“香蕉”球的奧秘與物理學(xué)中的力學(xué)原理

胡　銳　鄒祖莉

摘 要：本文通過“香蕉”球的運(yùn)動(dòng)軌跡形成過程分析，將體育運(yùn)動(dòng)學(xué)和物理學(xué)緊密的結(jié)合起來，體現(xiàn)了新課程的理念：注重學(xué)科之間的聯(lián)系和滲透，探索一種新的教學(xué)模式，試圖將嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奈锢韺W(xué)知識(shí)應(yīng)用到生機(jī)勃勃的足球運(yùn)動(dòng)之中。

關(guān)鍵詞足球運(yùn)動(dòng)；香蕉球；力學(xué)原理；結(jié)合

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1003-61

48(2006)12(S)-0021-2足球運(yùn)動(dòng)是當(dāng)今人類十分喜愛的一項(xiàng)體育運(yùn)動(dòng)，在我國有著廣泛的群眾基礎(chǔ)，青年人尤為鐘愛。我們?cè)谟^看高水平的足球比賽時(shí)，經(jīng)常有這樣的場(chǎng)面出現(xiàn)：某運(yùn)動(dòng)員踢出一記絕妙的“香蕉”球，足球劃出一道美麗的弧線，繞過“人墻”，穿破守門員的“五指關(guān)”飛入球門……此刻全場(chǎng)人聲鼎沸，觀眾喜悅和歡樂的情緒達(dá)到了極至。

究竟足球在空中如何運(yùn)動(dòng)，才能形成“香蕉”球？（它的初始過程取決于運(yùn)動(dòng)員踢球瞬時(shí)“腳法”，之中的物理學(xué)原理本文不作討論。）現(xiàn)在我們從其所涉及的物理力學(xué)原理就此進(jìn)行解析。

1 馬格努斯效應(yīng)

足球在空中的運(yùn)動(dòng)過程，可以視為重力場(chǎng)中質(zhì)量均勻分布的球體在流體（空氣）中的運(yùn)動(dòng)過程，一般說來，在流體中運(yùn)動(dòng)的物體要受到浮力、升力、阻力、阻力矩等作用。流體具有粘滯性，因此，有阻力施加于物體上，研究表明：低雷諾數(shù)時(shí)阻力與速度的一次方成正比，高雷諾數(shù)時(shí)阻力與速度的二次方成正比。若足球向前飛行時(shí)不產(chǎn)生繞對(duì)稱軸的旋轉(zhuǎn)，則周圍空氣對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的影響只是減慢球的飛行速度，其在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡為一平面曲線，不會(huì)出現(xiàn)“香蕉”球。如果足球在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)，一邊向前飛行，一邊繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)，則由于足球的旋轉(zhuǎn)和空氣粘性的共同作用，在足球周圍的附面內(nèi)產(chǎn)生環(huán)流，前方來流和環(huán)流共同作用的結(jié)果，在來流和環(huán)流同方向的一側(cè)，流速加快，在反方向的另一側(cè)，流速減慢，根據(jù)伯努利原理，流速加快的一側(cè)壓力下降，流速減慢的一側(cè)壓力升高，二側(cè)的壓力差對(duì)足球產(chǎn)生側(cè)向作用力稱為馬格努斯力，方向與足球的瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸垂直，且與足球的運(yùn)動(dòng)方向垂直，如圖一所示。設(shè)足球半徑、旋轉(zhuǎn)角速度、空氣密度、及相對(duì)球而言的氣流速度分別為：r、ω、v，由儒可夫斯基環(huán)流理論，可求出馬格努斯力為

FL=83πρωr3v（1）

由于馬格努斯力的方向與球的旋轉(zhuǎn)方向有關(guān)，因此，改變足球的旋轉(zhuǎn)方向可以使足球在水平面內(nèi)向左或向右偏轉(zhuǎn)，踢“香蕉”球射門，足球可繞過防守人墻破門而入，它是足球運(yùn)動(dòng)一項(xiàng)重要的制勝技術(shù)。

