發展：數學操作技能教學的應有之義

讓學生獲得持續發展，是課改背景下數學教育的內在追求，數學操作技能(特指度量、作圖等技能)的教學自然也不例外。

但在一線教師的課堂中，操作技能的教學恐怕更多的是“示范和模仿”，學生的感受恐怕更多的是“單調和乏味”，這一串關鍵詞勾勒出的課堂不可能洋溢著生命成長的氣息。難道就不能創造技能教學的另一種可能：充滿探索情趣而又意味深長?我們在相關課例的教學中進行了思考和探索。

一、操作技能不僅僅是動作技能，也是智慧操作的過程。

這似乎是數學教育的一個悖論。一方面，隨著對東方數學教育研究的深入，數學技能在學生數學水平的提高和數學能力培養中的重要性日益突出；但另一方面，基層教師的課堂中，數學技能的教學卻暮氣沉沉，毫無數學教改的時代氣息。這其中固然有多種原因，但不容置疑的是，首先在我們的理念上，認為數學技能就是動作技能，教師不示范講解和學生跟著模仿，怎么能習得?因而，數學操作技能的教學要打開新局面，首先要對直尺、三角尺、量角器、圓規等工具，以及運用這些工具進行操作的過程有新視野。任何的度量都是用度量單位比劃被測圖形的過程，因而抽象的數學單位不能只存在于學生的心智內部，總得有一個物化的存在形式。以“角的度量”為例，“度”是測量的單位，但我們不可能用“度”這個單位一度一度去測量被測的角，為了方便，把許多個“一度”組合在一起而成量角器，量角器顯然是度量單位“度”的物化形式，或者說是一個個有著明確度數的角的標準形式。以此類推，直尺就是“厘米”等長度單位的物化形式。就作圖來說，作圖所憑借的工具，是相關數學概念的物化形式，三角尺的兩直角邊不是“垂直”概念的存在嗎?圓規只要一轉，不就能得到一個個圓嗎?鑒于此，我們就可以構建這樣的認識：度量的過程是學生用工具去比劃被測量對象，對照重合找到和被測圖形相對應的標準形式，從而獲得結果的過程。而畫圖的本質是學生在頭腦中依據數學概念的心理意義去想象圖形的基本結構，添加某些要素(點、線、面)，將數學概念的心理意義通過具體的圖形呈現出來，或不斷地調整各要素(點、線、面)的位置關系，使之切合數學概念的要求。雖然就操作技能的最終呈現方式來說，上述很多過程是在無意識狀態中完成的，但就其最初的心理過程來說，肯定是充滿智慧的，絕對不是純粹的肢體動作過程。換言之，數學中的度量、作圖等操作技能，是基于數學知識并以肌肉運動表現在外的智慧性動手技能，它提供了學生通過自己的眼睛和小手去認識現實世界的機會，理應讓學生在自主學習的過程中獲得技能。

二、數學概念不僅僅是數學推理的基礎，也是技能生長的沃土。

在角的度量中，即使學生明白了“由哪條零刻度線決定了讀哪圈刻度”的道理，但在實際操作中，總有不少學生讀錯刻度。想要突破這個不是難點的難點，似乎只有多操作。認知心理學認為，技能屬于程序性知識范疇。而程序性知識的獲得必須以陳述性知識為前提。這揭示了一個顯而易見的道理，如果人為割裂了數學操作技能和相關數學概念之間的內在聯系，數學操作技能的形成就只能演變為簡單的模仿、機械的訓練。而反之，只要教師有意識地挖掘學生已有的知識儲備，操作技能的形成完全可能“四兩撥千斤”。在上面所說的教例中，教師如果充分調動起學生關于“銳角”、“鈍角”的表象，被測的角是銳角的。就讀兩個刻度中銳角的度數：是鈍角的，就讀兩個刻度中鈍角的度數。以知識的表象為支撐指導操作，而不再拘泥于僵化的技巧，操作還容易錯嗎?

