蘭察布市集寧區(qū)第二中學(xué)。）