曲線軌跡的四種求法

摘 要：軌跡問題綜合考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力，是學(xué)生能力學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。本文分別對(duì)直接法、定義法、代入法、參數(shù)法進(jìn)行了例題分析。

關(guān)鍵詞：幾何 曲線 軌跡

解析幾何主要研究兩類問題，一是根據(jù)條件確定曲線方程，二是利用方程研究曲線的幾何性質(zhì)。可見研究軌跡問題的必要性和重要性。軌跡問題綜合考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力、分析問題和解決問題的能力，所以它也是學(xué)生能力學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。

一、直接法

如果題目中的條件有明顯的等量關(guān)系，或者可以利用平面的知識(shí)推出等量關(guān)系，求軌跡方程時(shí)可用直接法。

例1：過點(diǎn)P（2，4）作互相垂直的直線L 、L ，若L 交x軸于A，L 交y軸于B，求線段AB中點(diǎn)的軌跡方程。

分析：設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，利用L ⊥L ，由k k ＝-1，求解。

解：設(shè)AB中點(diǎn)為M(x，y)

二、定義法

如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某個(gè)已知曲線的定義，則可用曲線定義寫出方程，這種方法稱為定義法。

例2：已知圓(x＋4) ＋y ＝25的圓心為M ，圓(x－4) ＋y ＝1的圓心為M ，一動(dòng)圓與這兩個(gè)圓都外切，求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程。

分析：由兩圓外切可得P點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離差為定值，這與雙曲線的定義相符。

∴動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M 、M 為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，

三、代入法

如果軌跡點(diǎn)P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲線上，則可先列出x、y、a、b的關(guān)系式，利用x、y表示a、b，把a(bǔ)、b代入已知曲線方程便得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，此法為代入法。

例3：如圖，已知P（4，0）是圓x ＋y ＝36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠APB＝90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程。

分析：動(dòng)點(diǎn)Q與AB兩點(diǎn)的變化有關(guān)，由矩形的性質(zhì)知Q與定點(diǎn)P及AB的中點(diǎn)R有關(guān)，因此可先求出R點(diǎn)的軌跡方程，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)Q的軌跡方程。

解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R(x ，y )，則Rt△ABO中，

所以Q點(diǎn)的軌跡方程為x ＋y ＝56。

四、參數(shù)法

如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易找到，也沒有相關(guān)的曲線可用時(shí)，可先考慮將x、y用一個(gè)或幾個(gè)參數(shù)表示，消去參數(shù)得軌跡方程，此法稱為參數(shù)法。

例4：已知拋物線C：y ＝4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線 L：y＝k(x＋1)與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，求AB中點(diǎn)的軌跡方程。

分析：中點(diǎn)M (x，y)的橫縱坐標(biāo)可表示為（ ， ），很容易通過聯(lián)立方程組用參數(shù)k表示。再消參可解。

解：設(shè)中點(diǎn)M坐標(biāo)為(x，y)，則x＝ ，y＝

注意：求曲線軌跡時(shí)一定要注意它的“完備性”和“純粹性”問題，即考慮求出的曲線軌跡上的點(diǎn)是否都是滿足條件的，這是“純粹性”問題；滿足條件的點(diǎn)是否都在軌跡上，這是“完備性”問題。以上例題中都有涉及，大家在計(jì)算時(shí)一定要注意。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”