直線內插法在工程經濟中的應用

摘 要：本文結合幾個實例以及圖表來說明直線內插法在工程經濟中的應用，并總結歸納了直線內插法的幾種應用，分別是在計算內部收益率的應用，在計算累計概率中的應用，在貨幣時間價值的計算中求復利系數等等。

關鍵詞：直線內插法 工程經濟 應用

直線內插法在工程經濟中應用很廣泛，如在基本建設投資經濟效果的動態(tài)分析中，求內部收益率；在對建設項目進行經濟評價采用風險分析時，求累計概率的大小；在貨幣時間價值的計算中，求復利系數。下面我們結合實例來講講內插法在工程經濟中的應用。

一、直線內插法在計算內部收益率中的應用

直線內插法在內部收益率的計算中應用較多。內部收益率是使投資項目在一系列收入和支出的現金流量凈現值等于零時的折現率。通過內部收益率的計算，可以判斷該項目是否可行，如果計算出來的內部收益率高于基準收益率，則方案可行；如果計算出來的內部收益率小于基準收益率，則方案不可行。一般情況下，內部收益率的計算都會涉及直線內插法的計算。不過在具體計算時又可分為以下幾種：

1.如果某一個投資項目是在投資起點一次投入，經營期內各年現金流量相等，而且是后付年金的情況下，可以先按照年金法確定出內部收益率的估計值范圍，再利用直線內插法確定內部收益率。

2.如果上述條件不能同時滿足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通過多次試算求出內部收益率的估值范圍，再采用內插法確定內部收益率。

下面我們舉個簡單的例子進行說明：

例1：某大型建筑公司現有一投資方案，資料如下：

初始投資一次投入2000萬元，經營期三年，基準收益率為10%，經營期現金凈流量有如下兩種情況：（1）每年的現金凈流量一致，都是800萬元；（2）每年的現金凈流量不一致，第一年為600萬元，第二年為800萬元，第三年為1200萬元。

問在這兩種情況下各自的內部收益率，并判斷兩方案是否可行。

（1）根據第一種情況，知道投資額在初始點一次投入，且每年的現金流量相等，都等于1600萬元，所以應該直接按照年金法計算，則NPV=800×(P/A，i，3)－2000。

由于內部收益率是使投資項目凈現值等于零時的折現率，所以令NPV=0，則800×(P/A，i，3)-2000=0，(P/A，i，3)=2000÷800=2.5。

查年金現值系數表，確定2.5介于2.5313（對應的折現率i為9%）和2.4869（對應的折現率i為10％），可見內部收益率介于9％和10％之間。根據上述插值法的原理，可設內部收益率為i，現在我們建立坐標系，如下圖1，利用相似三角形原理，有 = ，則根據原公式，即 = ，i =10%，i =9%，則這里β表示系數，β =2.4689，β =2.5313，而根據上面的計算得到β等于2.5，所以可以列出如下式子：

= ?圯i=9.5%（如圖1所示）。

因為企業(yè)的基準收益率為10%，內部收益率小于10%，所以該方案不可行。

（2）根據第二種情況，不能直接用年金法計算，而是要通過試算來求。

這種方法首先應設定一個折現率i ，再按該折現率將項目計算期的現金流量折為現值，計算出凈現值NPV1。如果NPV1＞0，說明設定的折現率i 小于該項目的內部收益率，此時應提高折現率為i ，并按i 重新計算該投資項目凈現值NPV2；如果NPV1＜0，說明設定的折現率i 大于該項目的內部收益率，此時應降低折現率為i ，并按i 重新將項目計算期的現金流量折算為現值，計算凈現值NPV2。

經過上述過程，如果此時NPV2與NPV1的計算結果相反，即出現凈現值一正一負的情況，試算過程即告完成，因為零介于正負之間(能夠使投資項目凈現值等于零時的折現率才是內部收益率)，此時可以用直線內插法計算了；但如果此時NPV2與NPV1的計算結果符號相同，即沒有出現凈現值一正一負的情況，就繼續(xù)重復進行試算工作，直至出現凈現值一正一負。本題先假定內部收益率為10%，則NPV1=600×0.9091+800×0.8264+1200×0.7513-2000=108.14萬。

因為NPV1大于0，所以提高折現率再試，設i=12%，NPV2=600×0.8929+800×0.7972+1200×0.7118-2000=27.66萬，仍舊大于0，則提高折現率i=14%再試，NPV3=600×0.8772+800×7695+1200×0.6750-2000=-48.08萬。

這里我們需要注意一個情況：按照內部收益率的定義，它和凈現值的關系如圖3所示，是由無數個點組成的一條光滑的曲線，但是我們在計算中往往將其看成一條直線，并求出其直線方程，以便可以計算出和任意一個凈現值對應的內部收益率。

二、直線內插法在計算累計概率中的應用

同樣的，直線內插法在計算累計概率中也有一定的作用，下面就以一道例題來說明：

例2：設某項目投資為40萬元，建設期為1年。據預測，項目生產期各年收入相同，年收入為10萬元、20萬元的概率分別為0.4和0.6。按折現率10%計算，又對生產期作了概率預測，見表1試對該項目投資的可行性作出評價。

根據表2的數據，我們現在需要計算出當凈現值為0時的累計概率的值，建立直角坐標系，如圖3，即有這樣的方程式： = ， = ?圯P =0.56，通過插入法可得當PW=0時的累計概率P =0.56；P(NPV≥0=1-P（NPV＜0）=1-0.56=0.44，凈現值大于或等于0時的累計概率為0.44，該項目不可行。

通過插入法計算出凈現值大于或等于0的累計概率，根據計算得出的累計概率判斷項目承擔風險能力的大小。累計概率越大，說明項目承擔的風險越小；反之，風險就越大。

通過這類風險分析，可以使投資者加強風險意識，采取一定的應變措施，將風險減小到最小。

三、直線內插法在求復利系數的應用

下面我們同樣通過一個例題來說明這種應用。

例3：已知i=4%，年期為5年時一次支付復利因子為1.216653；i=8%，年期為5年時一次支付復利因子為1.469328，現在要求i=5%，年期為5年時的一次支付復利因子為多少？

解：同樣根據內插法公式 = 可得這樣的方程式： = ?圯β=1.27982175。

通過內插法計算得出i=5%，年期為5年時的一次支付復利因子為1.27982175，而通過查表可得i=1.276282。如圖4，由于各個復利因子組成的是一條曲線，只是我們在計算時將其近似看作是一條直線，所以在計算時就存在了一定的誤差，但是這些誤差可以忽略不計。

四、直線方程在內插法中的應用

內插法應用是假設三點在一條直線上，按照數學上兩點式的有關公式，直線上任意兩點間的橫坐標距離之比應等于對應縱坐標距離之比，如圖5，可得k= ?圯β-β = ·（i-i ）?圯 = 。

根據以上計算可知由直線方程的計算公式與內插法的計算公式本質上是一樣，只是通過兩種不同的方法得出結果，因此在計算當中，用這兩種中任意一種方法都是可行的。

參考文獻：

［１］《內插法原理及其在財務成本管理中的應用》見www.zhukuai.com.

［２］《建筑工程經濟與管理》，鄭連慶等主編，華南理工大學出版社.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”