充分發揮相關知識的作用，技能的教學或許就少去了重復的講解和機械的訓練。與此同時，我們還應該看到，數學概念的定義雖然揭示了它的本質特點，但并不能呈現出這個概念的多方面特點。為了利于學生探索相關的數學操作技能，作為教師，就要有意識地引導學生領悟更有利于數學技能形成的數學本質。

在蘇教版國標四年級上冊教材中，“平行”的教學先認識平行線。再學習畫平行線。教材從兩條直線的相交、不相交，引出了平行線的定義：同一平面內，不相交的兩條直線互相平行。不相交，而且是無限延長后永遠不相交，這種描述本身就是只可意會，不可再現的，因而在作圖中，很難說得清這兩條直線是永遠不相交的，要求學生自主探索怎樣畫平行線當然也就難上加難。針對這種情況，在平行線的教學中，我們就有意識地引導學生發現：互相平行的兩條直線問寬度不變(學生還沒有學習垂直，所以引用這個生活概念來替代“距離”)，為學生探索平行線的畫法作了鋪墊。教學的事實證明，這樣的鋪墊對于學生探索操作技能是必要的。

數學概念和數學技能間的相得益彰是雙向的，不僅數學概念的深刻理解可以促進學生以此為生長點探索數學技能，而且，憑借數學技能的操作可以加深對數學概念的認識，為更高層級的數學技能的生長提供可能，這也是發展的一個方面含義。因而，在操作技能的學習過程中，教師也要注意把握促進學生加深理解數學概念的課程資源。例如角的度量中，用直尺延長角的邊以方便測量，可以加深學生對“角的邊為什么是射線”的理解；教學“平行”時，要求學生畫不同方向的兩組平行線，可以把多種四邊形聯系起來，并從平行的角度闡釋各自的特征，如此等等。

三、教學組織不僅僅可以先講后試。也可以先試后講。

廣大一線教師在數學操作技能的教學中，囿于“示范——模仿——訓練”的教學模式，與數學教育心理學的研究缺失有一定關系。

如上文所言，數學操作技能既不是純粹的智慧技能，也不是典型的動作技能，但它的掌握還是屬于程序性知識學習的范疇。程序性知識的習得一般要經歷如下3個階段：①陳述性階段。理解并記住此技能的各項規定或操作步驟，知道要怎樣做。②轉化階段。即將言語表達的某項技能用行為的方式表現出來。③自動化階段。通過一定的練習使得某項操作快速、準確、熟練。也就是說，技能教學一般教師先講、學生跟著操作。以現代認知心理學的一般規律指導教學，這本身沒有問題。實際上，就操作技能的掌握來說，教師先講學生模仿的教法同樣可以是卓有成效的。但模仿和強化操作，封殺了學生作為一個人的全部豐富性，因而，發展的功能是極其有限的。當我們對這樣的教法進行反思的時候，恰恰一方面凸顯了心理學的一般原理指導數學教育的尷尬，另一方面則凸顯了數學教育心理學研究的蒼白。數學的教與學是特殊的認知活動，其中的心理過程和心理機制，與其他的學習過程并不完全一致，因而，以一般的心理學原理指導數學教育，就缺少了針對性和適應性。正如歌德所言，理論是灰色的，惟生命之樹常青。鮮活的教學實踐完全可能走在理論前面。加涅認為，任何技能的學習都是以過去學習的其他比較簡單的技能為前提的。因而，新技能的建構是學生以相關數學知識為基點整合已掌握技能的過程。以已有的知識技能為基礎，輔之以在平時的游戲活動中，學生多樣的動手操作活動積累的動作經驗，顯然，在教師講解、示范之前，讓學生先嘗試操作，完全是行得通的。

