二元函數(shù)求極限的方法

摘 要：二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者既有聯(lián)系也有區(qū)別。本文通過部分例題的解析，以詳細(xì)介紹二元函數(shù)極限的求法。

關(guān)鍵詞：二元函數(shù) 極限 求法

函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，一元函數(shù)的極限及其求法我們能從各種教材中得到很詳細(xì)的說明。二元函數(shù)的極限是在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，二者之間既有聯(lián)系也有區(qū)別。二元函數(shù)的變量個(gè)數(shù)增加，因而求極限要比一元函數(shù)要復(fù)雜得多。但現(xiàn)在的教材、參考書對二元函數(shù)極限求法不夠詳細(xì)，不便于初學(xué)者的學(xué)習(xí)與掌握，所以，現(xiàn)對此問題進(jìn)行討論。

一、二元函數(shù)的極限定義

設(shè)有二元函數(shù)f(x，y)，如果當(dāng)點(diǎn)（x，y）以任意方式趨于(x ，y )時(shí)，f(x，y)總趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么常數(shù)A就稱為二元函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y）→(x ，y )時(shí)的極限。記作

這種方式定義的二元函數(shù)的極限又稱為二重極限，在不引起混淆的情況下，也簡稱為極限。

二、二元函數(shù)極限的求法

(一)利用初等函數(shù)的連續(xù)性和極限的四則運(yùn)算。

二元初等函數(shù)在有定義的點(diǎn)處均連續(xù)，而在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處，根據(jù)連續(xù)性定義，極限值等于函數(shù)值。

例1.

(二) 若事先能看出極限值，可用ε-δ方法進(jìn)行證明。

(三)利用類似于一元函數(shù)求極限的方法。

1.通過分子或分母有理化，把未定式極限轉(zhuǎn)化為定式極限。

解：分子分母同乘分子2- 的共軛根式，得：

該例求解的思路仍是將xy視為一個(gè)變量，通過乘共軛因子變形，約去分子、分母的無窮小因子xy后，問題化為定式問題，從而求出了極限。

2. 利用不等式使用兩邊夾法則。

3. 利用一元函數(shù)的重要極限。

7. 指數(shù)形式可先求其對數(shù)的極限。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”