合情推理與論證推理的辯證分析

推理能力的培養(yǎng)是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的核心目標(biāo)之一，其中要求學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理的能力和初步的演繹推理的能力”。讓學(xué)生樂于猜想、勤于探索、善于論證、精于推理是數(shù)學(xué)教師的根本任務(wù)之一。

一、問題的提出

長期以來，數(shù)學(xué)教學(xué)只注重發(fā)展學(xué)生的演繹推理，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)。而在當(dāng)前實(shí)施新課程的過程中又出現(xiàn)與之相反的情況，某些教師只強(qiáng)調(diào)通過操作實(shí)驗(yàn)歸納出結(jié)論，不善于引導(dǎo)學(xué)生從“合情推理”上升到“論證推理”。

筆者曾見到一位教師在教學(xué)長方體相對面的面積相等時(shí)，只是要求學(xué)生用剪紙覆蓋的方法進(jìn)行驗(yàn)證，而不善于引導(dǎo)學(xué)生從“實(shí)驗(yàn)幾何”到“論證幾何”。那種只滿足于生活中的數(shù)學(xué)、強(qiáng)調(diào)“科學(xué)性讓位于可接受性”的推理模式往往是幼稚可笑的。這種從一個(gè)極端走向另一個(gè)極端的做法阻礙兒童思維邏輯性與抽象性的發(fā)展，不利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

那么，“合情推理”與“論證推理”的內(nèi)涵和價(jià)值是什么?如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中“合情推理”與“論證推理”并舉，切實(shí)可行地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力?

二、“合情推理”與“論證推理”的內(nèi)涵和價(jià)值

推理是“由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出另一個(gè)未知判斷的思維形式”(《辭海》1999年版)。學(xué)生獲得數(shù)學(xué)知識的過程實(shí)質(zhì)是從合情推理上升到演繹推理的過程。所謂“合情推理”，就是合理的猜測。它以類比和歸納為主要形式，對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維是不可缺少的。然而“合情推理”得到的結(jié)論未必可靠，例如，在過去，由于人們看到鳥都會(huì)飛，金屬都沉到水里，于是便歸納出“所有的鳥都會(huì)飛”，“一切金屬的比重都比水大”的結(jié)論。但是到后來，發(fā)現(xiàn)了與上述情況相矛盾的情況，這就表明合情推理的結(jié)論未必可靠。然而合情推理卻是探索規(guī)律和發(fā)現(xiàn)真理的有效手段。

數(shù)學(xué)通常被人們看作是一門以嚴(yán)格論證為特征的演繹科學(xué)，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論總是建立在論證推理的基礎(chǔ)上。論證推理包括演繹推理和完全歸納推理。合情推理導(dǎo)致猜想和發(fā)現(xiàn)，論證推理可以證實(shí)猜想。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是“合情推理”與“論證推理”這兩種形式不同又相輔相成的推理交互作用的過程。對于推理可作如下分類：

合情推理既是進(jìn)行數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要技能，也是未來生活和生產(chǎn)進(jìn)行有效思維的需要。因此，合情推理對于培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神有著重要的教育價(jià)值。

能力的形成絕不等同于知識與技能的獲取，它是一個(gè)緩慢的過程，有著自身的特點(diǎn)與規(guī)律。推理能力的形成不能只停留在淺表的合情推理的層面上。蘇聯(lián)心理學(xué)家克魯茨基在《中小學(xué)數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》一書中提出：“對教學(xué)對象進(jìn)行推理的能力是卓越數(shù)學(xué)家最重要的品質(zhì)”，“數(shù)學(xué)是最適宜于發(fā)展嚴(yán)格推理能力的學(xué)科，而嚴(yán)格的推理則是數(shù)學(xué)上發(fā)展得很好的主要標(biāo)志之一。”由此可見在教學(xué)中培養(yǎng)論證推理能力的重要價(jià)值。因此，對于已有結(jié)論的正確性提出理性的思考，合乎邏輯的質(zhì)疑是推理能力培養(yǎng)的高級行為，引導(dǎo)學(xué)生從合情推理上升到論證推理是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)。

三、“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中推理能力的培養(yǎng)

“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則和公式的形成，存在著一個(gè)由特殊到一般，由部分到整體、由具體到抽象的過程。教師在教學(xué)過程中要善于引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、比較、歸納、類比、猜想、演繹。從合情推理上升為論證推理，養(yǎng)成言而有據(jù)的態(tài)度和質(zhì)疑問難的習(xí)慣。

例如在“分?jǐn)?shù)化小數(shù)”(人教版教科書六年制第十冊)的教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生從合情推理到論證推理，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法展開知識的形成過程，幫助學(xué)生科學(xué)地思考問題，探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。具體過程歸納如下：

(1)研究事例。

出示“例1：把3／10，67／100，2(49／1000)化成小數(shù)”，讓學(xué)生歸納出分母是10，100，1000……的分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的法則；再由小數(shù)的意義(十進(jìn)分?jǐn)?shù))說明這些分母是10，100，1000……的分?jǐn)?shù)可直接寫成小數(shù)。這里已潛移默化地向?qū)W生滲透了“歸納”和“演繹”的思想。

再出示“例2：把3／4，7／25，9／40，2／9，5／14化成小數(shù)(除不盡的保留3位小數(shù))”，引導(dǎo)學(xué)生研究以下問題：

①分?jǐn)?shù)化小數(shù)時(shí)，有哪幾種情況?(向?qū)W生滲透“分類思想”。)

②怎樣區(qū)分和判定“除得盡”和“除不盡”?(引導(dǎo)學(xué)生探索，并學(xué)會(huì)“比較”方法。)

