運用等價變形題指導學生解題

有些數學應用題，因為數量關系較為復雜，學生會感到無從下手，這時，教師可運用非等價變形題引導學生進行分析并解答。

例1．一個面積為20平方厘米的正方形內有一個最大的圓，求這個圓的面積是多少?

分析與解答：題目中正方形的面積是個非完全平方數，如果要讓學生求出圓的半徑，然后再求出這個圓的面積學生是無從下手的。

因此，可先出示這樣一道比較題：“已知一個面積為1平方厘米的正方形內有一個面積最大的圓，求這個圓的面積。”

因為正方形的面積是1平方厘米，學生能很快理解這個正方形的邊長即為1厘米，因此面積為1平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積為：3.14×(1÷2)²=0．785(平方厘米)。

在學生求解出面積為1平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積后，教師可再將此題同例1進行比較，這樣學生就能很快求出面積為20平方厘米的正方形內面積最大的圓的面積為： 0.785×20=15.7(平方厘米)。

例2.某校上學期共有學生1040人，本學期有學生1360人，其中男生比上學期增加48％，女生比上學期增加20％，求這所學校本學期有男女生各多少人?

分析與解答：題中的兩個百分率無直接關系，給解題帶來了一定的難度。

因此，可先出示這樣一道比較題：“某校上學期共有學生1040人，本學期男女生都比上學期增加了20％，求本學期這所學校共有多少人?”

學生很快求出答案，本學期學校有學生：1040×(1+20％)=1248(人)。

然后再將此題同例2進行比較，學生便發現“男女生都比上學期增加了20％”與例2的“男生比上學期增加48％，女生比上學期增加20％”相關的人數則為：1360-1248=112(人)。因此，可求得上學期的男生人數應為：112÷(48％-20％) =400(人)，所以，本學期的男生人數為：400× (1+48％)=592(人)，本學期的女生人數為：1360- 592=768(人)。

例3.某校學生步行去進行郊游活動，在離開學校3千米處，張老師發現有物品遺留在學校，馬上騎自行車以每小時9千米的速度返回學校，拿了物品后又追趕學生隊伍，已知學生隊伍每小時行4千米，求張老師離開隊伍幾小時又追趕上學生隊伍?

分析與解答：題目不明確張老師從何處追及，以及追及的距離有多長，學生感到無法下手。

因此，可設計以下一道比較題：“某校學生去進行郊游活動，每小時行4千米，隊伍離開學校6千米后，張老師才騎自行車以每小時9千米的速度去追趕隊伍，問張老師幾小時能追趕上隊伍?”

學生很快求出答案：張老師追趕上隊伍的時間為：6÷(9-4)=1.2(小時)。

然后再將此題與例3進行比較，學生很快看出，張老師在隊伍離開學校3千米處返回學校去拿取物品，然后再追及隊伍，追及的距離即為當時隊伍與學校距離的2倍。因此，學生很快求出例3的答案，張老師追趕上隊伍的時間為：3× 2÷(9-4)=1.2(小時)。

例4．某工廠計劃在規定的時間內加工一批零件，若每小時加工30個，則比規定時間晚完成 1小時，若每小時加工48個，則比規定時間少用半小時，如果要在規定的時間內完成，每小時要加工幾個零件?

分析與解答：學生對題目中“比規定時間晚完成1小時”與“比規定時間少用半小時”這兩個條件不理解，因此會感到難以求解。

因此，可出示下列一道比較題：“甲、乙兩人同時騎摩托車從A地到B地，甲每小時行48千米，乙每小時行30千米，經過若干個小時，乙離 B地還有36千米，甲超過B地24千米，這時兩人如果立即掉頭往回走，如果兩人的速度不變，問甲追上乙要幾小時?”

這是一道追及應用題，學生能很快列式解答，甲追上乙要用的時間為：(24+30)÷(48-30)= 3(小時)。

然后再將此題同例4進行比較，學生即能發現，比較題的追及時間即為例4中加工這批零件的規定時間，因此學生很快求出加工這批零件的規定時間為：(30+48÷2)÷(48-30)=3(小時)。所以，在規定的時間內完成這批零件，每小時要加工的零件個數為：30×(3+1)÷3=40(個)。

例5．幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給小班，每人5個則余10個，如果分給大班，每人8個，則有一人分到6個，已知小班比大班多3人。問這筐蘋果有幾個?

分析與解答：這題比一般的盈余問題多了“小班比大班多了3人”，因此有的學生會望而卻步，不知所措。

因此，可出示這樣一道比較題：“幼兒園將一筐蘋果分給大班的小朋友，如果每人5個，則余25個，如果每人8個，則少2個，問這筐蘋果共有幾個?”

學生能很快列式求解，大班人數為：(25+2)÷ (8-5)=9(人)。這筐蘋果的個數為：9×8-2=70 (個)，或5×9+25=70(個)。

然后再將此題同例5進行比較，學生也能很快知道，小班比大班多3人，即大班每人分5個則要多余：5×3+10=25(個)；分給大班每人8個，有一人只分到6個，則少：8-6=2(個)。因此，學生能夠迅速求出這筐蘋果的個數為：8×［(25+2)÷(8—5)］-2=70(個)。

例6．一項工程，甲、乙兩人合作30天完成，如果甲單獨做24天后，乙再加入合作，兩人合作12天后，甲因有事離開，由乙再單獨做了15天才完成這項工程。問這項工程如果由甲單獨做要用幾天才能完成?

分析與解答：這道題因為甲、乙兩人做的時間前后不同，學生會感到束手無策。

因此，可出示這樣一道比較題：“一項工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙兩人合作 27天后，甲再用了9天才完成，求甲單獨完成這項工程要用幾天才能完成？”

學生很快求出甲單獨完成這項工程要用的時間為：9÷(1-1/30×27)=90(天)。

然后再引導學生將此題同例6進行比較，學生即能發現，兩道題的解題思路是完全相同的。因此，學生也能很快求出甲單獨完成這項工程要用的時間為：(24-15)÷［1-1/30×(15+12)］ =90(天)。