利用法向量解立體幾何中的幾個常見問題

摘 要：要在短時間內做好立體幾何題，向量法是一種好的解題方法，本文就此展開了論述。

關鍵詞：立體幾何 解題 法向量 賦值法

今年高考結束后，我班一名平時數學成績較好的學生對我說:“立體幾何題用了20分鐘都沒有做出?！甭犃怂脑?，我的第一反應是：完了，今年數學考砸了。我馬上問其他學生，回答卻恰好相反(幾分鐘就完成任務)。我再次詳細了解，才知道，前者用的是傳統方法，后者用的是向量方法。比較兩種方法，不難發現，向量方法解題，不需添加輔助線，思路清楚，思維簡單，而傳統方法卻不然?？梢?，要在短時間內做好立體幾何題，向量的確是一種好的方法。下面是我在教學中的一點體會。

一、確定好點的坐標是關鍵

建立三維空間坐標系，確定好點的坐標，是做好立體幾何題的關鍵。例如建立三維空間坐標系O-xyz，求A點的坐標，可設A(x，y，z)。則x→到平面yz的距離

y→到平面xz的距離

z→到平面xy的距離

特殊的:x軸上的點，y=z=0，y軸上的點，x=z=0，z軸上的點x=y=0。

解出法向量是理論基礎。

1. 和平面α垂直的向量叫平面α的法向量。

利用賦值法求出法向量。

二、利用法向量求下列問題

1． 點到平面的距離

方法:設P是平面α外一點， A是平面α內一點， 是平面α的一個法向量，則P到平面α的距離:

d= 。

意義：P到平面α的距離等于 乘以法向量的單位向量，

即d= 。

注: （1）距離非負，分子加絕對值是為了防止由向量方向所產生的負值。

（2）與法向量的大小無關。

2.異面直線的距離

例1. P是邊長為2的正方形ABCD外一點， PA⊥平面ABCD，E為AB的中點，且PA=AB。

求：(1)D點到平面PCE的距離。

(2)異面直線PD，CE的距離。

解:以A點為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系A-xyz，則有P(0，0，2)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(1，0，0)，

3. 二面角的大小

方法:設 1， 2分別是平面α，β的法向量四邊形ABCD對角互補。

即θ+A=π，則|cosθ|=|cos(π-A)|=|cosA|= 。

例2(2007陜西卷第2問)在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90° ，PA⊥面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2 ，BC=6。

求：二面角P-BD-A的大小。

4. 直線l與平面α所成角θ

方法: 為平面α的法向量，M為l與α的交點， P為l上不同于M的任一點，則sinθ＝ 。

例3.(2007天津卷)在四棱錐P-ABCD中， PA⊥底ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC中點。

(1)求PB和面PAD所成角α。

(2)求二面角A-PD-C的大小β。

解：以A為坐標原點，建立如圖所示空間坐標系A-xyz，設PA=AB=BC=2，則AC=2，AD= ，B（0，2，0），C（ ，

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”