基于ＲｉｓｋＭｅｔｒｉｃｓ模型的國債指數風險研究
2007-01-01 00:00:00趙謙
商業研究 2007年6期
摘要：RiskMetrics模型是一組被廣泛應用的金融風險管理工具，其核心技術是在險價值（VaR）方法。研究這種對線性金融工具計算VaR的簡單方法。其中，用指數加權移動平均方法（EWMA）來計算收益率的波動，用最小RMSE標準來確定最優衰減因子。通過對上證國債指數的實證研究，計算最優的衰減因子和國債指數的每日VaR值。從中可以看出，上證國債指數的波動性較大，并且每日VaR的預測結果與所假設的置信水平能夠很好的吻合。
關鍵詞：RiskMetrics模型；VaR；指數加權移動平均方法；衰減因子；國債指數
中圖分類號：F83091 文獻標識碼：A
文章編號：1001-148X（2007）06-0120-03
一、引言
RiskMetrics是J.P.Morgan于1994年10月推出的一組金融工具，能夠幫助金融市場中的參與者應用所謂的“在險價值（Value-at-Risk，VaR）框架”估計投資組合的市場風險敞口。其基本內容由一組市場風險測度方法、用于計算市場風險的關于波動和相關性的數據集合和一套軟件三部分組成。其中，VaR方法是RiskMetrics的核心技術。現在，VaR方法被廣泛應用于各種金融工具的風險測度中，并且日漸成為測度金融風險的國際標準［1］［2］［3］［4］。
上證國債指數以上交所上市的所有固定利率國債為樣本，按照國債發行量加權，基日為2002年12月31日，基點為100點，代碼為000012。上證國債指數采用國際先進的方法編制并依托上證所具有國際領先水平的交易系統數據庫，具有極強的可操作性和投資性，能夠作為投資評價尺度及金融衍生產品基礎的基準指數。上證國債指數可以準確及時反映債券市場整體變動狀況，為投資者提供投資組合的參照系數，既為交易所債券市場提供精確的投資尺度，也為銀行間市場成員的交易提供了良好的參照標準［5］。
筆者采用RiskMetrics中計算VaR值的方法，對我國上證國債指數的風險進行實證研究，討論了上證國債指數在不同置信區間下的每日風險值，并計算了最優的衰減因子。通過實證研究，檢驗了RiskMetrics模型在我國債券市場中的有效性，其結果對估計我國國債風險有一定的指導意義。
二、VaR的計算
（一）基本公式
可以把VaR（在險價值）定義為，在給定的概率水平（即所謂的“置信水平”）下，在一定的時間期限內（可以是一天，也可以是幾個月），持有一種證券或資產組合可能遭受的最大損失［6］。從該定義可以看出，VaR值代表了資產組合未來價值的可能改變，并且這種變化依賴于測度的時間期限和風險管理者選擇的置信水平這兩個重要的變量。
RiskMetrics中介紹了兩種測度VaR的方法，一種是對于線性金融工具的簡單VaR，另一種是對于非線性金融工具的delta-gamma VaR。由于國債收益率與國債價格的變化是線性關系，所以本文采用了簡單VaR方法，這樣我們就可以假設金融工具的收益率滿足條件正態分布。
在這種分布假設下，設r是描述某個金融資產收益的隨機變量，f(r)是其概率密度函數，給定置信水平c，則收益小于r*的概率為：
對于類似于國債的固定收益證券，可以根據下式求得連續復利情況下的每日收益率：
在RiskMetrics中，假設每日收益率的均值為零。這樣，根據以上的正態分布假設，在t時的一個單獨資產的VaR為：
其中，α是給定置信水平c所對應的標準正態分布的分位點（可由標準正態分布分布表查得），Vt是該金融資產在t時的市場價值， σt｜t-1是t-1時決定的在t時的復利收益率的標準差。這樣，計算VaR的關鍵就變成對收益率標準差序列的估計和預測。
（二） 參數估計和預測
在對收益率標準差的估計中，RiskMetrics方法應用了歷史價格數據而不是相關期權價格，盡管從理論上來說后一種方法是可行的。其原因是期權價格數據對期權定價模型的依賴程度較高，如果模型有問題，對參數的估計就比較差。而且，對投資組合來說，期權價格所能提供的數據量離預測的要求還較遠。同時，許多實證研究也支持使用歷史數據，例如，Kroner，Kneafsey和Claessens［7］。所以，使用歷史價格數據對參數進行估計和預測。
1．估計方差的EWMA模型
RiskMetrics應用指數權重移動平均模型（EWMA）來預測多元正態分布的方差（波動）。其公式如下所示：
其中，參數λ是衰減因子，該參數決定了收益率序列的權重和估計方差的樣本數量。
這種方法實際是對傳統波動預測方法——固定權重移動平均方法（或稱簡單移動平均模型，SMA）——的改進。SMA方法如下式所示：
