試論函數思想在數列中的應用

我們知道：數列是一類定義在正整數集或它的有限子集{1，2，3，L，n}上的特殊函數，當自變量由小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值。數列的通項公式 與自變量n之間的函數解析式，數列的圖像是橫坐標為正整數的一系列的離散的點。

可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征。另外，數列與函數的綜合也是當今高考命題的重點與熱點，因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數有關知識，以它的概念、圖像、性質為紐帶，架起函數與數列間的橋梁，揭示了它們間的內在聯系，從而有效地分解數列問題。

一、用函數的觀點認識數列

二、用函數的方法處理數列問題

1．利用函數性質解決數列問題

將數列看作一種函數關系，那么函數的有關性質可以提供作為解決數列問題的方法。

函數性質是函數特征的顯性反映，深入挖掘并利用函數的性質可以大大簡化解題過程，收到較好的解題效果。如函數的最值、單調性、周期性等性質在數列中應用很廣泛，通過下面這些問題的分析，不但可以使學生進一步鞏固函數的性質，而且可以讓學生提高解決數列問題的視野。

錯因在：函數與數列在單調性上的研究是有區別的，數學中的函數以研究連續型變量為主，數列則以研究離散型變量為主，兩者具有相同的本質屬性，也有明顯的差異。

本題是通過變量之間規律的探求，發現存在周期性，這樣在大大簡化了解題過程的同時，很好地培養了學生思維能力。

2．利用函數圖像簡化數列問題

函數圖像是函數特征的直觀體現，利用圖像解決數學問題（以形助數）是我們在解決問題中經常采用的手段。在數列中，我們可以利用等差數列通項公式、前n項和公式及等比數列的通項公式中展示的圖像關系來解決問題，常常會起到意想不到的效果。

3.構造函數轉化數列問題

構造函數解決數學問題是函數思想中的中心所在，其實質是把所求問題轉化為以函數背景的問題，再利用函數的有關概念、圖像、性質來幫助解決，這樣有利于培養學生的數學思想方法與解題能力。

通過上述實例的分析與說明，我們可以發現，在數列的教學中，應重視函數思想的滲透，應該把函數觀點、圖像、性質有機地融入到數列中，通過數列與函數知識的相互交匯，使學生的知識網絡得以不斷優化與完善，同時也使學生的思維能力得以不斷發展與提高。

函數思想是中學階段學生所接觸到的最重要的數學思想方法之一。數列作為一種特殊的函數，更是與函數思想密不可分，而現行教材中對于函數思想在數列中的應用涉及較少，但這一點對于加深學生對數列的認識，提高學生分析問題、解決問題的能力是十分重要的。

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