初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的構(gòu)造法分析

什么是構(gòu)造法？構(gòu)造法是運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本思想，經(jīng)過(guò)認(rèn)真的觀察，深入的思考，構(gòu)造出解題的數(shù)學(xué)模型，從而使問(wèn)題得到解決。構(gòu)造法的內(nèi)涵十分豐富，沒(méi)有完全固定的模式可以套用，它是以廣泛抽象的普遍性與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的特殊性為基礎(chǔ)，針對(duì)具體的問(wèn)題的特點(diǎn)而采取相應(yīng)的解決辦法。那么又怎樣去構(gòu)造呢？其基本的方法是：用一類問(wèn)題的性質(zhì)，來(lái)確定另一類問(wèn)題的思維方法。在解題過(guò)程中，若按習(xí)慣定勢(shì)思維去探求解題途徑比較困難時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生根據(jù)題目特點(diǎn)，展開(kāi)豐富的聯(lián)想拓寬自己的思維。運(yùn)用構(gòu)造法對(duì)學(xué)生的解題能力的提高也是有幫助的。下面我們通過(guò)舉例來(lái)說(shuō)明如何通過(guò)構(gòu)造法解題來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的解題能力，如何去謀求最佳的解題途徑，達(dá)到思想的創(chuàng)新的目的。

1.構(gòu)造方法

有些數(shù)學(xué)題，經(jīng)過(guò)觀察可以構(gòu)造一個(gè)方程，從而得到巧妙簡(jiǎn)捷的解答

綜上所述 滿足條件的x的值有：x=-1，x=2，x=2.

通過(guò)上面的例子，我們?cè)诮忸}的過(guò)程中要善于觀察，善于發(fā)現(xiàn)，把要求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程，構(gòu)造一個(gè)方程進(jìn)而用方程來(lái)求解。

2.構(gòu)造幾何圖形

對(duì)于一些題目，我們可以構(gòu)造所需的圖形借助幾何圖形的性質(zhì)來(lái)達(dá)到解題目的。

例3正數(shù)a，b，c，A，B，C滿足a+A=b+B=c+C=K。試證：aB+bC+cA＜K².

分析：拿到題目，我們會(huì)無(wú)從下手，題中只有一串等式，并沒(méi)有其它什么附加條件，但我們?cè)僮屑?xì)地從題目條件中推敲一下，會(huì)發(fā)現(xiàn)題目中的字母的和相等且為一常數(shù)，也就是三個(gè)相等的量，我們能不能由此聯(lián)想到一些什么呢？如果我們把這三個(gè)量放在一起來(lái)考慮，又會(huì)有怎樣的結(jié)果呢？我們假設(shè)有這樣的三條線段，它們的長(zhǎng)分別為（a+A）、（b+B）、（c+C）。我們構(gòu)造出一個(gè)這樣的三角形（如圖）PQR，其中的三邊分別為（a+A）、（b+B）、（c+C）那么這與我們要求證的結(jié)果又有什么樣的關(guān)系呢？

看結(jié)論中的不等式aB+bC+cA＜K²，它里面有三個(gè)因式的積aB、bC、cA它們不就是圖中對(duì)應(yīng)三角形的兩條夾邊的積嗎？而K是正三角形PQR的邊長(zhǎng)，K²會(huì)不會(huì)與△PQR的面積有關(guān)呢？我們是不是可以用面積的計(jì)算來(lái)試一試呢？由面積公式可以得到

因此當(dāng)sinC最大等于1時(shí)，（x+y）（y+z）有最小值為2。

這樣我們運(yùn)用構(gòu)造法，把題目中難以入手的條件化成一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，用面積的方法很輕松地解決了原本看似簡(jiǎn)單卻沒(méi)法下手去解決的問(wèn)題，解決了同學(xué)們思維受阻的困惑，大大拓展了同學(xué)樣的視野，很好地培養(yǎng)了同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力。

3.構(gòu)造函數(shù)

函數(shù)內(nèi)容在我們中學(xué)數(shù)學(xué)中是占有相當(dāng)?shù)谋戎氐模瑢W(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)也是比較熟悉的，選擇用函數(shù)來(lái)解決一些棘手的問(wèn)題，在某些情況下是比較方便的。

要求方程｜x+1｜+｜x+2｜=x+3的解的個(gè)數(shù)就是要看兩函數(shù)①、②圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。畫出函數(shù)圖象可以看出有2個(gè)交點(diǎn)，即原方程有2個(gè)解。

這些數(shù)學(xué)題似乎與函數(shù)毫不相干，但是根據(jù)題目的特點(diǎn)，巧妙地構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)得到了簡(jiǎn)捷的解題過(guò)程，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

4.構(gòu)造(a±1)、（b±1）解競(jìng)賽題

某些競(jìng)賽題，由其本身的數(shù)量關(guān)系，直接求解較繁或較難，但通過(guò)適當(dāng)變形，構(gòu)造出(a±1)、（b±1）據(jù)此可使有關(guān)問(wèn)題的解法簡(jiǎn)捷、明快。

例7 試確定一切有理數(shù)r。使得關(guān)于x的方程rx²+（r+2）x+3r-2=0有根且只有整數(shù)根。

分析：初看題目，我們發(fā)現(xiàn)要求一切有理數(shù)r似乎無(wú)從下手，而正當(dāng)我們?cè)偻驴磿r(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)原方程有且只有整數(shù)根，也就是說(shuō)我們要求的r是要讓原方程有且只有整數(shù)根。首先是要有根，由原方程我們可以直接得出：r不同時(shí)，那原方程的最高次數(shù)也可能是不同的，當(dāng)r=0時(shí)，x=1這顯然是符合條件的；我們重點(diǎn)要討論的就是r≠0時(shí)的情況，一元二次方程有根，即△=（r+2）²-4r（3r-2）≥0，且方程的根都是整數(shù)。這個(gè)條件的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，我們可以設(shè)方程的整數(shù)根x₁≤x₂，如果我們把兩根都求出來(lái)的話，這樣做太累了。自然的，我們回想到用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂、x₁x₂的表達(dá)式，再用這兩者之間的關(guān)系來(lái)解題，這就方便多了。

解：分r=0和r≠0時(shí)，兩種情況的討論：

當(dāng)r=0時(shí)，所給方程為2x-2=0有整數(shù)根x=1，

當(dāng)r≠0時(shí)，所給方程為一元二次方程

設(shè)方程的兩個(gè)整數(shù)根為x₁、x₂（x₁≤x₂）

這道我們主要應(yīng)用了根與系數(shù)的關(guān)系，在分析根與系數(shù)關(guān)系時(shí)構(gòu)造了（a-1）（b-1）這樣的一個(gè)式子來(lái)解決題目中的一系列問(wèn)題的，在解題的過(guò)程中式子（a-1）（b-1）起到了串線、連接的作用，這點(diǎn)對(duì)題目的解決是至關(guān)重要的。

上述例子說(shuō)明了，構(gòu)造法解題有著意想不到的功效，不同的構(gòu)造，有著不同的效果。我們可以構(gòu)造方程，圖形、函數(shù)，甚至其它，這樣就會(huì)促使學(xué)生要熟悉幾何、代數(shù)、三角等基本技能，并多方面加以綜合利用，這對(duì)學(xué)生的多元思維，培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，以及鉆研獨(dú)創(chuàng)精神的發(fā)揮十分有利。因此，在解題教學(xué)時(shí)，若能啟發(fā)學(xué)生從多角度，多渠道進(jìn)行思考，有時(shí)能得到許多巧妙，新穎獨(dú)特的解題方法而且還能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題的創(chuàng)新能力。