“香蕉”球的奧秘與物理學中的力學原理

胡　銳　鄒祖莉

摘 要：本文通過“香蕉”球的運動軌跡形成過程分析，將體育運動學和物理學緊密的結合起來，體現了新課程的理念：注重學科之間的聯系和滲透，探索一種新的教學模式，試圖將嚴謹的物理學知識應用到生機勃勃的足球運動之中。

關鍵詞足球運動；香蕉球；力學原理；結合

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-61

48(2006)12(S)-0021-2足球運動是當今人類十分喜愛的一項體育運動，在我國有著廣泛的群眾基礎，青年人尤為鐘愛。我們在觀看高水平的足球比賽時，經常有這樣的場面出現：某運動員踢出一記絕妙的“香蕉”球，足球劃出一道美麗的弧線，繞過“人墻”，穿破守門員的“五指關”飛入球門……此刻全場人聲鼎沸，觀眾喜悅和歡樂的情緒達到了極至。

究竟足球在空中如何運動，才能形成“香蕉”球？（它的初始過程取決于運動員踢球瞬時“腳法”，之中的物理學原理本文不作討論。）現在我們從其所涉及的物理力學原理就此進行解析。

1 馬格努斯效應

足球在空中的運動過程，可以視為重力場中質量均勻分布的球體在流體（空氣）中的運動過程，一般說來，在流體中運動的物體要受到浮力、升力、阻力、阻力矩等作用。流體具有粘滯性，因此，有阻力施加于物體上，研究表明：低雷諾數時阻力與速度的一次方成正比，高雷諾數時阻力與速度的二次方成正比。若足球向前飛行時不產生繞對稱軸的旋轉，則周圍空氣對足球運動的影響只是減慢球的飛行速度，其在空中的運動軌跡為一平面曲線，不會出現“香蕉”球。如果足球在空中運動時，一邊向前飛行，一邊繞對稱軸旋轉，則由于足球的旋轉和空氣粘性的共同作用，在足球周圍的附面內產生環流，前方來流和環流共同作用的結果，在來流和環流同方向的一側，流速加快，在反方向的另一側，流速減慢，根據伯努利原理，流速加快的一側壓力下降，流速減慢的一側壓力升高，二側的壓力差對足球產生側向作用力稱為馬格努斯力，方向與足球的瞬時轉軸垂直，且與足球的運動方向垂直，如圖一所示。設足球半徑、旋轉角速度、空氣密度、及相對球而言的氣流速度分別為：r、ω、v，由儒可夫斯基環流理論，可求出馬格努斯力為

FL=83πρωr3v（1）

由于馬格努斯力的方向與球的旋轉方向有關，因此，改變足球的旋轉方向可以使足球在水平面內向左或向右偏轉，踢“香蕉”球射門，足球可繞過防守人墻破門而入，它是足球運動一項重要的制勝技術。

2 “香蕉”球運動軌跡的形成原理分析

在考慮以角速度ω繞自身對稱軸旋轉的足球在空氣中運動時，為了便于分析并能夠求出解析表達式，我們假定：

（1）空氣對旋轉足球產生的阻力矩忽略不計；

（2）不考慮氣流、風力對足球運動的影響；

（3）空氣阻力的豎直分量較小予以忽略；

（4）足球繞對稱軸旋轉的角速度ω的方向沿豎直方向，馬格努斯力的方向沿水平方向。

根據上述假定，在柱坐標系中，足球的運動微分方程為

豎直方向：md2zdt=-mg。（2a）

水平方向：mdvdt=-kv2，（2b）

mv2R=Gv。（2c）

豎直方向的運動規律為

z=z0+(v0sinα0)t-12gt2。（2d）

式中z0，v0，α0分別為z方向的初始位置，初速度，初仰角。

如圖2所示，將ds=vdt和初始條件，z0=0，s0=0，v0=v0cosα0（α0為足球距離地面時在x-z平面內的仰角，v0為足球的初速度）

將v按t的冪級數展開，近似后得到：

x=∫瑃0vcosθdt=∫瑃0vcosGtm·dt=v0｛mGsinGtm-v0km［m2G2(cosGtm-1)+mtGsinGtm］+(v0km)2［m2tG2(GtmsinGtm+2cosGtm)-2m3G3sinGtm］｝。

足球的橫向偏移量為：

y=∫瑃0vsinθdt=∫瑃0vsinGtm·dt≈v0｛mG(1-cosGtm)-v0km［m2G2sinGtm+mtGcosGtm］+(v0km)2［m2tG2(2sinGtm-GtmcosGtm)-2m3G3(cosGtm-1)］｝。

上面兩式給出足球在x-y平面上投影的運動軌跡橫向位移y隨著v0、ω0的增大而增大，與實際情況是一致的，取足球的質量為m=0.454kg，半徑r=0.11m，取空氣的密度ρ=1.29kg·m-3，并分別設足球的初速v0=15m/s及18m/s，旋轉角速度ω0=10s-1及 15s-1，近似地取阻力系數c=0.50，可求得幾種橫向位移的計算值，如下表所示，它們與“香蕉球”運動軌跡的實際情況基本相符。顯然，解析計算的結果對足球教練員和運動員在進行“香蕉”球的設計和訓練時提供了有力的理論依據。

v0/m·s-11518

ω0/s-110151015

t/s12121212

y/m2.077.493.0810.832.448.773.6312.68

體育運動的強盛反映了一個民族的綜合素質，而競技體育運動水平的提升有賴于先進的文化知識和科技手段作為基礎。在物理教學中滲透各類體育運動的物理原理分析，一方面能激發學生學習物理的興趣，另一方面能使運動員的實際感悟與理論認識有機地結合起來，促進其技術技能的提高。這種結合也是創建一種新的教學模式的嘗試，對培養和提高學生分析問題、解決問題的能力是大有裨益的。

參考文獻：

［1］葛隆祺，體育運動中的流體力學.工科物理.1995（1）.24~27

［2］馬文蔚，物理學原理與工程技術中的應用.北京，2001.11

［3］梁紹榮，普通物理學，北京，高等教育出版社1993.11

(欄目編輯黃懋恩)

<注>：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文