②一個(gè)分?jǐn)?shù)能不能化為有限小數(shù)取決于它的哪一部分?怎樣取決于分母?(通過學(xué)生的合情推理，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。)

(2)提出猜想。

通過以上引導(dǎo)討論，學(xué)生提出如下猜想：“一個(gè)分?jǐn)?shù)如果分母中含有2和5，不含其他的質(zhì)因數(shù)，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。”

(3)檢驗(yàn)猜想。

緊接著教師出示“例3：2／5，7／8，1／12，4(9／22)，3／15，21／28能不能化成有限小數(shù)”，先讓學(xué)生根據(jù)以上猜想作出判斷，再用分子除以分母，看看這些判斷是不是正確的。

通過檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)以上猜想出現(xiàn)矛盾。再讓學(xué)生將以上分?jǐn)?shù)分為“2／5，7／8，1／12，4(9／22)”與“3／15，21／28”兩組進(jìn)行比較，問：①這兩組分?jǐn)?shù)有什么不同?②怎樣修改猜想(縮小判斷的適用范圍)就可以清除上面的檢驗(yàn)中出現(xiàn)的矛盾?③將“一個(gè)分?jǐn)?shù)”改為“一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)”后再檢驗(yàn)，看看會(huì)不會(huì)再出現(xiàn)矛盾。

(4)修改猜想。

一個(gè)最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5，不含其他的質(zhì)因數(shù)，它就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，它就不能化成有限小數(shù)。

(5)論證猜想。

教師向?qū)W生提出：“為什么分母只含有質(zhì)因數(shù)2或5的最簡分?jǐn)?shù)能化成有限小數(shù)?而分母含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)，就不能化為有限小數(shù)?”

四、空間與圖形教學(xué)中推理能力培養(yǎng)

空間與圖形的教學(xué)，從以前偏重于演繹推理，調(diào)整為現(xiàn)在合情推理與論證推理相結(jié)合，即不但要求學(xué)生在觀察與操作中認(rèn)識圖形的性質(zhì)，而且進(jìn)一步要求學(xué)生作出理性思考的推理，形成證明的意識，理解證明的過程，掌握證明的格式和基本方法，進(jìn)而感受公理化思想。

回到開始提到的問題：“長方體的認(rèn)識”。

長方體的認(rèn)識是在學(xué)生直觀認(rèn)識長方體并且擁有了長方體的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，應(yīng)注意直觀感受和抽象思維相結(jié)合、合情推理和論證推理相結(jié)合，并顯著增加論證推理的分量，以便做好與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的銜接。

(1)從實(shí)例抽象出長方體的圖形。

復(fù)習(xí)一年級學(xué)習(xí)過的知識。讓學(xué)生從一堆物體中找出長方體，并且說明辨別長方體的依據(jù)是什么，從而明確“長方體”就是由6個(gè)長方形的平面部分圍成的物體。

(2)讓學(xué)生就實(shí)物或模型研究長方體6個(gè)面的大小，認(rèn)識到6個(gè)面可能有大有小，但相對的兩個(gè)面總是相同的。

(3)定義長方體的棱和頂點(diǎn)。讓學(xué)生數(shù)一數(shù)一個(gè)長方體有多少條棱，多少個(gè)頂點(diǎn)，并且交流數(shù)的方法。從逐個(gè)計(jì)數(shù)到按群計(jì)數(shù)，再到根據(jù)長方體的基本特征推算：因?yàn)殚L方體有6個(gè)面，每個(gè)面有4條邊，每條棱都是2個(gè)面的公共邊。所以一個(gè)長方體有4x6÷2=12條棱。同理可以推算出長方體有8個(gè)頂點(diǎn)。

從一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)到分組數(shù)，再到推理和計(jì)算，反映了思維訓(xùn)練的強(qiáng)化和思維活動(dòng)由低級向高級的發(fā)展。

(4)關(guān)于長方體中“相對的面完全相同”、“相對的(即方向相同的)棱長相等”，僅僅通過教具或多媒體的演示或者通過量一量、比一比的操作活動(dòng)讓學(xué)生來認(rèn)識是不夠的。在演示和操作前，可以先引導(dǎo)學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上猜測，即運(yùn)用空間直覺作出(猜測性的)判斷。在演示或操作后，要及時(shí)地將學(xué)生引向抽象思維，讓他們想一想：如果我們不看教具和動(dòng)畫，也不動(dòng)手操作，而僅僅根據(jù)已有知識，能不能得出同樣的結(jié)論?

例如，根據(jù)長方體的6個(gè)面都是長方形以及長方形的對邊相等，可以推出長方體中方向相同的每4條棱的長度都相等；進(jìn)一步又可以證明長方體中相對的面是長與寬分別相等的長方形，所以它們“完全相同”。以上從“直觀幾何”到“實(shí)驗(yàn)幾何”再到“論證幾何”的教學(xué)過程，使學(xué)生在具體的問題情境中既領(lǐng)悟了合情推理，又認(rèn)識了論證推理的意義和作用。

對于小學(xué)生而言，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中處處都進(jìn)行“論證推理”是不可能的，正如處處都要用“動(dòng)手實(shí)踐”“發(fā)現(xiàn)探索”也絕無可能一樣。關(guān)鍵是教師要善于把握時(shí)機(jī)，既要適時(shí)適度地讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，又要使學(xué)生獲取演繹論證的體驗(yàn)；既要引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)猜想，又要使學(xué)生通過演繹驗(yàn)證猜想，使之上升為科學(xué)的結(jié)論。這樣做才能拓寬發(fā)展學(xué)生推理能力的空間。

(作者單位：南京曉莊學(xué)院)

責(zé)任編輯：王 偉