從以上兩個公式可以看出，EWMA方法相對于SMA方法有兩個優點：第一，由于最近的數據比以前的數據所給的權重更大，所以波動對市場中的沖擊反映更加迅速；第二，沖擊之后（一個較大的收益率），波動會隨著權重的下降呈指數下降，避免SMA方法會使標準差出現急劇改變的情況。
指數權重估計值還有一個非常吸引人的特點，即方差序列可以表示成遞推形式。這對于波動序列的估計非常有用，并且利于應用計算機處理大樣本數據。假設樣本均值為零，給定t時刻的值，1天的波動預測可以從以下公式得到：需要指出的是，初始方差預測等于初始收益率的平方。
2.樣本數量
在對方差的估計和預測過程中，可以應用估計或預測的標準差來測度可信度，并且標準差越小，對估計值更加信任。因此，保證應用最大的樣本數量是非常重要的。
為了能夠得到用于預測方差（波動）的有效天數，引入了一個新的值——承受水平γL。其計算公式為：
根據給定的承受水平，就可以計算出EWMA中所需要使用的有效樣本數量K，公式如下：
RiskMetrics中列出了不同衰減因子和承受水平下的有效樣本數量的一個列表。從中可以看出，衰減因子固定時，承受水平越小，需要的樣本數量越多；承受水平固定時，衰減因子越大，需要的樣本數量越多。而且，RiskMetrics還說明，基于更多歷史觀察值的波動率預測比基于較少數據的預測要更加平穩。
3.選擇衰減因子的RMSE標準
衰減因子的選擇必須保證對未來的方差進行很好的預測。根據對t+1時收益率rt+1的方差的估計，可以簡單的假設Et「r2t+1」=σ2t+1｜t。這樣，如果定義方差預測誤差為εt+1=r2t+1-σ2t+1｜t，那么預測誤差的期望值就為零，即Et「εt+1｜t」=Et「r2t+1」-σ2t+1｜t=0 。基于這種假設，可以根據最小化平方根平均誤差（RMSE）的標準來選擇最優的λ。對于以上的每日方差預測，會產生如下所示的平方根平均誤差：
其中，方差的預測值可用λ的函數來表示。在實踐中，我們可以通過對于不同的λ的值尋找最小的RMSE來決定最優的衰減因子λ*。
需要指出的是這種方法從本質上來說是純粹靜態的方法，從風險管理角度來說不是最優的。但在實踐中，這種方法確實比較有效。基于這種準則，J. P. Morgan給出了一些國家部分金融工具每日風險預測中的最優衰減因子。從中可以看出，不同國家不同金融工具的衰減因子也不同，說明在不同的金融工具有著不同的市場記憶長度。其中，J. P. Morgan公布的480種金融工具不包含我國的金融工具，需要專門對衰減因子進行研究。
三、國債指數的實證研究
根據前面討論的RiskMetrics模型，對上證國債指數的每日風險。所選取的樣本區間為：2003年2月24日至2006年12月29日共4年的數據。這樣，樣本數量為936個。根據J P Morgan提供的數據，該樣本數量對于001%-1%的承受水平滿足085-099的衰減因子估計，對于0001%的承受水平滿足085-098的衰減因子預測。所以說，樣本數量滿足對衰減因子λ的估計。
筆者根據公式（10）應用遺傳算法求解使平方根平均誤差（RMSE）最小的衰減因子λ。應用Matlab71計算得到使上證國債指數的RMSE達到最小的λ=083。與J P Morgan提供的一些國家部分金融工具每日風險值預測中的最優衰減因子相比，我國的衰減因子較小。根據公式（9）可知，上證國債指數價格的市場記憶長度較短。圖1和圖2分別是在95%和99%的置信水平上的每日收益率和每日VaR值。從VaR值可以看出，上證國債指數價格的波動性較大，這與上面得到的較小衰減因子是一致的。特別是04年4月下旬到5月下旬這一段時間，國債指數價格的波動非常大。
而且，在對上證國債指數做出的連續936天的VaR預測中，在置信水平為95%的時候，損失（負收益）超出VaR的天數是56天，占所有預測天數的59%；在置信水平為99%的時候，損失（負收益）超出VaR的天數是27天，占所有預測天數的28%。這兩個結果基本上與各自的置信水平是吻合的。
四、結論
自從RiskMetrics模型于1994年10月公布以來獲得了不斷的發展，其核心技術VaR也成為測度金融風險的一個國際標準。筆者討論了RiskMetrics模型中計算VaR的一種簡單方法，并將其應用于上證國債指數的風險測度中。通過對4年數據的實證分析，從得到的最優衰減因子和不同置信水平上的每日VaR估計，可以看出我國國債市場的波動性較大，而且每日VaR的預測結果與所假設的置信水平能夠很好的吻合。
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