上文提到的“平行”課例中，在學生認識平行意義后，教師就可以放手讓他們試畫平行線。學生先畫一條直線，把直尺移動一下，再畫一條直線。但他們似乎有所顧忌，移動直尺時都稍稍動了動。在老師的要求下，直尺移動的幅度大了，問題也就冒了出來。量了量兩條直線間的寬度，發現兩條直線延長后會相交。畫——移尺——再畫，“那問題出在哪一步呢?”“肯定是尺移動時出了問題。”學生依據“兩條平行線間的寬度不變”這一思考，得出了結論“直尺移動時不能晃動”，“徒手移動直尺要不晃動還真不容易。如果能靠著軌道移動那該多好啊。”就這樣，把畫平行線的新技能轉化成了探究“怎樣給移動的直尺造軌道”。學生調動起各種經驗和技能，將移動直尺的方法演繹得多姿多彩：有的學生把直尺一端沿著練習本的邊移動；有的把直尺一端靠上了數學書來移動；有的在已畫的直線旁又畫了一條與之相交的直線，讓直尺一端沿著新畫的直線移動：有的在直尺一端靠上了另一把尺……新技能無須教師多講，已成為了學生的囊中之物。

數學操作技能的教學倡導學生先試、教師再講，其本質是彰顯其智慧性的內在屬性，但與此同時。也并不是否定其動作性的內在屬性。也正因為，數學操作技能具有相互間不可替代的兩方面屬性，因而，在教學中我們常常看到，學生即便理解了操作的原理或方法，但在操作中還是會出錯。特別是，由于小學生的年齡所限，在動作的精確度、連續性、協調性方面。經常會出現這樣或那樣的問題。例如畫平行線，即使用了規范的操作方法畫平行線，一些學生還是會驚呼“不平行啊”。問題出在哪里?原來，在雙手的配合上出了問題。如圖的第二步，應先右手用力按住三角尺，左手拿直尺輕輕靠上；之后，應左手用力按住直尺，右手輕輕移動三角尺：第三步，左手就可以放開直尺，用力按住三角尺，右手拿鉛筆靠著三角尺的一邊輕畫直線。整個過程中如果雙手的用力配合不佳，就極易造成三角尺和已畫直線的不重合，或者三角尺和直尺的晃動，那畫出的兩條直線當然就不平行，

一般來說，每一種操作都有類似的特殊技巧要求。但凡事都要學生躬身而為，也就容易陷入凡事都不能有作為的境地。這些操作過程中的特殊技巧，更多的是動作的協調與連貫方面的要求，只要“熟”總是能生“巧”的，因此，也就無須讓學生自己去摸索，以省去不必要的操作挫折。有效的數學操作技能教學，教學方式雖然以“先試后講”為主，但教師在學生運用新技能進行操作時，一定要留心學生操作還存在什么問題，并及時組織討論交流，交流和共享各自的解決之道，或者教師作出必要的示范講解，以幫助學生盡快地步入操作定型、簡縮、自動化的層次。

任何技能掌握之后，再操作起來可能就無須動腦。但探究之初，無疑是件富有挑戰性的事情。沒有精心的組織，要求學生琢磨新技能怎樣操作，那猶如將小白鼠引入迷宮，即使獲得成功也是全憑運氣。而自主探究的教學，學生是否獲得成功如果全憑運氣，沒有絕大多數學生在絕大多數時候獲得成功的把握，那也就失去了在課堂情境中組織的意義。從這個角度上說，考量“先試后講”的教學怎樣設計，是很有價值的事。筆者執教“平行”后的體會是，首先要洞悉操作技能的數學本質，然后從學生的視野依次剝離學生已經掌握的舊技能，把剩下的操作作為課的核心。抓住了這樣的核心，也就抓住了學生已有的動手操作經驗、知識與技能向新技能發展的關節點，教學也就有了“四兩撥千斤”的可能。例如，畫平行線的數學本質是實現畫直線(線段)工具的平移，平移后對應的直線(線段)自然是平行的，因而，新技能的各步操作中，剝離學生已掌握技能后剩下的也就是給要移動的直尺“造軌道”，以實現直尺的平移。用量角器度量角的大小，數學本質是用量角器上度數明確的角去重合被測度數的角，而學生在前面的學習中，已經知道了角的大小是指角的兩邊張開的大小，也學會了怎樣使兩個角重合的操作，所以，新技能形成的核心也就是能從量角器中找出各種度數的角。這樣一剝離，顯露的核心往往既不十分煩瑣，學生的內心世界也可能有相關的動手操作經驗或知識技能儲備，教師過多的講解和示范完全沒有了必要。

(作者單位：啟東市教育局教研室)