2 “香蕉”球運(yùn)動(dòng)軌跡的形成原理分析

在考慮以角速度ω繞自身對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的足球在空氣中運(yùn)動(dòng)時(shí)，為了便于分析并能夠求出解析表達(dá)式，我們假定：

（1）空氣對(duì)旋轉(zhuǎn)足球產(chǎn)生的阻力矩忽略不計(jì)；

（2）不考慮氣流、風(fēng)力對(duì)足球運(yùn)動(dòng)的影響；

（3）空氣阻力的豎直分量較小予以忽略；

（4）足球繞對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的角速度ω的方向沿豎直方向，馬格努斯力的方向沿水平方向。

根據(jù)上述假定，在柱坐標(biāo)系中，足球的運(yùn)動(dòng)微分方程為

豎直方向：md2zdt=-mg。（2a）

水平方向：mdvdt=-kv2，（2b）

mv2R=Gv。（2c）

豎直方向的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為

z=z0+(v0sinα0)t-12gt2。（2d）

式中z0，v0，α0分別為z方向的初始位置，初速度，初仰角。

如圖2所示，將ds=vdt和初始條件，z0=0，s0=0，v0=v0cosα0（α0為足球距離地面時(shí)在x-z平面內(nèi)的仰角，v0為足球的初速度）

將v按t的冪級(jí)數(shù)展開，近似后得到：

x=∫瑃0vcosθdt=∫瑃0vcosGtm·dt=v0｛mGsinGtm-v0km［m2G2(cosGtm-1)+mtGsinGtm］+(v0km)2［m2tG2(GtmsinGtm+2cosGtm)-2m3G3sinGtm］｝。

足球的橫向偏移量為：

y=∫瑃0vsinθdt=∫瑃0vsinGtm·dt≈v0｛mG(1-cosGtm)-v0km［m2G2sinGtm+mtGcosGtm］+(v0km)2［m2tG2(2sinGtm-GtmcosGtm)-2m3G3(cosGtm-1)］｝。

上面兩式給出足球在x-y平面上投影的運(yùn)動(dòng)軌跡橫向位移y隨著v0、ω0的增大而增大，與實(shí)際情況是一致的，取足球的質(zhì)量為m=0.454kg，半徑r=0.11m，取空氣的密度ρ=1.29kg·m-3，并分別設(shè)足球的初速v0=15m/s及18m/s，旋轉(zhuǎn)角速度ω0=10s-1及 15s-1，近似地取阻力系數(shù)c=0.50，可求得幾種橫向位移的計(jì)算值，如下表所示，它們與“香蕉球”運(yùn)動(dòng)軌跡的實(shí)際情況基本相符。顯然，解析計(jì)算的結(jié)果對(duì)足球教練員和運(yùn)動(dòng)員在進(jìn)行“香蕉”球的設(shè)計(jì)和訓(xùn)練時(shí)提供了有力的理論依據(jù)。

v0/m·s-11518

ω0/s-110151015

t/s12121212

y/m2.077.493.0810.832.448.773.6312.68

體育運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)盛反映了一個(gè)民族的綜合素質(zhì)，而競技體育運(yùn)動(dòng)水平的提升有賴于先進(jìn)的文化知識(shí)和科技手段作為基礎(chǔ)。在物理教學(xué)中滲透各類體育運(yùn)動(dòng)的物理原理分析，一方面能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣，另一方面能使運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際感悟與理論認(rèn)識(shí)有機(jī)地結(jié)合起來，促進(jìn)其技術(shù)技能的提高。這種結(jié)合也是創(chuàng)建一種新的教學(xué)模式的嘗試，對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力是大有裨益的。

參考文獻(xiàn)：

［1］葛隆祺，體育運(yùn)動(dòng)中的流體力學(xué).工科物理.1995（1）.24~27

［2］馬文蔚，物理學(xué)原理與工程技術(shù)中的應(yīng)用.北京，2001.11

［3］梁紹榮，普通物理學(xué)，北京，高等教育出版社1993.11

(欄目編輯黃懋恩)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文